Диссертация (1097781), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Äàëüíåéøèé àíàëèç òðåáóåò âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðè÷íûõ ýêñïîíåíò. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ àíàëîãè÷íî ïðîöåäóðå, ïðåäcëîæåííîé Êàììèíãñîì [295]. Äëÿ ýëåìåíòîâ îïåðàòîðà Hâûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ:cncc n−1(H)jj = H)ajja (Hcn(H)aj =∑j′c ′ c n−1 ′cc n−1H)j j + H)ajaa (Haj (Hc n−1cn)aj(H)jj ′ = Tj∗′ (H(6.14)Ñèñòåìà óðàâíåíèé (6.14) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðåêóððåíòíîå ñîîòíîcnøåíèå äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ (H)aj :cnc n−1c n−2(H)aj = (∆ + iγ)(H)aj + N |T |2 (H)aj(6.15)Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì çàïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëådgn)aj . Òîãäà ïîñëå ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëåíèé ïîëó÷èì ñëåäóþùèåìåíòîâ (Hâûðàæåíèÿ:T√j (an + bn )2 DTj∗= √ f (ae n + ben )2 Dcn(H)aj =dgn)aj(Hfãäå êîýôôèöèåíòû D,D,a,ae ,b è be îïðåäåëåíû ñîîòíîøåíèÿìè:(6.16)260vuu (∆t+ iγ)2D=+ N |T |24vuu (∆ − iγ)2fD=t+ N |T |24∆ + iγ∆ − iγ fa=+ D; ae =+D22∆ + iγ∆ − iγ fb=− D; be =−D22(6.17)ccfÐàçëàãàÿ ýêñïîíåíòû â âûðàæåíèÿõ (6.13) â ðÿä ïî ñòåïåíÿì HèHè ïîäñòàâëÿÿ â ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçëîæåíèå âûðàæåíèÿ (6.16), èñïîëüçóÿîáîçíà÷åíèÿ (6.17), ïîëó÷èì:|T |2 eiat eibt1 1[e ]jj =·[−− ( − )] + 12Daba beb|T |2 e−ieat e−ibt1 1e jj[−iHt]e=·[−−(− )] + 1(6.18)faeae bebe2DÏðè âûâîäå âûðàæåíèé (6.18) ó÷òåíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (6.18) â óðàâíåíèÿ (6.13), ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ (6.19), îïèñûâàþùèå ðåëàêñàöèþ çàðÿäà â öåíòðàëüíîé êâàíîâîé òî÷êå na (t) è â êâàíòîâîé òî÷êå ñ íà÷àëüíûì çàðÿäîì nj (t) â ñëó÷àå, êîãäà â ðàññìàòðèâàåìîéñèñòåìå íå ó÷èòûâàåòñÿ êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ.biHtT2iatibt−ieat−iebt·(e−e)·(e−e)f4DD1|T |2 eiat eibtnjσ (t) = n0j · [1 − +(−)] ·N2D abe1|T |2 e−ieat e−ibt· [1 − + f (− e )](6.19)Nb2D aeÎ÷åâèäíî, ÷òî ñ ðîñòîì ÷èñëà êâàíòîâûõ òî÷åê N , íà÷àëüíûé çàðÿän0j îñòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ëîêàëèçîâàííûì â èñõîäíîé êâàíòîâîé òî÷êå, äàæå íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå â ñèñòåìå ðåëàêñàöèè â ñîñòîÿíèÿíåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ðåçåðâóàðà. Íà áîëüøèõ âðåìåíàõ âåëè÷èíà çàðÿäàâ íà÷àëüíîé êâàíòîâîé òî÷êå nj (t) îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè è ÷èñëîì òî÷åê â ñèñòåìå:naσ (t) =2611 2)(6.20)N íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âåñü çàðÿä â ñèñòåìå ìîæåò áûòü ëîêàëèçîâàí íå â îäíîé èç ïëàíàðíûõ êâàíòîâûõ òî÷åê, à â öåíòðàëüíîé êâàíòîâîé òî÷êå, âçàèìîäåéñòâóþùåé ñ ðåçåðâóàðîì.
Òîãäà ñèñòåìó óðàâíåíèé(6.7) íåîáõîäèìî ðåøàòü ñ äðóãèìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè: < njσ (0) >= 0,< naσ (0) >= Gaa (0) = n0 , < nj ′ σ (0) >= 0. Âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ çàðÿäà âöåíòðàëüíîé êâàíòîâîé òî÷êå naσ (t) è îäíîé èç òî÷åê îêðóæåíèÿ njσ (t)îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèÿìè:limt→∞ njσ (t) = n0j (1 −bebnaσ (t) = [eiHt ]aa n0a [e−iHt ]aabebnjσ (t) = [eiHt ]ja n0a [e−iHt ]aj(6.21)bßâíûé âèä ôóíêöèè ψ = [eiHt ]aa ìîæíî ïîëó÷èòü èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:∂ψb= i(∆ + iγ) · ψ + N T · [eiHt ]ja∂t(6.22)òîãäà:i(∆+iγ)tψ=e+∫ t0bN T · ei(∆+iγ)(t−t1 ) e[iHt1 ]ja dt1N T e − ei(∆+iγ)t eibt − ei(∆+iγ)tψ=(−)2D a − (∆ + iγ)b − (∆ + iγ)2iat(6.23)ãäå êîýôôèöèåíòû a, b è D îïðåäåëåíû âûðàæåíèÿìè (6.17).
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè íà÷àëüíûé çàðÿä ëîêàëèçîâàí â öåíòðàëüíîé êâàíîâîéòî÷êå, ïëåíåíèÿ çàðÿäà â ñèñòåìå íå ïðîèñõîäèò.Äëÿ ïðàâèëüíîãî îïèñàíèÿ ýëåêòðîííîãî òðàíñïîðòà â êâàíòîâûõòî÷êàõ íàíîìåòðîâîãî ðàçìåðà íåîáõîäèìî ó÷åñòü âëèÿíèå êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ íà ðåëàêñàöèþ çàðÿäîâîéïëîòíîñòè â ñèñòåìå.  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ó÷åñòü ñëåäóþùåå ñëàãàåìîå, âõîäÿùåå â èñõîäíûé ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû (6.5):Hint = U(0) nασ nα−σ(6.24)262ãäå èíäåêñ α = a(j) è âåëè÷èíà êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ U(0) âöåíòðàëüíîé êâàíòîâîé òî÷êå (â ïëàíàðíûõ òî÷êàõ, âçàèìîäåéñòâóþùèõñ öåíòðàëüíîé). Ó÷åò êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîâåäåì ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèáëèæåíèÿ ñðåäíåãî ïîëÿ.
Òîãäà íåîáõîäèìî çàìåíèòü çíà÷åíèåýíåðãèè óðîâíÿ â êâàíòîâîé òî÷êå ε íà âåëè÷èíó εe = ε + U < nασ (t) >â êîíå÷íûõ âûðàæåíèÿõ äëÿ âðåìåííîé ýâîëþöèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ nασ(6.19).Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî ðåøàòü ñàìîñîãëàñîâàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé. Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ ôóíêöèé Gjj ′ (t), Gaa (t), Gja (t) è Gaj (t) ïðèìåò âèä:∂G ′ (t) = −iTj ′ Gja (t) + iTj∗ Gaj ′ (t) − iU0 (Gj ′ j ′ (t) − Gjj )Gjj ′ (t)∂t jj∑∂Gaa (t) = −i (Tj∗′ Gaj ′ (t) − Tj ′ Gj ′ a (t)) − 2γGaa (t)∂tj′∑∂Gaj (t) = i∆Gaj (t) − iTj Gaa (t) + i Tj ′ Gj ′ j (t) −∂tj′− iU0 Gjj (t)Gaj (t) − γGaj (t)∑∂Gja (t) = −i∆Gja (t) + iTj∗ Gaa (t) − i Tj∗′ Gjj ′ (t) +∂tj′+ iU0 Gjj (t)Gja (t) − γGja (t)(6.25)ãäå ∆ = ε − ε0 è γ = πνk Tk2 .Ïðè íàëè÷èè êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó ÷èñåë çàïîëíåíèÿ, ìîæåò áûòüçàïèñàíà â êîìïàêòíîì âèäå:∂ cc ccccbG = [G,A + C]+ i(Γb G+GΓ)(6.26)∂tc cãäå ìàòðèöû A, G îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè (6.9) è (6.10) ñîîòbcâåòñòâåííî, à ìàòðèöû Γè Cìîæíî çàïèñàòü â âèäå ||Γ||ij = δi1 δj1 γ è||C||ij = δij U0 Gjj .Ôîðìàëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ïàðíûõ êîððåëÿòîðîâ(6.26) çàïèøåì ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ýâîëþöèè:icG(t)= T e[i∫t0′′′b )+C(tb ))dt ](A(tc· G(0)T· e[−i∫t0′′′b )+C(tb ))dt ](A(t(6.27)263Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âåñü çàðÿä íàõîäèòñÿ â òî÷êå ñ íîìåðîìj , òî âûïîëíåíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: ni (0) = nj0 δij , na (0) = 0, è ìîæíîïîëó÷èòü ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé Ãðèíà:Gj ′ j ′ (t) =∑k,k ′Ω−1G ′ (0)Ωk′ j ′ = n0j |Ωjj ′ |2j ′ k kkGaa (t) = n0j |Ωaj |2∫′(6.28)′′ccãäå Ω = T exp[−i 0t (A(t) + C(t))dt ]- îïåðàòîð ýâîëþöèè.Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:nXab=[∫ t0ccdt1 (A(t1 ) + C(t1 ))∫ t10...∫ tn−10cc(A(tn ) + C(tn ))]ab(6.29)Ïðè ýòîìΩjj (t) = nΩaj (t) = n∑ nni Xjjn∑ n(6.30)ni XajnccÇàïèñàâ ÿâíûé âèä ìàòðèö AèC, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:nXaj(t)nXjj(t)= ∆= T∫ tn−1dt1 Xaj(t1 )0∫ tn−1dt1 Xaj(t1 )0+∑jT∫ t′+ U0∫ t00n−1dt1 Xjj(t1 )dt1 Gj ′ j ′ (t1 )Xjn−1(t1 )′j(6.31)Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (6.28), (6.29) è íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷àåìóðàâíåíèÿ äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îïåðàòîðà ýâîëþöèè Ω:Ω̇aj = i∆Ωaj + i∑j′T Ωj ′ jΩ̇j ′ j = iT Ωaj + iU0 n0j |Ωj ′ j |2 Ωj ′ j(6.32)ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè Ωaj (0) = 0, Ωjj (0) = 1, Ωj ′ j (0) = 0. ñèñòåìå ñ áîëüøèì ÷èñëîì êâàíòîâûõ òî÷åê ìîæíî ïðåíåáðå÷ü êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ â èçíà÷àëüíî ïóñòûõ òî÷êàõ, ïîñêîëüêó àìïëèòóäà ÷èñåë çàïîëíåíèÿ â ýòèõ òî÷êàõ ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíå 1/N 2 .
Ñëåäîâàòåëüíî, ó÷èòûâàÿ êóëîíîâñêèå êîððåëÿöèè òîëüêî â òî÷êå ñ íà÷àëüíûì çàðÿäîì, ìîæíî çàïèñàòü ñèñòåìóóðàâíåíèé (6.32) â áîëåå ïðîñòîì âèäå:264Ω̈aj = −(N − 1)T 2 · Ωaj + i(∆ − γ) · Ω̇aj + iT · Ω̇jjΩ̇jj = iT · Ωaj + iU0 n0j · |Ωjj |2 Ωjj(6.33)×èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (6.33) ïîçâîëÿåò àíàëèçèðîâàòü ïðîöåññû ðåëàêñàöèè çàðÿäà â ñèñòåìå êâàíòîâûõ òî÷åê, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ ñîñòîÿíèÿìè íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà, ïðè íàëè÷èè êóëîíîâñêîãîâçàèìîäåéñòâèÿ.Ýâîëþöèÿ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ â òî÷êå ñ íà÷àëüíûì çàðÿäîì nj (t) èâ öåíòðàëüíîé êâàíòîâîé òî÷êå na (t), âçàèìîäåéñòâóþùåé ñ ñîñòîÿíèÿìèíåïðåðûâíîãî ñïåêòðà, äëÿ ñëó÷àÿ íåðåçîíàíñíîãî òóííåëèðîâàíèÿ ìåæäóóðîâíÿìè ýíåðãèè òî÷åê ((ε − ε0 )/γ = −1) â îòñóòñòâèè êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå. C ðîñòîì ÷èñëà êâàíòîâûõ òî÷åê N ïðîèñõîäèò ïðèíöèïèàëüíîå èçìåíåíèå ïðîöåññà ðåëàêñàöèè çàðÿäà.Çàðÿä, ëîêàëèçîâàííûé â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè â îäíîé èç N êâàíòîâûõ òî÷åê, îñòàåòñÿ çàõâà÷åííûì â íåé, íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå â ñèñòåìåðåëàêñàöèè â ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ðåçåðâóàðà.
Åñëè ñèñòåìàñîñòîèò èç òðåõ òî÷åê (N = 2), òîëüêî äâàäöàòü ïðîöåíòîâ íà÷àëüíîãî çàðÿäà îñòàåòñÿ ëîêàëèçîâàííûì â èñõîäíîé êâàíòîâîé òî÷êå (ðèñ.à). Âñèñòåìå èç øåñòè êâàíòîâûõ òî÷åê (N = 5) ïðîèñõîäèò ëîêàëèçàöèÿ óæåáîëåå øåñòèäåñÿòè ïðîöåíòîâ íà÷àëüíîãî çàðÿäà (ðèñ.à).6.146.146.14числа заполнениячисла заполнениябÐèñ. 6.14 . Âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ â ïåðâîé à). è âî âòîðîé á). êâàíòîâûõòî÷êàõ â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîé íà÷àëüíîé ðàññòðîéêè ìåæäó óðîâíÿìè ýíåðãèè ((ε−ε0 )/γ=−1, 0) äëÿ ðàçëè÷íîãî ÷èñëà òî÷åê â ñèñòåìå. Ïàðàìåòðû T /γ = 0, 6 è γ = 1, 0 ïðèíèìàþòîäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ãðàôèêîâ.Îáíàðóæåííûé ýôôåêò ìîæíî íàçâàòü ”ïëåíåíèåì” çàðÿäà â ñèñòåìå êâàíòîâûõ òî÷åê, à ñàìó ñèñòåìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ”çàðÿäîâóþëîâóøêó”. Óâåëè÷åíèå ÷èñëà êâàíòîâûõ òî÷åê â ñèñòåìå ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû çàðÿäà â öåíòðàëüíîé òî÷êå na (t) äëÿ ôèêñèðîâàííîãî265çíà÷åíèÿ îòíîøåíèÿ T /γ èç-çà ýôôåêòèâíîãî óâåëè÷åíèÿ òóííåëüíîé ñâÿçè ìåæäó êàæäîé èç N ïëàíàðíûõ òî÷åê è öåíòðàëüíîé òî÷êîé (ðèñ.á).Ïðîöåññ ðåëàêñàöèè òàêæå çàâèñèò îò âåëè÷èíû ðàññòðîéêè ìåæäó óðîâíÿìè ýíåðãèè â êâàíòîâûõ òî÷êàõ.
Çàðÿä â âîçáóæäåííîé òî÷êå áûñòðååâûõîäèò íà ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå ïðè ìàëîé ðàññòðîéêå ìåæäó óðîâíÿìèýíåðãèè â öåíòðàëüíîé êâàíòîâîé òî÷êå è â ïëàíàðíûõ êâàíòîâûõ òî÷êàõ.Ðàññìîòðèì òåïåðü âëèÿíèå êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íà âðåìåííóþ ýâîëþöèþ çàðÿäà. Ñíà÷àëà èññëåäóåì ñëó÷àé, êîãäà êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ëîêàëèçîâàííûìè ýëåêòðîíàìè ó÷òåíî òîëüêî â öåíòðàëüíîé êâàíòîâîé òî÷êå. Ïðè ýòîì â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè çàðÿä âöåíòðàëüíîé òî÷êå îòñóòñòâóåò.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ðàçíîãî ïîëîæåíèÿ óðîâíåé ýíåðãèè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå. Ïîëó÷åíûå çàâèñèìîñòè äåìîíñòðèðóþò, ÷òî êàê è â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, â ñèñòåìå ïðîèñõîäèò ”ïëåíåíèå” çàðÿäà.6.146.15вчисла заполнениячисла заполнениячисла заполнениябÐèñ. 6.15 . Âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ â òî÷êå ñ íà÷àëüíûì çàðÿäîì à). èâ öåíòðàëüíîé êâàíòîâîé òî÷êå á). â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîé íà÷àëüíîé ðàññòðîéêè ìåæäó(ε − ε0 )/γ = −1, 0) äëÿ ðàçëè÷íîãî ÷èñëà òî÷åê â ñèñòåìå. à).á). N = 2,N = 5. Êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ó÷òåíî òîëüêî â öåíòðàëüíîé êâàíòîâîé òî÷êå:U/γ = 0, 0- ÷åðíàÿ êðèâàÿ, U/γ = 10, 0- ñåðàÿ êðèâàÿ, U/γ = 30, 0- ÷åðíàÿ ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ.Ïàðàìåòðû T /γ = 0, 6 è γ = 1, 0 ïðèíèìàþò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ãðàôèêîâ.óðîâíÿìè ýíåðãèèâ). ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîé ðàññòðîéêè ìåæäó óðîâíÿìè ýíåðãèè (óðîâåíü ýíåðãèè â öåíòðàëüíîé òî÷êå ëåæèò íèæå, ÷åì óðîâåíü ýíåðãèè â îêðóæàþùèõ òî÷êàõ) êóëîíîâñêèå êîððåëÿöèè ïðèâîäÿò ê êîìïåíñàöèè îòðèöàòåëüíîé ðàññòðîéêè (â ñèñòåìå ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà U/γ , ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò ïîëíàÿ êîìïåíñàöèÿ ðàññòðîéêè, çíà÷åíèåïàðàìåòðà îïðåäåëÿåòñÿ êîíôèãóðàöèåé ñèñòåìû).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
