Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс (1097541), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Нижний предел интегрирования здесь можетвыбираться произвольно. Легко проверить, что пространственная координата33может быть выражена через массовую по формуле () = Φ′0 (), а скорость— как 0 ∘ () = 0′ (). Следовательно, пока частица остается свободной,ее координата имеет вид (, ) = +0 () = Φ(, ), однако эта формулане описывает слипания частиц.Неравенства (13), выражающие условия свободы частицы, которая при = 0 находилась в точке 0 и имела массовую координату 0 = (0 ), вновых переменных приобретают видΦ(, 0 ) − Φ(, ′ ) Φ(, ′′ ) − Φ(, 0 )<0 − ′′′ − 0(15)для любых ′ < 0 < ′′ . Иначе говоря, в точках, соответствующих сво­бодным частицам, график функции Φ(, ·) должен совпадать с графиком вы­пуклой оболочки conv Φ(, ·) — наибольшей выпуклой функции, не превос­ходящей Φ(, ·). Поскольку функция Φ(, ·) дифференцируема, ее выпуклаяоболочка тоже является дифференцируемой, и в таких точках их производ­ные совпадают: (, ()) = conv Φ(, ).С другой стороны, для кластеров частиц, образовавшихся к моменту >0, на интервале значений (− = ( − ), + = ( + )) из формул (14) следуетсоотношение (, ) = (Φ(, + ) − Φ(, − ))/(+ − − ) = conv Φ(, ).

Та­ким образом, как в кластерах, так и на свободных частицах координата (, )выражается производной выпуклой функции conv Φ(, ·) по массовой коорди­нате. Это выражение в12названо «обобщенным вариационным принципом»,а в контектсе настоящей работы — вариационным принципом ERS. Отме­тим, что в случае постоянной начальной плотности вариационный принципERS совпадает с вариационным принципом Лакса–Олейник для уравненияГамильтона–Якоби + 21 ( )2 = 0.Вариационный принцип ERS может быть получен предельным перехо­дом по исчезающей вязкости [1].

Для этого рассмотрим регуляризацию систе­12 См. с. 5.34мы уравнений (12) нелинейной вязкостью, которая имеет вид + ( ) = 0, ( ) + [ ( )2 ] = ( ).(16)с начальными условиями (0, ) = 0 (), 0 () = 0 (). Можно показать(Лемма 4.8), что любому классическому решению системы (16) соответству­ет классическое решение уравнения Θ + 0 ( Θ) = 2 Θ,(17)где 0 () = 0 () + 0 ∘ (), которое удовлетворяет начальному условиюΘ(0, ) = Θ0 (), где функция Θ0 является преобразованием Лежандра вы­пуклой функции Φ0 , и соотношению 2 Θ = при всех ≥ 0, .

Обратно,классическому решению задачи Коши для уравнения (17), которое являетсясильно выпуклым по в некоторой связной открытой области пространства­времени, соответствует классическое решение регуляризованных уравнений(16), выражаемое формулами = 2 Θ, = − Θ/ .Методами теории вязкостных решений доказывается следующаяТеорема 4.9. Задача Коши для уравнения (17) с указанным выше началь­ным условием имеет единственное вязкостное обобщенное решение при лю­бом > 0, сходящееся при → 0 равномерно на компактах к обобщенномувязкостному решению Θ уравнения Θ + 0 ( Θ) = 0. Преобразование Ле­жандра Φ(, ·) функции Θ(, ·) при любом ≥ 0 представляет собой решениевариационного принципа ERS.Вариационный принцип S. Другое, неявное вариационное представлениедля координат частиц (, ) было предложено в работе23.

Сформулируемего в виде, упрощенном и более компактном по сравнению с оригиналом.23 См. с. 8.35Определим поле смещений как (, ) = (, )−. Если пересечения тра­екторий не происходит, то (, ) = 0 (), а координата (, ) = + (, )монотонно возрастает вместе с . В качестве условия регулярности для на­∫︀чальных данных будем предполагать, что интеграл 2 (, )0 () d сходит­ся, т. е. ограничимся смещениями, принадлежащими гильбертову простран­ству 2 (R; 0 ) с весом 0 (·).

Условимся назыать поле смещений, для которого(, ) = + (, ) монотонная по , допустимым. Допустимые поля сме­щений образуют замкнутое выпуклое подмножество ⊂ 2 (R; 0 ), котороеможно считать конфигурационным пространством системы частиц пылевид­ного вещества.Согласно вариационному принципу S, отображение (, ) с учетом сли­¯ ), где (,¯ ·) естьпания частиц определяется выражением (, ) = + (,ортогональная проекция (, ) = 0 () на множество допустимых смеще­ний по отношению к гильбертовой структуре 2 (R; 0 ).Теорема 4.13. Вариационные принципы ERS и S эквивалентны.Доказательство состоит в проверке, что вариационный принцип ERS да­ет двойственное по Лежандру описание выпуклого множества , и подробнопроведено в диссертации.Возникает вопрос, можно ли обобщить полученные выше вариационныеконструкции динамики пылевидного вещества с абсолютно неупругими со­ударениями на случай высших размерностей. Существование решений много­мерного аналога системы уравнений (12) установлено в работе М.

Севера35.Однако предложенное там доказательство неконструктивно и не позволяетвыяснить структуру решения или построить численный алгоритм его прибли­женного вычисления. Напротив, оба вариационных принципа ERS и S дают35Sever M. An existence theorem in the large for zero-pressure gas dynamics // Differential Integral Equa­tions. 2001. Vol. 14, no. 9.

Pp. 1077–1092.36подробную информацию о структуре решений и могут применяться для ихчисленного построения. Более того, когда начальное поле скоростей потенци­ально, эти вариационные принципы допускают естественные обобщения намногомерный случай без каких-либо предположений о симметрии начальныхданных. Тем не менее удается в явном виде построить примеры неплоскихили несимметричных течений, для которых указанные обобщения вариаци­онных принципов ERS и S приводят к некорректным ответам (разд.

4.7.2,[9]).Глава 5 диссертации посвящена методу реконструкции процесса возник­новения крупномасштабной структуры Вселенной и поля пекулярных ско­ростей по каталогам положений галактик. Исходными данными для этогометода служат, в частности, обширные каталоги пространственных положе­ний (красных смещений) и масс галактик: каталог 2dF 8 , появившийся около10 лет назад, и SDSS 9 , публикация второй очереди которого была завершенав 2008 г., а третьей — ожидается в 2014 г. Этот метод, разработанный на­ми в сотрудничестве с французскими космологами и астрономами U.

Frisch,R. Mohayaee, M. Hénon и математиками Y. Brenier и G. Loeper и получившийназвание «метод MAK» (Монж, Ампер, Канторович) [5], основан на сведе­нии задачи реконструкции в приближении Зельдовича к оптимизационнойтранспортной задаче Монжа–Канторовича.Удобная математическая модель нерелятивистской динамики самограви­тирующего вещества, объясняющая возникновение крупномасштабной струк­туры Вселенной, представляет собой систему уравнений Эйлера–Пуассона,которые в плоской вселенной Эйнштейна–де Ситтера с преобладанием веще­8См. с. 3.9См.

с. 3.37ства над излучением имеют вид3( + ∇ ),21∇2 = ( − 1). + ( · ∇ ) = − + ∇ · () = 0,(18)(19)Здесь — координата, сопутствующая расширению Хаббла, — некотораяфункция космологического времени, называемая фактором линейного ростаи представляющая собой удобную временну́ю переменную при изучении нели­нейной гравитационной неустойчивости.В правых частях уравнений Эйлера и Пуассона имеются знаменатели,пропорциональные . Чтобы задача не была сингулярной при ↓ 0, доста­точно потребовать, чтобы(, 0) + ∇ (, 0) = 0,(, 0) = 1.(20)Поле плотности в настоящий момент времени 0 может быть определено изкаталога наблюдаемых галактик:(, 0 ) = 0 ().(21)Уравнение (18) можно рассматривать как уравнение Эйлера–Лагранжа дляподходящего функционала действия:1ℐ =2∫︁0∫︁dd · (||2 + |∇ |2 ),(22)0где для плоской вселенной =32и минимизация производится при ограни­чениях, заданных уравнениями (19)–(21).Я.

Б. Зельдович предложил приближение, в котором ↓ 0 и уравне­ние (18) принимает вид + ( · ∇ ) = 0. В лагранжевых координатах(, ) есть сопутствующая хаббловскому расширению координата в моментвремени элемента массы, который в начальный момент находился в точке :38(, 0) = . Тогда ((, ), ) = (det(/))−1 и ((, ), ) = (, ), гдепроизводная по берется при фиксированном .

Как было замечено Зель­довичем, в этих новых переменных нелинейное уравнение Эйлера принимаетлинейный вид 2 = 0. Более того, уравнение (19) оказывается удовлетвореноавтоматически, а действие приобретает вид∫︁0 ∫︁∫︁112ℐ0 =d d | (, )| =d |0 () − |2 ,220(23)0Здесь положено 0 () = (, 0 ) и учтен тот факт, что траектории элемен­тов массы, минимизирующие механическое действие, имеют вид (, ) = + ( /0 )(0 () − ).

Заметим, что в силу первого условия (20) (, 0) =(1/0 )(0 () − ) = ∇ Φ̄() и лагранжево отображение остается потенци­альным при всех > 0: (, ) = + ∇ Φ̄() = ∇ Φ(, ), где Φ(, ) =||2 /2 + Φ̄().Чтобы определить в приближении Зельдовича движение сплошной сре­ды, необходимо минимизировать функционал (23) при следующем ограниче­нии, которое определяется представлением плотности в терминах якобиана(/)−1 и краевыми условиями (20), (21): det(0 ()/) = 1/(0 ()).

Сточки зрения теории оптимизации это частный случай задачи транспортнойоптимизации Монжа–Канторовича. Можно также решать уравнение Монжа–Ампера, записываемое в терминах функции Φ0 () = Φ(, 0 ) — потенциа­ла поля смещений 0 () = ∇ Φ0 ():det( 2 Φ0 ()/ ) = 1/0 (∇ Φ0 ()).(24)На больших космологических масштабах Лагранжево отображение 0 () сво­бодно от т.

н. многопотоковости (присутствия нескольких потоков скрытоговещества с разными скоростями в одной и той же точке пространства). Приотсутствии многопотоковости потенциал Φ0 () является выпуклым: действи­тельно, функция Φ(, ) = ||2 + Φ0 () выпукла при = 0 и остается такой39при > 0, если не возникает многопотоковости. Поэтому преобразование Ле­жандра Ψ0 () = max ( · − Φ0 ()), где максимум достигается в такой точке, что = ∇ Φ0 (), преобразует уравнение (24) к более простому видуdet( 2 Ψ0 ()/ ) = 0 ().(25)Метод МАК (Монж, Ампер, Канторович), предложенный в [5], состоит в ре­шении этих задач относительно 0 () и использовании уравнения((, ), ) = (, )для приближенного восстановления современного поля пекулярных скоро­стей (, 0 ).

На рис. 1 представлены результаты тестирования метода МАКна данных прямого численного моделирования космологической эволюции, вкотором было задействовано примерно 2 · 106 частиц36.Результаты гл. 5 опубликованы в работах [5–7, 10, 12, 14].В Заключении дана общая характеристика полученных в диссертациирезультатов в их взаимосвязи, обосновано научное единство и завершенностьдиссертационного исследования и обсуждаются направления его дальнейше­го развития.Список публикаций диссертанта1. Соболевский А. Н. Метод малой вязкости для одномерной системы урав­нений типа газовой динамики без давления // Доклады РАН.

Характеристики

Список файлов диссертации