Диссертация (1097826), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Если при x  0  (r|| )    TE u ( x ) cosx i   x  n0 k 0ik 0 x2 ,2 ( r|| )  e e u TM ( x ) sin  x n k2  00(4.50)175 где        . Уравнение (4.50) показывает, что при распространении светавдоль оси OX возникает эффект конверсии мод. Если падающее на МФК электромагнитное излучение является TE волной, то при распространении она превращается в ТМ – волну, затем ТМ- волна опять преобразуется в ТЕ – волну ит.д. Причиной такого преобразования мод является наличие гиротропныхсвойств среды. Аналогичный эффект имеет место и в обычных однородных гиротропных материалах – эффект Фарадея, однако в МФК он приобретает рядновых свойств, в частности, возникает резкая зависимость эффекта от частотыизлучения.В связи с тем, что магнитооптический параметр Q<<1 условие 2Q  1 n0(4.51)2обычно оказывается выполненным, и удельный угол вращения Фарадея (илиугол поворота плоскости поляризации огибающей волны после прохождения еюрасстояния, равного единице длины) равен [200,201]2Q ω  1   ω0 ω  k κ   κ 222β β1/2.(4.52)Из уравнения (4.52) следует, что удельный угол фарадеевского вращениярезко возрастает при    n [200,201].

Это согласуется с качественными пред0ставлениями, изложенными в §1.2.2 данной главы.В то же время групповая скорость v g выражается как1/2 1   ω0 ω  2 vg  β .βk(4.53)Учитывая уравнение (4.53) в (4.52), получаем, что удельный угол Фарадеяобратно пропорционален групповой скорости v g и принимает наибольшие значения в области частот, где групповая скорость стремится к нулю:176   Q ω 2vg .(4.54)Отметим, что уравнение (4.54) аналогично формуле для удельного фарадеевского вращения для однородной пленки (см. уравнение (1.5)), записанной ввиде:  Q ω 2 v рh .(4.55)Отличие между формулами (4.54) и (4.55) заключается только в том, что впоследнем случае угол Фарадея определяется фазовой скоростью v ph . Но дляоднородной пленки нет различия между фазовой и групповой скоростями, поэтому можно сказать, что формулы (4.54) и (4.55) эквиваленты.Таким образом, угол Фарадея в фотонном кристалле даже для монохроматической волны определяется именно групповой скоростью. На первый взгляд,это может показаться противоречивым, т.к.

групповая скорость существеннапри распространении волнового пакета, состоящего из монохроматических волнс различными частотами. Однако это утверждение необходимо переформулировать более обще. А именно, можно сказать, что групповая скорость играет роль,если по среде распространяется набор волн, отличающихся либо по частоте, либо по волновому числу. Последнее как раз реализуется в магнитном фотонномкристалле.Полученная зависимость угла Фарадея от частоты излучения может бытьиспользована для объяснения ряда экспериментальных данных. Для примерарассмотрим частотную зависимость эффекта Фарадея, полученную в работе [54]при исследовании магнитооптических свойств трехмерного коллоидного МФК,состоящего из упорядоченно расположенных кварцевых сфер, промежуткимежду которыми заполнены магнитной жидкостью – насыщенным растворомнитрата диспрозия в глицерине.

Оценить вид зонной структуры такой системыпозволяет рис. 4.5, на котором приведена зонная диаграмма для двумерногоМФК, обладающего таким же малым значением диэлектрического контраста.177 Несмотря на то что формула (4.52) получена для двумерного МФК, в ряде случаев она может быть использована и для описания оптических свойств трехмерных МФК. Так, возможность ее применения для точки Г в кубическом трехмерном МФК становится интуитивно понятной, если провести аналогию между ФЗи электронными зонами в ряде полупроводников (например, GaAs). На основании этой аналогию, можно заключить, что условия (4.47) при этом оказываютсявыполненными, что существенно при выводе (4.52).Аппроксимация экспериментальных данных формулой (4.52) дает достаточно хорошее согласие теории и эксперимента, что показано на рис.

4.6. Исходя из аппроксимации, можно определить отношение Q(4.53). Для кривой на рис. 4.6 Qβ , фигурирующее вβ  6,55 109 [201].Если частота излучения ω отличается от экстремальной частоты ω n на0очень малую величину, то условие (4.52) может быть не выполнено и для определения угла Фарадея формула (4.53) оказывается не применимой. При этомугол Фарадея необходимо вычислять непосредственно на основании (4.48) безучета каких-либо приближений. Зависимость угла Фарадея от частоты ω вблизиточки экстремума ω n приведена на рис. 4.7. Из этой зависимости следует, что0угол Фарадея принимает максимальное значение приω  ω n0 (1 12Q)(4.56)(выбор знака в (4.56) зависит от знака β в (4.43), т.е.

от знака второй производной дисперсионной зависимости по частоте ω вблизи точки экстремума). Такимобразом, максимальная величина эффекта Фарадея достигается не непосредственно в критической точке ω n0 , а вблизи нее. Это обстоятельство являетсяважным. Действительно, при частоте излучения, практически совпадающей скритической частотой, как правило возникает резкое уменьшение коэффициентапрохождения излучения через фотонный кристалл (рис.

4.8), что сильно ослож178 няет наблюдение и использование эффекта Фарадея. Поэтому желательно работать на частотах, пусть незначительно, но отличающихся от критической.,радТл  м24222018161412108640,9800,9850,9900,995ωn01,000ωРис 4.6: Зависимость удельного угла Фарадея от λ λ n . Точки – эксперименталь0ные данные для трехмерного МФК, состоящего из кварцевых сфер, промежуткимежду которыми заполнены насыщенным раствором нитрата диспрозия в глицерине. (диаметр сфер d  260 нм; диэлектрические константы для кварца и магнитной жидкости: ε silica  2,0 , εliquid  2, 2 ; индукция внешнего магнитного поляBext  33,5 мТл, Q  1  107 ) [54].

Сплошная линия – теоретическая зависимость,определенная по формуле (4.52). Экстремум ФЗ соответствует λ n  566,5 нм0[200].179 8,радм 64201,0001,0011,0021,0031,0041,0051,006ω ω n0Рис. 4.7: Зависимость удельного угла Фарадея от отношения ω ω n . ω n  0.6002πc,aQ  10 3 , β  0.7 .Максимальное значение удельного угла Фарадея равняется ФК ωn0Qc β2.(4.57)Удельный угол Фарадея для однородной среды определяется формулой одн.

ωεQ .2c(4.58)Из формул (4.57) и (4.58) с учетом выражений (4.44) и (4.45) можно оценитьотносительный выигрыш в величине эффекта Фарадея в МФК по сравнению стой же однородной средой: ФК1~. одн.Q(4.59)180 Рис. 4.8: Экспериментально полученные зависимости коэффициента прохождения T и удельного угла Фарадея Ф от длины волны λ для трехмерного МФК (см.подпись к рис. 4.6) [54].Так при Q  10 6 эффект Фарадея в МФК на три порядка превосходит аналогичный эффект в однородной среде.

Это указывает на то, что использование фотонных структур для увеличения эффекта Фарадея наиболее эффективно длясред c малыми значениями параметра Q ~ 10 5  10 7 , т.е. немагнитных материалов, обладающих магнитооптическими свойствами во внешних полях.Определим коэффициент конверсии R как отношение максимальных квадратов амплитуд TE- и TM- мод при условии, что при x  0 излучение имеет TMполяризацию. При выполнении условий (4.47) R ~ 1 .и TMпринимают различные и не очень близкие значеВ случае, когда  TEnn0ния (выполнено условие0Q  ω TEn0  ω   ω ), а равенства коэффициентов2TMn022кривизны ФЗ TE  TM   сохраняются, собственные функции задачи имеют вид181  i TE   iu nTE0 k0 ( r|| )  i ( k0    ) x  u n k ( r|| )  i ( k0    ) x  ( r|| )  c1  TM  e c2   0 0,e u n k ( r|| )  u nTMk ( r|| )  000 0где  2 Q    TE 2n0TM 2n0(4.60).При этом возникает эффект двулучепреломления, и, как и в двулучепреломляющих кристаллах (см.

например [3]), коэффициент конверсии R уменьшается и становится порядка  2 , т.е. R  1 . Так, если электромагнитное излучение линейно поляризовано на входе в МФК, то при распространении по МФКсостояние поляризации в целом сохраняется, но возникает её небольшая эллиптичность [200].Влияние магнитного поля на зонную структуру МФК проявляется в расщеплении ФЗ на две зоны, смещенные по частоте относительно исходной ФЗ навеличину порядка Qω n в противоположные стороны. Это непосредственно сле0дует из уравнения (4.48). Одна из возникающих ФЗ соответствует циркулярнойполяризации по часовой стрелке, другая – поляризации против часовой стрелки.Это приводит, в частности, к изменению ширины запрещенной фотонной зоны запрещенная зона сужается на величину порядка Qω n .

Для магнитооптического0параметра Q  10 3 смещение ФЗ составляет десятые доли процента. ВеличинаTMсмещения уменьшается при возрастании разности TEn  n .005.2. Геометрия Фохта. Магнитное двулучепреломлениеВажной геометрией распространения излучения в магнитной среде является геометрия Фохта, в которой m || e z и k || e x , т.е. излучение в материале распространяется перпендикулярно магнитному полю.

Анализ данной конфигурации182 можно осуществит по той же схеме, что и для геометрии Фарадея (см. §4.5.1)[200].Собственная функция un k (r|| ) в уравнении (4.18) для n0 -ой ФЗ, в первом по0рядке теории возмущений вновь представима по формуле (4.40), но в геометрииФохта коэффициент c3 отличен от нуля.Подстановка (4.40) в уравнение (4.18) приводит к двум независимым системам уравнений: относительно u nTEk и относительно u nTMk и u nL k . Первая система0 00 00 0уравнений определяет TE – моду: || c  TE TEn1  0 2 1/ 2.(4.61)Вторая система уравнений позволяет найти коэффициенты c 2 и c3 в разложении (4.40):22c 2 (TM c 3 i 2 Q Ln0 k )  c 2 i Q L  c3  0*0,(4.62)где QL  unL k Q(r|| ) unTMk . Эта система уравнений имеет нетривиальное решение0 00 0при c TM TMn1  0 1/ 22  QL2.(4.63)Сравнение уравнений (4.61) и (4.63), позволяет определить относительныйсдвиг фаз между TE- и TM- модами, приходящийся на единицу длины:Bmb  Reκ ||  κ   ω2c βQL21ω 2n0ω21 / 2,(4.64)При выводе уравнения (4.65) предполагалось, что выполняются условия  1 2(4.47) и QLn02.183 Таким образом, в данной конфигурации собственными модами в МФК являются ТЕ- и ТМ- моды, распространяющиеся с различными фазовыми скоростями.

Характеристики

Список файлов диссертации