Диссертация (1097826), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Это означает, что n(kL) (r ) является собственнойфункцией Ĥ с собственной частотой (nLk)  0 . В то же время n(kL) (r ) моды не удовлетворяют дивергентному уравнению Максвелла (4.7), т.е.    (r )n(kL) (r ) 0 , и, следовательно, они физически не реализуемы. Их появление есть результатиспользования математического формализма, поскольку без них набор собственных функций nk (r ) не полон.Поперечные собственные функции n(kT ) (r ) подчиняются уравнению2 (T )   (nTk)   (T ) ˆ   (r )Hnk (r )   c  nk(4.23)162 с собственными частотами  (Tnk) , которые в общем случае ненулевые. Такие моды удовлетворяют дивергентному уравнению Максвелла и реально существуют.Собственные функции nk (r ) образуют полный набор в Гильбертовом пространстве. Они не ортогональны друг к другу, но могут быть ортогонализованыпри помощи процедуры Шмидта.2.2. Симметрия собственных функцийВ литературном обзоре при рассмотрении экспериментальных и теоретических работ по магнитным одномерным фотонным кристаллам было отмечено,что резкое увеличение магнитооптических эффектов происходит на тех длинахволн, для которых слои фотонного материала являются четвертьволновымипластинками.

Иначе говоря, магнитооптические эффекты усиливаются при приближении квазиимпульса k к границе одномерной зоны Бриллюэна, т.е. приk ~ π a , где a - период фотонного кристалла. В точке k  π a дисперсионная за-висимость ω(k ) имеет экстремум, т.е. при приближении к этой точке групповаяскорость излучения u dωстремится к нулю.

Это и приводит к увеличению эфdkфективного времени взаимодействия излучения с намагниченностью среды и,следовательно, к возрастанию соответствующих магнитооптических эффектов.Можно предположить, что аналогичная ситуация имеет место и для двумерных и трехмерных фотонных кристаллов. Поэтому в настоящей работе приисследовании магнитооптики фотонных структур будет уделено особое внимания точкам зоны Бриллюэна, в которых реализуются экстремумы дисперсионной зависимости.

Такими точками являются высокосимметричные точки зоныБриллюэна. Для двумерного случая это точки Г, M, X, Z, Δ, and Σ (рис. 4.2).163 Рис. 4.2: Перввая зона ББриллюэнна для двуумерного случая.и оптичесского откклика фоттонного ккриБольшуую роль при исслледованиисталлла играетт изучениие симметтрии собственных функций.. Так, из свойств ссимметррии следуует, что целый ряд мод, сущществованние которыых следуеет из ураввнений Максвеллла, не моожет бытьь возбуждден в фоттонном ккристалле. Двумернныйнсляционнной симмметрии моожет обладать допполфотоонный крристалл крроме траннитеельными видами пространнственнойй симметтрии такиими как, повороттныесиммметрии 2,, 3, 4, 6, ззеркальнаяя симметррия, инвеерсионнаяя симметррия.

Вмессте сединничной опперацией 1, котораая не измменяет стрруктуры, этиэ операации симмметрии образуютт группу G точечнной симмеетрии фоттонного кристаллака. Это ознаачает, чточ для лююбой опеерации R из точеччной групппы G ( R  G ) R(r )  (r ) , т.е.фотоонный кристалл иннвариантеен по отноошению к операциям группыы G.ная группаа для двумерного ффотонногго кристаллла с кваддратной ккриТочечнсталллическойй решеткоой задана как4mm={11, 2, 4, 4 , mx, my, md, md' },(4.244)где 22, 4, 4 - пповороты на углы  , π 2 ,  π 2 относительно осио Z, сооответственнно;mx, my, md, md' - зеркалльные отраажения в плоскосттях, содерржащих оссь Z и осии Y,X, диагонали квадранттов y  x , y   x , сооответствеенно.Операторы точеечной грууппы G ааналогичнным образзом преоббразуют ввекы k , приннадлежащщие первой зоне Брриллюэнаа аналогиччным обрразом.

Лююбойторы164 вектор k характеризуется своей группойGk , которая является подгруппойгруппы G . Для двумерных фотонных кристаллов, обладающих точечной группой симметрии 4mm, существуют несколько подгрупп:G   G M =4mm,G X  {1,2, mx, my}=2mm,G   {1,my}=1m,G   {1,md}=1m,G Z  {1,mx}=1m.(4.25)Одномерные представления соответствуют невырожденным собственныммодам, а двумерные – двукратно вырожденным. Последние относятся только кточкам Г и M зоны Бриллюэна.Большое значение имеют элементы зеркального отражения mi . Для двумерных фотонных кристаллов наличие зеркальных элементов в некоторых Gkгруппах позволяет разделить собственные моды на два типа, отличающиесячетностью относительно отражения в данной плоскости: четные (A) и нечетные(B) моды. Этот факт важен, в частности, для установления правил отбора дляпроцессов отражения и прохождения волн через фотонный кристалл и исключения физически нереализуемых мод.

В дальнейшем он будет использован длявычисления матричных элементов оператора возмущений Vˆ .В случае двумерного фотонного кристалла дополнительная симметрияz  zдает возможность разделить все моды на два типа: TE моды E z , H x , H y  иTM моды E x , E y , H z  , каждая из которых, как отмечено выше, характеризуетсядополнительно четностями относительно отражений в соответствующих вертикальных плоскостях.165 3. Зонная структура 2D фотонных кристаллов в отсутствие внешнего магнитного поляДля определения частот электромагнитного излучения, соответствующихвысокосимметричным точкам зоны Бриллюэна, необходимо рассчитать дисперсионную диаграмму для фотонного кристалла в отсутствие магнитного поля,т.е. решить задачу (4.18) с Vˆ  0 . При этом можно использовать метод расчета,предложенный в работе [197].Рассмотрим двумерный фотонный кристалл, изображенный на рис.

4.1.Будем считать, что излучение распространяется в плоскости XY. При этомэлектромагнитные волны однородны вдоль оси OZ и, следовательно, напряжен  ности E (r ) электрического и H (r ) магнитного полей не зависят от координаты z.В силу симметрии данной структуры решение уравнений Максвелла (4.74.8) можно искать в виде ТЕ и ТМ – волн.3.1. Методика вычисления3.1.1. ТЕ – поляризацияИз уравнений Максвелла (4.7-4.8) с учетом (4.12) получаем:H yxH z iωE zH xiωiω  Hx .  Hy,  ε ( r|| ) E z ,ycxcyc(4.26)Исключая E z из (4.26), можно получить систему уравнений для H x и H y :   1  H y H x    ω  2       H xy    c  y  ε(r|| )  x.2   1  H x  H y     ω  H   y x  ε(r|| )  yx    c  (4.27)166 Для решения (4.27) используем разложения 1 ε(r|| ) , H x (r|| ) и H y (r|| ) в ряд по плоским волнам, соответствующим различным векторам обратной решетки (4.2): 1ς̂(G)exp(iG |||| r|| ) ,ε ( r|| ) G(4.28) ˆ (G ) exp(i (k  G )r ) ,H i (r|| )  Hi|||||| ||G(4.29)где i  1, 2 и k||  k x e1  k y e2 - волновой вектор излучения.

Подстановка данныхразложений в (4.27) приводит к системе уравнений для амплитуд Hˆ i (G|| ) :2'''ω ˆ ''ˆˆς̂(GG)(kG)(kG)H(G)(kG)(kG)H(G)H x (G|| )||||yyyyx||yyxxy||c G||'. (4.30)2 ς̂(G  G ' )  (k  G )(k  G ' ) Hˆ (G ' )  (k  G )(k  G ' ) Hˆ (G ' )   ω  Hˆ (G )||||xxyyx||xxxxy||y||c G||'Таким образом, задача нахождения фотонных зон для ТЕ - поляризованныхволн сведена к решению линейной задачи на собственные значения. Для решения этой задачи при суммировании по G||' необходимо ограничиться первыми Nслагаемыми.

Значение N можно подобрать, исходя из условия устойчивостирешения.Отметим, что H x (G|| )  k x  Gx и H y (G|| )  k y  G y - решения уравнений (4.30)с нулевыми собственными значениями. Таким образом, существует N нулевыхсобственных значений для уравнения (4.30).3.1.2.

ТM – поляризацияИз уравнений Максвелла (4.7-4.8) с учетом (4.12) получаем:E yxH ziω H z iω E x iω  ε(r|| ) E x . ε ( r|| ) E y ,Hz,ycxcyc(4.31)Исключая H z из уравнения (4.31), для E x и E y получаем:167  1   2 E 2 E y   ω  2x      Ex2xy   c  ε (r|| )  y.222 1   E y   E x    ω  E   y ε (r )  x 2xy   c  || (4.32)Для решения системы уравнений (4.32) вновь воспользуемся разложением(4.28) и, кроме того, запишем E x (r|| ) и Ey (r|| ) в виде ˆ (G ) exp(i(k  G )r ) .Ei (r|| )  Ei|||||| ||(4.33)G||В результате придем к системе уравнений для амплитуд Eˆ i (G|| ) :2'''ω ˆ ' 2 ˆ''ˆς̂ (G||  G|| ) ( k y  G y ) E x (G|| )  (k x  G x )(k y  G y ) E y (G|| )    E x (G|| )c G||'. (4.34)2 ς̂(G  G ' )  (k  G ' )(k  G ' ) Eˆ (G ' )  (k  G ' ) 2 Eˆ (G ' )   ω  Eˆ (G )||||xxyyx||xxy||y||c G||'Рассматривая систему уравнений (4.34) как задачу на собственные значения,можно определить набор всех ненулевых значений ω c для любого заданногоk|| , т.е.

построить систему фотонных зон для ТМ - поляризации.3.2. Расчет фотонных зонИспользуя описанный теоретический подход, вычислим структуру фотонных зон для двумерного фотонного кристалла, образованного параллельнымицилиндрическими стержнями, находящимися в диэлектрической матрице (см.рис. 4.1). Будем считать, что фотонный кристалл обладает квадратной элементарной ячейкой, т.е. базисные векторы в (4.1) равны по модулю: a1  a 2  a .При этом необходимо вычислить входящие в разложение (4.28) коэффициенты ς̂(G|| ) .

Характеристики

Список файлов диссертации