Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс (1097541), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ветви решения, которые не вносят вклад в этот минимум, могут быть отброшены.Обозначим соответствующее множество индексов () = arg min ( · − )}и постулируем, что скорость любой траектории частицы, перемещающейсявнутри сингулярного многообразия, должна удовлетворять следующему условию допустимости (Определение 3.1): скорость * называется допустимой,если соответствующее ей значение импульса * = ∇ (, , * ) лежит в выпуклой оболочке векторов , для которых ∈ ( * ): * ∈ ∇ (, , conv { : ∈ ( * )}).(11)Полезно сравнить эту формулу с определением обобщенных характеристик27по П.
Каннарсе, которое содержит еще одну операцию взятия выпуклой оболочки после применения нелинейного отображения ∇ (, , ·). Хотя это определение выглядит естественно с точки зрения теории дифференциальныхвключений, в действительности оно вносит излишний произвол в определениескорости и приводит к потере единственности, отмеченной П. Каннарсой21.Оказывается, что громоздкое на первый взгляд условие самосогласованности (11) в точности является условием достижения оптимума в некоторойзадаче минимизации строго выпуклой функции. Это наблюдение разом гарантирует существование и единственность (в силу строгой выпуклости) допустимой скорости во всех точках течения, заданного обобщенным решениемуравнения Гамильтона–Якоби.
Более точно, имеет место следующаяТеорема 3.2. В любой точке (, ) существует единственное значение допустимой скорости * , которое является решением задачи минимизации^строго выпуклой функции ()= (, , )−min (· − ) по переменной .Доказательство представляет собой простое вычисление в рамках субдифференциального исчисления. Заметим, что при (, , ) = ||2 /2+ (, )данная задача сводится к вычислению центра наименьшей сферы, содержащей точки — именно в таком, отчасти загадочном виде этот результатпоявился в работах И.
А. Богаевского17, 18.^ можно придать следующий «вариациЗаметим также, что функции онный» смысл. Рассмотрим бесконечно малое смещение из точки (, ) соскоростью . Легко видеть, что с точностью до членов первого порядка по d^ d.(, ) + (, , ) d − ( + d, + d) = ()21 См. с. 7.17 См. с. 6.18 См. с. 6.28Поэтому допустимое значение скорости минимизирует скорость роста расхождения между минимально возможным значением действия (значением функции ) и значением механического действия вдоль траектории частицы. Иными словами, траектория внутри сингулярного многообразия не может бытьминимизирующей, но проходит таким образом, чтобы скорость, с которойнакапливается расхождение ее механического действия и минимально возможного значения, задаваемого функцией , была минимальной.
Именно втаком виде этот «принцип Гюйгенса» для движения частиц в потоке, заданном обобщенным решением , был сформулирован при первой публикациив обзоре Ж. Бека и К. Ханина33, соответствующий фрагмент которого былнаписан диссертантом.Эти рассуждения, однако, остаются эвристическими, пока не подведенастрогая база под основное понятие допустимой скорости. Для этого можетбыть применен метод исчезающей вязкости. Известно, что при умеренныхпредположениях о регулярности начального данного в задаче Коши для (10)эта задача обладает гладким решением , локально липшицевым с константой, которая не зависит от . Более того, при → 0 решение сходится кединственному вязкостному решению, обладающему той же константой Липшица. Доказательства этих фактов при (0, ·) ∈ 2, (R ) можно найти, вчастности, в известной книге П.-Л. Лионса34.Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение˙ () = ∇ (, , ∇ (, )), (0) = .При > 0 оно имеет единственное решение, которое непрерывно зависитот начальной точки .
Зафиксируем некоторую пространственно-временную3334Bec J., Khanin K. Burgers turbulence // Physics Reports. 2007. Vol. 447, no. 1-2. Pp. 1–66. 0704.1611.Lions P. Generalized solutions of Hamilton–Jacobi equations.BN: 0273085565.29Pitman Boston, 1982.P. 317.ISточку (0 , 0 ) с 0 > 0 и выберем такую последовательность траекторий ,чтобы (0 ) → 0 и → 0 при → ∞. Равномерно липшицево свойство решений гарантирует, что кривые равностепенно непрерывны (а значит,равномерно ограничены) на некотором интервале времени, содержащем 0 .Поэтому найдется кривая ¯ , которая является равномерным пределом ′ понекоторой подпоследовательности ′ .
Заметим, что все кривые ′ и ¯ являются равномерно липшицевыми с константой, не зависящей от , и ¯ (0 ) = 0 .Пусть далее ¯ есть некоторое (вообще говоря, не единственное) предельное значение односторонней производной «вперед» по времени кривой ¯ в (0 + ) − ¯ (0 )] для некоторой последомомент 0 , т. е. пусть ¯ = lim →0 1 [¯вательности → 0. Оказывается, что имеет место следующаяТеорема 3.3. Так построенная предельная скорость ¯ является допустимой в точке (0 , 0 ).В силу единственности допустимой скорости это значение скорости является не просто предельной точкой, а однозначно определенным пределом,и негладкий поток предельных траекторий является касательным к всюдуоднозначно определенному, хотя и разрывному полю допустимых скоростей.Доказательство теоремы 3.3 основано на наблюдении, что само решение в определенном смысле является аналогом функции Ляпунова длярегуляризованного потока : точнее, вдоль его траекторий возрастает величина (, ) − * · , достигающая максимума на траектории с допустимойскоростью.
Поэтому любая траектория, скорость которой отличается от допустимой, не может возникать при описанном выше предельном переходе.Наконец, отметим, что при формальном предположении достаточнойгладкости потока производные высших порядков предельной траектории всингулярной точке могут быть получены при помощи некоторой пертурбативной процедуры, описанной в разд. 3.5 диссертации и обобщающей на бо30лее высокие порядки рассуждения, проведенные при формулировке условиядопустимости в первом (линейном) порядке, т.
е. для скоростей.Результаты этой главы диссертации опубликованы в [15], а также в двухтекстах, написанных нами для обзорных статей других авторов: разд. 4.2обзора Ж. Бека и К. Ханина 33 , где впервые была опубликована характеризация допустимой скорости как скорости, минимизирующей избыточный ростдействия вдоль лагранжевой траектории, и разд. 5.6 обзора С. Н. Гурбатова и др. 7 . Доказательство теоремы 3.3 и пертурбативное разложение дляпредельных траекторий содержатся в препринте arXiv:1211.7084 (Khanin K.,Sobolevski A.
“On dynamics of Lagrangian trajectories for Hamilton–Jacobiequations”), опубликованном на arXiv.org и находящемся на рецензированиив журнале Discr. Cont. Dyn. Syst.В главе 4 диссертации рассматривается математическая модель возникновения сингулярностей в потоке пылевидного вещества (решениях системыуравнений газовой динамики без давления) в вариантах свободного и самогравитирующего вещества.В отличие от модели предыдущих глав, основанной на уравнении Гамильтона–Якоби, пылевидное вещество в газовой динамике без давления не является абсолютно пассивным.
Его бесконечно малые частицы рассматриваютсякак носители двух мер: меры массы и обобщенной меры импульса (зарядаили векторной меры). В регулярной части потока происходит пассивный перенос обеих мер, но при попадании на сингулярность частицы сталкиваютсяабсолютно неупруго с сохранением массы и импульса.Благодаря этому скорость элементов сингулярного многообразия определяется не только локальной структурой потока, но и предысторией совокупности частиц, образовавших сингулярность.
Поэтому, хотя сингулярности, об33 См. с. 29.7См. с. 2.31разующиеся в потоке пылевидного вещества, качественно устроены так же,как сингулярности решений уравнения Гамильтона–Якоби, количественныехарактеристики их движения не совпадают.Динамика пылевидного вещества, частицы которого сталкиваются абсолютно неупруго, изучалась в ряде работ, среди которых наиболее важнуюроль в контексте настоящей диссертации играет статья Вейнана И, Ю. Г.
Рыкова и Я. Г. Синая 22 . В ней для случая одномерного (плоскосимметричного)течения построено явное представление решения — т. н. «обобщенный вариационный принцип», аналогичный конструкции Лакса–Олейник для уравнения Гамильтона–Якоби, но учитывающий также распределение масс.
Будемназывать данный вариационный принцип вариационным принципом ERS,чтобы отличить его от еще одной вариационной конструкции, предложеннойА. И. Шнирельманом 23 , которую мы называем вариационным принципом S.В данной главе изучается система уравнений + () = 0, () + (2 ) = 0,(12)выражающая динамику пылевидного вещества, частицы которого движутся по инерции и не взаимодействуют друг с другом на расстоянии. Начальные распределения масс и скоростей задаются функциями (0, ) = 0 ()и (0, ) = 0 (), на которые в зависимости от точной постановки задачиналагаются те или иные условия регулярности.Для корректного определения модели требуется задать закон взаимодействия частиц при соударении. В данной работе предполагается, что в такомслучае частицы сталкиваются абсолютно неупруго (отсюда название «модельслипания»).Для гладких решений уравнений (12) выполнено дифференциальное со22 См.
с. 8.23 См. с. 8.32отношение + = 0, выражающее сохранение скорости вдоль траектории частицы, и поэтому до столкновений частицы движутся равномерно ипрямолинейно. Кластеры слипшихся частиц могут образоваваться только изсоседних частиц, поскольку их траектории не могут пересекаться.Чтобы частица, при = 0 находившаяся в точке 0 , оставалась свободнойк моменту > 0, центры масс произвольных групп частиц, примыкающих кней слева и справа, не должны пересекать траекторию этой частицы, т.
е.при любых ′ < 0 < ′′ должны выполняться неравенства 22∫︀ 0∫︀ ′′(+())()d′00 ( + 0 ())0 () d∫︀ 0≤ 0 + 0 (0 ) ≤ 0 ∫︀ ′′.()d′0()d0(13)0С другой стороны, пусть группа частиц, вначале расположенных на интервале ( − , + ), к моменту > 0 слипается и образует кластер, к которому с обеихсторон примыкают свободные частицы.
Тогда масса, скорость и координатаэтого кластера задаются выражениями∫︁+=0 () d,−=1∫︁+0 ()0 () d,−∫︁+1=( + 0 ())0 () d.−(14)В совокупности формулы (13), (14) позволяют определить для любой частицы, находившейся в начальный момент в точке , ее положение (, ) вмомент времени > 0, не вычисляя динамику в промежуточные моментывремени.
Для этого, однако, необходимо решить систему неравенств (13).Получить явное выражение для (, ) можно двумя способами, каждыйиз которых связан с минимизацией некоторого функционала.Вариационный принцип ERS 22 . Введем «массовую координату» () =∫︀ ∫︀ ()∫︀ ()()dиположимΦ()=()d,()=0 ()0 () d,0000Φ(, ) = Φ0 () + 0 ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
