Диссертация (1097826), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Применение формул для определения коэффициентов в ряде Лорана приводит к следующим выражениям:168 11f  (1  f ),G||  0ε2ε,ς̂(G|| )   11 2 J 1 (G|| R)   1  f,0G||G|| R ε 1 ε 2 (4.35)где R - радиус стержней, ε 1 , ε 2 - диэлектрические проницаемости стержней идиэлектрической матрицы, соответственно; f  π R 2 a 2 - параметр заполнения,т.е.

часть объема фотонного кристалла, занимаемая стержнями; J 1 ( x ) - функцияБесселя 1-го порядка.Проведем расчет для следующих параметров фотонного кристалла: a)ε1  1, ε 2  11, 7 ( λ  1,3 мкм ) - цилиндрические воздушные полости в кремнии, б)ε1  1, ε 2  4,75( λ  1,55 мкм ) - цилиндрические воздушные полости в висмутзамещенном иттриевом феррите-гранате (Bi:YIG) и в) ε1  2, 2, ε 2  2, 0 (λ  0,567 мкм ) - цилиндрические полости в матрице из кварца, заполненныераствором в глицерине нитрата диспрозия. Указанные материалы обладаютнизким коэффициентом поглощения для данных длин волн, поэтому поглощением мы пренебрежем.

В случаях (а) и (б) будем считать, что f  0,785 , т.е.R  0,5a (воздушные полости касаются друг друга), а в случае (в) f  0,15( R  0,22a ). В дальнейшем (см. §4.4 в этой главе) будут исследованы магнитооптические свойства данных фотонных кристаллов.Рассмотрение фотонных кристаллов, образованных цилиндрическими полостями, имеет большой практический интерес, благодаря относительной простоте их изготовления путем использования различных методов, развитых вмикроэлектронике.

Такие структуры позволяют достаточно легко создаватьМФК путем наполнения полостей магнитными жидкостями, например, раствором в глицерине нитрата диспрозия, что соответствует случаю (в) [54].Поскольку для фотонных кристаллов справедлив принцип масштабирования, заключающийся в том, что фотонные зоны кристалла определяются отно-169 шением a λ и не зависят от конкретного значения периода ячейки a , при построении фотонных зон обычно переходят к нормированным частотамω ωa.2πc(4.36)На рис. 4.3, 4.4 и 4.5 приведены первые восем фотонных зон (ФЗ) для фотонных кристаллов (а), (б) и (в), соответственно.

В случае кремниевой матрицыконтраст структуры достаточно велик: ε 2 ε1  11.7 и для ТЕ-моды наблюдаютсядве запрещенные зоны между 1-ой и 2-ой, а также между 3-ей и 4-ой фотонными зонами. Первая запрещенная зона соответствует нормированным частотам0.262  ω  0.361, а вторая – частотам 0.492  ω  0.537. Для периода ячейкиa  0.6 мкм вторая запрещенная зона наблюдается для длин волн от 1.117 мкм до1.219 мкм. Вместе с тем для ТМ-моды полные запрещенные зоны отсутствуют иимеют место лишь частичные запрещенные зоны, т.е. запрещенные зоны, существующие не для всех возможных волновых векторов k|| , а лишь для некоторогодиапазона волновых векторов (см.

рис.4.3 б)).В случае фотонного кристалла (б) возникает лишь одна запрещенная зонадля ТЕ моды (рис.4.4), причем ее ширина в 2,5 раза меньше чем ширина первойзапрещенной зоны для фотонного кристалла (а). Это напрямую связано с тем,что контраст структуры (б) более чем в 2 раза ниже ( ε 2 ε1  4.75 ). Для фотонногокристалла (в) запрещенный зоны вообще отсутствуют, поскольку в данном случае контраст фотонного кристалла близок к 1: ε2 ε1  0,9 . Однако, как будет показано в следующем параграфе, такие фотонные кристаллы также могут представлять большой интерес если их материалы обладают магнитооптической илиэлектрооптической активностью.170 TE - модаTМ - мода0,9ωa0,82πc0,70,60,50,40,30,20,10,0MΣΓΔk||XYM1,00,9ωa0,82 πc0,70,60,50,40,30,20,10,0M-10Σ-20Γ10Δ020XY3040Mk||(а)(б)Рис. 4.3: Структура фотонных зон для TE (а) и TM (б) мод в двумерном фотонном кристалле (см. рис.

4.1), состоящем из цилиндрических полостей, в матрицеиз кремния ( ε 1  1 , ε 2  11,7 ). Коэффициент заполнения f  0,785 [198,199].TE - мода1,21,1ωaTМ - мода1,31,2ωa1,02πc 0,90,81,12πc1,00,90,80,70,70,60,60,50,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0-20M-10Σ0Γ10Δ20X30Y40M0,0M-20Σ-10Δ1020XY30M40k||k||(а)Γ0(б)Рис. 4.4: Структура фотонных зон для TE (а) и TM (б) мод в двумерном фотонном кристалле (см. рис.4.1), состоящем из цилиндрических полостей, в матрицеиз Bi:YIG ( ε1  1, ε 2  4, 75 ).

Коэффициент заполнения f  0,785 [199].171 TE - модаωa1,1ωa2πc 1,01,12πc 1,00,90,90,80,80,70,70,60,60,50,50,40,40,30,30,20,20,10,10,0M-1,0Σ-0,50,0ΓΔk||0,5TМ - мода1,21,2X1,0Y1,5(а)M2,00,0M-1,0Σ-0,5Γ0,00,5 Δk||X1,0Y1,5M2,0(б)Рис. 4.5: Структура фотонных зон для TE (а) и TM (б) мод в двумерном фотонном кристалле (см. рис. 4.1), состоящем из заполненных раствором нитратадиспрозия в глицерине цилиндрических полостей в матрице из кварца (ε1  2, 2, ε 2  2, 0 ). Коэффициент заполнения f  0,15 [199].4. Теория возмущенийДля определенности ограничимся в дальнейшем рассмотрением лишьдвух высокосимметричных точек первой зоны Бриллюэна – точек Г и X. Этопозволит изучить основные эффекты, возникающие при магнитооптическомвзаимодействии излучения с упорядоченными структурами, и, кроме того, даствозможность продемонстрировать разработанный теоретический подход к описанию магнитооптических эффектов в МФК [47,200].Предположим, что по МФК распространяется волновой пакет, которыйсостоит из функций Блоха nk (r ) , принадлежащих одной или двум ФЗ (в зависимости от ряда условий, которые будут сформулированы в §4.1.2), и k находится вблизи критической точки.

Такое предположение подобно адиабатическому приближению в физике твердого тела и применимо для достаточно малых значений слагаемых в уравнении (4.18), связанных с оператором Vˆ . Таким172 образом, квази-импульсk  (k 0  ,0,0) ,где k 0  0 для точки Г и k 0  π a для точкиX, κ  k0 .Оператор Ĥ в уравнении (4.18) можно представить в виде двух слагаемых:Hˆ  Hˆ 0  Hˆ 1 ,где(4.37)u nkunk k02 1ˆˆH 0 u nk  k 0 1 unk ,unk 1   1   2k0    2  ˆˆH 1unk    2  k0unk  k0  unk  unk unk   Hˆ 11   2 Hˆ 12 ,(4.38)(4.39)̂1 , ̂ 2 - операторы, зависящие от первых пространственных частных производ-ных.Для значений k , близких к k 0 (т.е.   k 0 ) операторы Ĥ1 и Vˆ могут бытьрассмотрены в качестве возмущений. В нулевом порядке по  и Q решениями(4.18) являются функции Блоха для различных ФЗ.

Собственные функции оператора Ĥ 0 - unk (r|| ) образуют полный базис для разложения любой функции, об0ладающей трансляционной симметрией. Следовательно, эти функции могутслужить базисом для разложения в ряд функции un k (r|| ) для любого заданного0номера ФЗ - n0 .

Процедура нахождения собственных частот оператора Ĥ 0 - ω n ,0соответствующих собственным частотам оператора Ĥ в экстремальных точкахзоны Бриллюэна, была изложена в §2 данной главы.В критических точках зоны Бриллюэна дисперсионная зависимость  (k ) имеет экстремумы и, следовательно, не содержит слагаемых, пропор-циональных первой степени κ.173 5. Магнитооптические свойства фотонных кристалловПри исследовании магнитооптических свойств МФК рассмотрим две основные геометрии: (а) продольную или геометрию Фарадея, в которой электромагнитное излучение распространяется вдоль направления внешнего магнитно го поля или намагниченности, т.е.

k || m , и (б) поперечную или геометриюФохта, в которой k  m .5.1. Геометрия ФарадеяИсследуем, как наличие магнитных свойств материала воздействует наФЗ с данным номером n0 . При этом будем считать, что ФЗ с номером n0 не вырождена и является уединенной.Функция un k (r|| ) , представляющая собой собственную функцию (4.18) для0n0 -ой ФЗ, в первом порядке теории возмущений может быть записана как    u n0 k ( r|| )  c1u nTE0 k0 ( r|| )e z  c 2 u nTM( r|| )e y  c3u nL0 k0 ( r|| )e x ,0 k0(4.40)где u nTEk , unTMk и u nL k - собственные функции оператора Ĥ 0 :0 00 0Hˆ 0 u nTE0 k 0( TM0 0)TE ( TM )n022u nTE0 k 0( TM ) ; Hˆ 0unL0k0  0 .c(4.41)Легко показать, что в силу Vˆu nL k  0 , в геометрии Фарадея c3  0 .

Отметим, что0 0собственные функции u nTEk и u nTMk обычно обладают различной четностью.0 00 0Подстановка уравнение (4.40) в уравнение (4.18) и учет уравнения (4.39)приводят к следующей системе уравнений:22 c1 (TE c 2 i 2 Q  0n0 k )  ,*22TM 2c 2 ( n0 k )    c1i Q  0(TM ) 2(TM ) 2где (TE)  (TE)  c 2  2TE (TM ) ,n kn00(4.42)(4.43)174 2βTE (TM )  unTE0k0( TM )TE ( TM )unkH11 unTE0k0(TM )10TE ( TM )  TE ( TM ) 2 un k( TM ) 2ε( r|| ) 0 0)  (ωTE)n  n0 (ω n0n(4.44)Q  u nTE0k0 Q(r|| ) u nTM.0 k0(4.45)Из условия существования нетривиального решения (4.42) можно получить:(TEn0 k22) 2   2 (TM 4 Qn0 k )  2(4.46)0Для выявления основных свойств магнитооптических эффектов в даннойгеометрии будем считать, чтоTETM TM   .TEn0   n 0   n 0 и (4.47)Отметим, что условия (4.47) в ряде случаев выполняются с хорошей точностью, в частности, для уединенной ФЗ в точке Г в 3D фотонном кристалле.Решение уравнения (4.46) относительно  с учетом соотношений (4.47)принимает вид: 2 n0 1Q 2c 1/ 2.(4.48)Найденным значениям  соответствуют собственные функции:TE    u n0k0 (r|| )  i ( k0  κ  ) xeψ (r|| ) ,  iu nTMk (r|| ) 0 0(4.49)которые могут быть названы "квазициркулярно поляризованными" модами.Приставка "квази" означает, что волны   (r|| ) в (4.49) представляют собой произведение быстро-осциллирующих в пространстве функций u nTEk(TM ) (r|| ) и изменя0 0  u nTE0k0  , то 0 ющейся достаточно медленно огибающей ei x .

Характеристики

Список файлов диссертации