EP - ODE - V.M. Zakalukin (1097625)
Текст из файла
Программа курса по обыкновеннымдифференциальным уравнениямЛектор — В. М. ЗакалюкинIII–IV семестр, 2005–2006 г.1. Осенний семестр1.1. Программа курса1. Дифференциальное уравнение первого порядка в нормальной форме. Решения. Примеры. Поле направлений на (расширенной) фазовой плоскости. Изоклины. Формулировки теорем существования и единственности решения задачи Коши. Пример: уравнение с разделяющимися переменными.2. Система дифференциальных уравнений в нормальном виде. Векторная запись.
Норма вектора. ЛоманныеЭйлера. Конус Пеано. Формулировка теорем о существовании (для непрерывной правой части) и единственности (для правой части, удовлетворяющей условию Липшица) решения задачи Коши для системы.3. Доказательство теоремы о существовании. Лемма Арцела. Доказательство теоремы единственности.4. Решения некоторых уравнений (однородные, линейные). Запись уравнения в дифференциалах. Решения.Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.5.
Продолжение решения до границы. Примеры.6. Уравнение, не разрешенное относительно производной.7. Уравнения высших порядков. Некоторые методы решения. Сведение к системе.8–9. Линейные системы. Общие свойства: существование, продолжаемость решений, свойства пространстварешений однородной системы, фундаментальная система решений, определитель Вронского. ФормулыЛиувилля – Остроградского.
Линейные неоднородные системы. Методы вариации постоянных. ФормулаГрина.10–11. Линейные уравнения (высших порядков) с постоянными коэффициентами. Случаи вещественных, комплексных кратных свободных значений, решения неоднородных уравнений с правой частью в виде квазимногочлена.12. Линейные уравнения второго порядка. Приведение к нормальному виду. Теоремы о нулях решений, теоремы сравнения Штурма. Поведение решений на бесконечности. Преобразование Лиувилля.13. Краевые задачи линейных уравнений второго порядка.
Функция Грина. Примеры.14. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Нормы в пространстве матриц. Матричные ряды.Экспонента матрицы. Свойства. Способы нахождения.15. Решение линейной системы в случае вещественных простых и кратных корней.1.2. Практические занятия (по задачнику А. Ф. Филиппова)1–2. Составление простейших дифференциальных уравнений. Изоклины. Уравнения с разделяющимися переменными.3. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка.4. Уравнения в полных дифференциалах.5.
Существование и единственность, продолжение решений.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной.7. Уравнения старших порядков.8. Различные типы уравнений первого порядка и сводящиеся к ним.9. Контрольная работа.10–11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.12–13.
Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Определитель Вронского. Теоремы сравнения. Краевые задачи.14. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (начало, тема будет продолжена в следующем семестре).15. Повторение.12. Вопросы к экзаменуЗамечание.
Из материала осеннего семестра входит только часть вопросов.2.1. Осенний семестр1. Решение дифференциального уравнения (системы). Геометрический смысл. Поле направлений. Векторноеполе.2. Теорема о существовании решения дифференциального уравнения (системы) с непрерывной частью.3. Ломаные Эйлера. Теорема Арцела.4. Теорема о единственности решения с данным начальным условием системы, удовлетворяющей условиюЛипшица.5.
Теорема о продолжении решения до границы компакта.6. Сведение уравнения старшего порядка к системе.7. Линейные системы, свойства (см. также вопросы 31-33 весеннего семестра).8. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение. Случай простых корней.9. Решение неоднородных линейных уравнений.10. Линейные уравнения второго порядка (с переменными коэффициентами) Свойства решений: о чередованиинулей, теорема сравнения Штурма.11.
Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.12. Нормированная алгебра матриц. Сходимость матричных рядов13. Экспонента матрицы. Свойства. Экспонента суммы коммутирующих матриц.2.2. Весенний семестр1. Экспонента линейного оператора. Экспонента жордановой клетки.2. Комплексификация вещественного векторного пространства.3. Комплексно-сопряженные линейные операторы. Сопряженность их жордановых базисов. Собственные подпространства вещественного оператора с комплексными собственными значениями.4.
Экспонента вещественной матрицы, имеющей жордановы клетки с комплексными собственными значениями5. Фазовые портреты линейных систем на плоскости.6. Метод вариации постоянных решения неоднородной линейной системы.7. Векторные квазимногочлены. Подпространства векторных квазимногочленов, инвариантные относительноd−Aдифференциального оператора dt8. Теорема о виде частного решения линейной системы с неоднородной частью в виде векторного квазимногочлена.9.
Если (вектор)-функция представляется в виде линейной комбинации квазимногочленов, то это представление единственно (доказать).10. Общее решение разностной линейной системы.11. Свойства фазовых преобразований системы дифференциальных уравнений.12. Групповое свойство преобразований фазового потока автономной системы дифференциальных уравнений.13. Однопараметрическая группа диффеоморфизмов. Существование генератора (векторного поля), порождающего произвольную однопараметрическую группу диффеоморфизмов.14. Теорема о непрерывной (дифференцируемой) зависимости решения системы, удовлетворяющей условиюЛипшица (дифференцируемой), от начального условия.15. Уравнение в вариациях вдоль некоторого решения системы дифференциальных уравнений.16.
Непрерывная (дифференцируемая) зависимость решения от параметров. Сведение к теореме о зависимостиот начальных условий.17. Лемма об оценке функции, удовлетворяющей интегральному неравенству. Доказательство теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий.18. Лемма Адамара.19. Доказательство теоремы о дифференцируемости решения по начальному условию.20. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности неособой точки.21. Первый интеграл системы дифференциальных уравнений. Производная функции вдоль векторного поля.222. Теорема о существовании полной системы первых интегралов в окрестности неособой точи векторногополя.23.
Общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка в окрестностинеособой точки характеристического векторного поля.24. Существование и единственность решения задачи Коши уравнения в частных производных в окрестностирегулярной (нехарактеристической) точки.25. Решения квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.26. Устойчивость (по Ляпунову) решения системы дифференциальных уравнений. Асимптотическая устойчивость.27.
Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости положения равновесия (или решения) при наличиифункции Ляпунова.28. Устойчивость положения равновесия по линейному приближению. Вид функции Ляпунова для линейнойсистемы с собственными значениями из левой комплексной полуплоскости.29. Теорема Четаева о неустойчивости положения равновесия.30. Свойства решений однородных линейных неавтономных систем систем.
Фундаментальная матрица. Определитель Вронского.31. Теорема о продолжаемости решений линейной системы.32. Формула Лиувилля – Остроградского. Следствие: формула для скорости изменения объема области придействии фазового потока.33. Теорема Дюлака (и ее модификация) об отсутствии периодических решений на плоскости.34. Линейные системы с периодическими коэффициентами.
Оператор монодромии (фазового преобразованияза период).35. Логарифм невырожденной матрицы.36. Теорема Флоке.37. Мультипликаторы. Устойчивость периодической системы.38. Отображение последования Пуанкаре периодического решения автономной системы, (доказательство существования, его производная).39. Теорема об устойчивости периодического решения по мультипликаторам отображения Пуанкаре. Вычисление мультипликатора предельного цикла на плоскости.40.
Устойчивость неподвижной точки гладкого отображения при итерациях. Функция Ляпунова. Теорема обустойчивости (неустойчивости) по линейному приближению.41. Решения систем уравнений малых колебаний.42. Равномерное распределение иррациональных обмоток тора.43. Число вращения диффеоморфизма окружности, свойства.44. Теорема Гробмана – Хартмана о топологическом строении фазовых кривых в окрестности седловой точки(без доказательств).45. Понятие о бифуркациях фазовых портретов.
Примеры: бифуркация седло–узел, бифуркация Хопфа.46. Индекс особой точки векторного поля.47. Теорема Эйлера о сумме индексов особых точек.Литература[Фил] Филиппов А.Ф., Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.[Ст]Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений.[Пе]Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.[Эл]Эльсгольц Л., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.[Би]Бибиков Ю.Н., Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
Высшая школа, 1991.[Ар]Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения.[По]Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. 3-е издание.3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
