Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс (1097541), страница 3
Текст из файла (страница 3)
— Jun. Vol. 106. P. 250601.28Villani C. Optimal transport: Old and new. Springer-Verlag, 2009. — Dec. Grundlehren der mathematischenWissenschaften. Vol. 338. P. 973.9нии математических моделей нелинейной гравитационной неустойчивости иобразования крупномасштабной структуры в различных вариантах «моделислипания», в частности при построении решений системы уравнений газовойдинамики без давления в многомерном случае.
Метод реконструкции динамики формирования крупномасштабной структуры Вселенной и пекулярныхскоростей галактик (гл. 5) нашел применения для интерпретации большихмассивов астрономических данных о крупномасштабной структуре распределении масс.На защиту выносятся следующие основные результаты:1. Продемонстрирована возможность разрушения глобальных по времени слабых решений уравнения Гамильтона–Якоби в ограниченном, но быстро меняющемся силовом поле в неограниченном пространстве. Показано, чтоданное явление связано с неограниченностью скорости односторонних минимизирующих траекторий.2.
Установлено существование и дан критерий единственности обобщенных решений одномерного уравнения Гамильтона–Якоби с периодическимградиентом в случае периодической внешней силы (частный вариант «слабойтеории КАМ»). Предложен подход к задаче Монжа–Канторовича на окружности, основанный на конструкциях слабой теории КАМ, и основанный нанем эффективный численный алгоритм транспортной оптимизации.3. Методом исчезающей вязкости обосновано лагранжево представлениединамики частиц для многомерного уравнения Гамильтона–Якоби и системы уравнений одномерного пылевидного вещества с абсолютно неупругимистолкновениями.
Показано, что предельные траектории частиц в обобщенных решениях уравнения Гамильтона–Якоби односторонне дифференцируемы, а их скорости удовлетворяют условию допустимости и минимизируютнекоторый выпуклый функционал. Предложено пертурбативное разложениедля высших односторонних производных предельных траекторий по времени,10позволяющиее при некоторых дополнительных предположениях установитьединственность таких траекторий.4.
Показано, что динамика пылевидного вещества с абсолютно неупругими столкновениями в лагранжевом представлении в одномерной ситуацииможет быть описана как диссипативное движение по инерции в выпукломмножестве допустимых конфигураций сплошной среды, вложенном как выпуклое подмножество в подходящее гильбертово пространство. Установленаэквивалентность этого представления с конструкцией «обобщенного вариационного принципа», предлагавшейся ранее в работах других авторов.5. Предложен вариационный метод численной реконструкции поля смещений элементов массы, возникающего в процессе развития нелинейной гравитационной неустойчивости в космологии, исходя из данных наблюденийсовременного распределения масс на расстояниях порядка сотен мегапарсек.Метод основан на решении транспортной задачи Монжа–Канторовича (минимизации среднего квадрата смещения).
Результаты, получаемые этим методом для пекулярных скоростей, точно согласуются с космологической теорией возмущений в первом порядке (приближение Зельдовича), а для смещений — в первом и втором порядках. При тестировании на данных прямогочисленного моделирования космологической эволюции продемонстрированаотносительно высокая, по сравнению с существующими аналогами, точностьвосстановления поля смещений.Апробация работы и степень достоверности результатов. Работа частично поддержана грантами РФФИ, в том числе совместными грантами РФФИ и Национального центра научных исследований Франции, а также Национального агентства по научным исследованиям Франции (ANR-07BLAN-0235 OTARIE).
Основные результаты диссертации докладывались наследующих конференциях:∙ международной конференции Kolmogorov and Contemporary Mathema11tics, посвященной 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова (Москва,16–21 июня 2003 г.);∙ симпозиуме Optimal Mass Transport and Dynamical Systems (Ванкувер,Канада, 10–17 августа 2003);∙ международной конференции Математика и экономика: старые проблемы и новые подходы памяти Л.
В. Канторовича (Санкт-Петербург, 7–13января 2004 г.);∙ конференции Recent Advances in Calculus of Variations and PDEs (Пиза, Италия, 3–5 марта 2005 г.);∙ симпозиуме Nonlinear Cosmology Workshop (Ницца, Франция, 25–27 января 2006 г.);∙ летней школе и конференции Optimal transportation: theory and applications (Гренобль, Франция, 15 июня–3 июля 2009 г.);∙ международной конференции Monge-Kantorovich optimal transportationproblem, transport metrics and their applications, посвященной 100-летию содня рождения Л. В. Канторовича (Санкт-Петербург, 4–7 июня 2012 г.);∙ конференции Optimal Transport (to) Orsay (Орсэ, Франция, 18–22 июня2012 г.).Кроме этого, материалы диссертации были представлены в докладах наряде семинаров: коллоквиуме Института Филдса по прикладной математике(Торонто, 5 ноября 2008 г.), семинаре «Асимптотические методы в сингулярно возмущенных задачах» (физический факультет МГУ, 2010 г.), семинарепо вариационному исчислению лаборатории CEREMADE (Университет Париж–Дофин, 27 сентября 2010 г.), семинаре им.
В. И. Смирнова по математической физике (ПОМИ РАН, 16 мая 2011 г.), семинаре Лаборатории структурных методов анализа данных в предсказательном моделировании (МФТИи ИППИ РАН, 22 марта 2012 г.), коллоквиуме Исследовательской лаборатории им. П. Л. Чебышёва (математико-механический факультет СПбГУ, 1612февраля 2012 г.), семинаре «Квазилинейные уравнения и обратные задачи»под руководством Г. М. Хенкина (ЦЭМИ РАН, 28 августа 2012 г.), а также надругих семинарах в МГУ (на факультетах механико-математическом, физическом, ВМиК, в НИВЦ и ГАИШ), ИППИ РАН, МИТП РАН, в INRIA (Роканкур, Франция), EPFL (Лозанна, Швейцария), Georgia Institute of Technologyи Emory University (Атланта, США), университете Лафборо (Великобритания) и др.Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечиваетсястрогими математическими методами их получения. Адекватность метода реконструкции, описанного в гл.
5, дополнительно обоснована тестированием наданных численного моделирования космологической эволюции (п. 5.4.2).Публикации. Результаты, полученные в диссертации, опубликованы в15 печатных работах, из них 11 статей в рецензируемых журналах [1–11] и4 статьи в сборниках трудов конференций [12–15].Следует отметить, что статьи [14] и [15], включенные в библиографиюкак вышедшие в сборниках трудов конференций, опубликованы в тематических выпусках зарубежных рецензируемых журналов, индексируемых в базеданных Web of Science, и прошли полноценное журнальное рецензирование.Полное доказательство результатов, анонсированных в [15], содержится в препринте arXiv:1211.7084 (Khanin K., Sobolevski A.
“On dynamics ofLagrangian trajectories for Hamilton–Jacobi equations”) . Текст этого доказательства включен в гл. 3 диссертации.Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации части полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.Так, в цикле работ [5–7, 10, 12, 14] диссертанту принадлежит подход к13реконструкции потенциального поля смещений, основанный на решении задачи транспортной оптимизации и составляющий математическую базу метода МАК, численная реализация метода МАК, а также редукция построенияприближенного решения в случае «импульсного» включения гравитационного поля к решению задачи квадратичного программирования [10].В работах [8, 13] диссертанту принадлежит построение «ступенчатой»траектории, на которой достигается бесконечная скорость; построение ускоряющего потенциала на одной «ступени» проведено совместно с К.
М. Ханиным.В работе [9] диссертанту принадлежит «проекционная» формулировкавариационного принципа S, доказательство эквивалентности вариационныхпринципов S и ERS, формулировка этих вариационных принципов в случаецилиндрической и сферической симметрии, а также построение контрпримеров к применимости вариационных принципа S и ERS в многомерном случае.В работе [11] диссертанту принадлежит подход, основанный на поднятиитранспортной задачи на универсальную накрывающую и локальной минимизации относительно финитных возмущений, основная конструкция, позволяющая свести транспортную задачу к задаче минимизации специальной выпуклой функции (аналога функции Мезера), алгоритм численного решенияэтой задачи и оценка его сложности.В работе [15] диссертанту принадлежат выражение для допустимой скорости как решения задачи выпуклого программирования, доказательство единственности допустимой скорости и допустимости предельных скоростей дляпредельных траекторий, получаемых методом исчезающей вязкости, а такжеидея вывода высших порядков теории возмущений для предельных траекторий.Вся полнота вошедших в диссертацию результатов в их идейной связипредставлена только в работах диссертанта.
Все представленные в диссерта14ции новые результаты, включая доказательства теорем, строго обосновывающих перечисленные идеи и конструкции, получены лично диссертантом.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,обзора литературы и содержания диссертации, пяти глав, заключения и библиографии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
