Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс (1097541)
Текст из файла
Московский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваФизический факультетНа правах рукописиСоболевский Андрей НиколаевичДинамика и сингулярностив моделях инерционного переноса масс01.01.03 – Математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква – 2013Работа выполнена в Институте проблем передачи информацииим. А. А. Харкевича Российской академии наукОфициальные оппоненты:Д.ф.-м.н., академик РАН, гл.
науч. сотр. ИТФ им. Л.Д. Ландау РАНСинай Яков ГригорьевичД.ф.-м.н., вед. науч. сотр. ИТПЗ РАНЖелиговский Владислав АлександровичД.ф.-м.н., профессор, декан факультета управления и прикладнойматематики МФТИШананин Александр АлексеевичВедущая организация:Математический институт им. В.А.
СтекловаРАНЗащита состоится «»2014 г. вчасов на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, расположенном по адресу: Москва, 119991,Ленинские горы, д. 1, стр. 2, физический факультет МГУ.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультетаМГУ им. М. В.
Ломоносова.Автореферат разослан «»2014 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретарядиссертационного совета.Ученый секретарьдиссертационного советад.ф.-м.н., профессорПоляков П. А.Общая характеристика работыАктуальность работы. Уравнения движения бесструктурной сплошной среды — такой, как жидкость, газ или пылевидное вещество в космологии — лежат в основе целого спектра моделей математической физики.«Крайними точками» этого спектра являются идеальная жидкость, описываемая уравнением Эйлера + ( · ∇) + ∇ = 0 при условии несжимаемости∇ · = 0, и абсолютно сжимаемое (давление = 0) пылевидное вещество,частицы которого движутся по инерции, не испытывая влияния со сторонысоседних частиц.
Согласно известной теореме Я. Бренье (Y. Brenier) 1 , произвольное смещение элементов сплошной среды в евклидовом пространствеможет быть разложено в композицию двух факторов: отображения, обладающего несжимаемостью (т. е. сохраняющего объемы), и инерционного переносаэлементов массы вдоль векторов некоторого потенциального поля смещений.Оба предельных типа динамики, «несжимаемый» и инерционный, обладают богатой геометрической структурой, которую важно изучить с точкизрения их приложений в моделях математической физики. Хорошо известно 2 , что уравнение Эйлера может быть переформулировано как движениепо инерции на бесконечномерном искривленном конфигурационном многообразии — группе сохраняющих объем диффеоморфизмов SDiff.
В свою очередь, модель нелинейного переноса в одномерном случае допускает аналогичную формулировку над полугруппой монотонных отображений как выпуклым подмножеством подходящего функционального пространства (гл. 4настоящей диссертации), а в многомерном случае при условии потенциальности принимает вид уравнения Бернулли или нестационарного уравнения1Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions // Communicationsin Pure and Applied Mathematics. 1991. Vol.
44, no. 4. Pp. 375–417.2Арнольд В. И., Хесин Б. А. Топологические методы в гидродинамике. М.: МЦНМО, 2007. 392 с.1Гамильтона–Якоби + (, , ∇(, )) = 0( ∈ R ),(1)где — потенциал поля импульсов.Глобальные решения этого нелинейного уравнения в общем случае негладки и определены лишь в некотором обобщенном смысле: среди известныхподходов к такому определению, в частности, можно назвать вязкостные решения М. Г.
Крандалла и П.-Л. Лионса (M. G. Crandall, P.-L. Lions)3, 4,минимаксные решения Н. Н. Красовского и А. И. Субботина 5 и др. Если гамильтониан (, , ) является выпуклым по аргументу , обобщенные решения, определенные каждым из этих способов, совпадают и являются полувогнутыми функциями, т. е. представимы в виде разностей вогнутых функцийи подходящих квадратичных форм. Все это обусловливает ту значительнуюроль, которую в данном круге вопросов играют выпуклый анализ и выпуклаягеометрия.Модель нелинейного инерционного переноса массы возникает, в частности, в задачах распространения волн в средах без дисперсии, а также приисследовании возникновения крупномасштабной структуры Вселенной в приближении Зельдовича («модель слипания» в теории гравитационной неустойчивости в космологии) 6, 7 .
Особый интерес представляют вопросы о возмож3Crandall M. G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc.1983. Vol. 277, no. 1. Pp. 1–42.4Crandall M. G., Ishii H., Lions P.-L. User’s guide to viscosity solutions of second order partial differentialequations // Bull. Amer. Math. Soc. 1992. — July. Vol. 27, no. 1.
Pp. 1–67.5Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.6Гурбатов С. Н., Малахов А. Н., Саичев А. И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии.Современные проблемы физики. М.: Наука, 1990. 216 с.7Гурбатов С.
Н., Саичев А. И., Шандарин С. Ф. Крупномасштабная структура Вселенной. Приближение Зельдовича и модель слипания // Успехи физических наук. 2012. Т. 182, № 3. С. 233–261.2ности явного построения решений соответствующих уравнений и о структуресингулярностей, возникающих в таких решениях, а также о динамике течения внутри сингулярностей.
Рассмотрению этих вопросов посвящены главы1–4 настоящей диссертации.В последние годы были опубликованы обширные каталоги пространственных координат (красных смещений) галактик8, 9. Вместе с данными многолетних наблюдений тонкой анизотропии реликтового излучения в экспериментах WMAP и Planck 10, 11 возник массив данных, обеспечивающих гораздоболее точное определение космологических параметров и более полное описание крупномасштабной структуры распределения масс, чем это было возможно раньше.
Тем самым возросла актуальность моделей, позволяющих интерпретировать полученные данные и извлекать из них физически значимуюинформацию. В частности, в рамках представленного в диссертации кругаидей был развит метод реконструкции динамической истории формированиякрупномасштабной структуры распределения масс и пекулярных скоростейгалактик, представленный в главе 5.Цели и методы диссертационного исследования. Целью цикла исследований, отраженных в диссертационной работе, является математическоеисследование сингулярных решений уравнения Гамильтона–Якоби и некоторых его аналогов, рассматриваемых как математические модели физическихявлений (формирование крупномасштабной структуры распределения масс82dFGRS Team. The 2dF Galaxy Redshift Survey.
URL: http://magnum.anu.edu.au/~TDFgg/ (датаобращения: 19 января 2013 г.)9SDSS Collaboration. Sloan Digital Sky Survey. URL: http://www.sdss.org/ (дата обращения: 19января 2013 г.)10Wilkinson Microwave Anisotropy Probe. Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP). 2012. URL:http://map.gsfc.nasa.gov/ (дата обращения: 23 января 2013 г.)11European Space Agency.
The Planck Mission. 2013. URL: http://www.esa.int/Our_Activities/Space_Science/Planck (дата обращения: 23 января 2013 г.)3в космологии).Исследование направлено на построение физически естественной динамики частиц среды, описываемой уравнением Гамильтона–Якоби и его аналогами, внутри формирующихся в такой среде сингулярностей, разработкуметода частичного восстановления этой динамики по наблюдаемому распределению масс для приложений к обработке астрономических данных, а такжеисследованию структуры стационарных обобщенных решений уравнения Гамильтона–Якоби и препятствий к их формированию.Этой целью определяется существенное единство диссертационной работы, которая сочетает аналитические вычисления, исследование математических проблем механики сплошной пылевидной среды математическими методами (методами теории обобщенных вязкостных решений нелинейных уравнений в частных производных, теории динамических систем, теории транспортной оптимизации) и результаты, допускающие сравнение с экспериментальными (наблюдательными) данными (численный метод массового восстановления смещений и пекулярных скоростей элементов скрытого вещества покрупномасштабным каталогам галактик).Научная новизна и значение результатов.
Диссертация охватывает результаты, полученные диссертантом на протяжении примерно 15 лет.Все выносимые на защиту результаты являются новыми. Кратко охарактеризуем их с сегодняшних позиций, останавливаясь также на работах коллег,послуживших источниками и мотивировкой представленных в диссертацииисследований.Результаты, изложенные в гл. 1 и опубликованные в [8, 13], представляют интерес с точки зрения построения обобщенных решений уравненияГамильтона–Якоби, определенных на бесконечных интервалах времени. Гл. 2посвящена исследованию структуры таких решений, удовлетворяющих дополнительному условию периодичности градиента решения, и аналогичной4конструкции в теории одномерной транспортной оптимизации.Гл.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
