Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс (1097541), страница 2
Текст из файла (страница 2)
2 состоит из двух частей, охватывающих разделы 2.1–2.6 и 2.7–2.11соответственно. Результаты, изложенные в первой части этой главы и опубликованные в [3, 4], были независимо получены диссертантом и ВейнаномИ12. Внимание каждого из нас обратил на этот круг задач Я. Г. Синай,которого заинтересовала неоконченная работа Ю. Мозера13, появившаясяв виде препринта в 1997 г. и ставшая в конце 1990-х гг. одним из источников «слабой теории КАМ».
Представленная в диссертации конструкция,связанная с редукцией задачи к функциональному уравнению, оригинальна,но является менее общей и мощной, чем инструментарий, представленный вработах А. Фати14, который в настоящее время стал стандартным. Поэтомус точки зрения современного состояния предмета основным результатом данного раздела является критерий единственности решения в терминах числавращения, впервые полученный в работах автора [3] и Вейнана И12.
Интерес представляет также связь с «идемпотентным анализом», с точки зрениякоторого полученные результаты относятся к спектральной теории идемпотентно-линейного оператора Беллмана [4].Вторая часть гл. 2 посвящена недавно замеченному (2009-10 гг.) применению подхода, построенного в последовательной аналогии со «слабой теориейКАМ», к задаче транспортной оптимизации на окружности. Речь идет об использовании таких идей, как (i) поднятие задачи на универсальную накрывающую, позволяющую перенести все рассмотрения в линейное пространство,12E W.
Aubry-Mather theory and periodic solutions of the forced Burgers equation // Communications onPure and Applied Mathematics. 1999. Vol. 52, no. 7. Pp. 811–828.13Jauslin H. R., Kreiss H. O., Moser J. On the forced Burgers equation with periodic boundary conditions //Differential Equations: La Pietra 1996 / Ed.
by M. Giaquinta, J. Shatah, S. R. S. Varadhan. Proceedings ofSymposia in Pure Mathematics. Vol. 65. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. Pp. 133–155.14Fathi A. Weak KAM from a PDE point of view: viscosity solutions of the Hamilton–Jacobi equation andAubry set // Proc. R. Soc. Edinburgh: Sect.
A Math. 2012. Vol. 142. Pp. 1193–1236.5(ii) минимизация транспортной стоимости относительно финитных возмущений и (iii) переход к подходящей двойственной переменной, для которой может быть определен аналог «усредненного гамильтониана» или функции Мезера15. Сама по себе аналогия между слабой теорией КАМ и транспортнойзадачей Монжа–Канторовича была замечена Мезером в одной из его первыхработ в указанной области 16 . Тем не менее, по-видимому, статья [11] — единственная публикация, где благодаря этой аналогии удается ввести нетривиальный «транспортный» аналог функции Мезера, который может быть эффективно вычислен, а на использовании этого обстоятельства оказываетсявозможным построить быстрый численный алгоритм.Гл.
3 посвящена исследованию локальной структуры решений нестационарного уравнения Гамильтона–Якоби. Как правило, в существующей литературе оно рассматривается как уравнение для функции значения некоторойзадачи оптимального управления или дифференциальной игры. Эта точказрения позволила развить глубокую и плодотворную теорию, результаты которой использованы в настоящей диссертации. С другой стороны, в нашейработе нестационарное уравнение Гамильтона–Якоби рассматривается какмодель нелинейного инерционного переноса масс, что приводит к новым постановкам задач: так, задача о динамике внутри сингулярных многообразийвряд ли могла бы быть даже поставлена в рамках первого подхода.Для уравнения Бюргерса или нестационарного уравнения Гамильтона–Якоби с квадратичным гамильтонианом такая постановка впервые рассматривалась И.
А. Богаевским1517, 18, работы которого мотивировали исследоMather J. N., Forni G. Action minimizing orbits in Hamiltonian systems // Transition to Chaos in Classicaland Quantum Mechanics. Springer-Verlag, 1994. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1589. Pp. 92–186.16Mather J. Minimal measures // Commentarii Mathematici Helvetici.
1989. — December. Vol. 64, no. 1.Pp. 375–394.17Bogaevsky I. A. Matter evolution in Burgulence. 2004. — Jul. math-ph/0407073v1.18Богаевский И. А. Разрывные градиентные дифференциальные уравнения и траектории в вариаци6вание, представленное в диссертации. Поскольку метод этих работ, основанный на применении некоторого дифференциального неравенства (см.
такжеизвестную книгу Х. Брезиса19), неприменим в случае уравнения Гамильтона–Якоби с общим строго выпуклым гамильтонианом, построенная в данной главе теория динамики в сингулярных многообразиях потребовала развития совершенно нового подхода, который удалось найти диссертанту совместно с К. М. Ханиным.
Этот подход основан на учете скорости изменениярешения вдоль различных кривых, который в совокупности с принципом наименьшего действия позволяет находить производные обобщенных траекторийв первом и более высоких порядках теории возмущений.Полученные в гл. 3 результаты соотносятся также с работами П. Каннарсы (P.
Cannarsa) и его соавторов о распространении особенностей 20 . Подход,принятый в этих работах, является геометрическим: в них решается вопросо возможности вложить в сингулярное многообразие липшицеву кривую. Посравнению с этими работами в диссертации принято новое и значительно более ограничительное определение обобщенной характеристики, связанное с ееинтерпретацией как траектории частицы сплошной среды, движение которойописывается уравнением Гамильтона–Якоби. Это определение позволяет нетолько установить существование обобщенных характеристик, но и избежатьпроблемы неединственности, которая обсуждается в21.Результаты главы 4 мотивированы статьей Вейнана И, Ю.
Г. Рыкова ионном исчислении // Математический сборник. 2006. Т. 197, № 12. С. 11–42.19Brezis H. Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert.North-Holland, 1973. North-Holland Mathematical Studies. Vol. 5. P. 183.20Cannarsa P., Sinestrari C. Semiconcave functions, Hamilton–Jacobi equations, and optimal control.Birkhauser, 2004. Progress in nonlinear differential equations and their applications. Vol. 58. P. 312.21Cannarsa P., Yu Y. Singular dynamics for semiconcave functions // Journal of the European MathematicalSociety.
2009. Vol. 11. Pp. 999–1024.7Я. Г. Синая22, а также заметкой А. И. Шнирельмана 1986 г.23, о которойдиссертанту любезно сообщил ее автор в 2001 г. Тогда же диссертант узнал отнего о статье Я. Бренье, содержащей упомянутую выше теорему о полярномразложении 1 . Эта и другие работы Я. Бренье в дальнейшем оказали большоевлияние на выбор тем исследования диссертанта и полученные им результаты— в том числе те, которые нашли отражение в гл. 4 и 5 диссертации, частьиз которых получена в соавторстве с Я. Бренье.В частности, гл.
4 посвящена исследованию геометрической формулировки динамики инерционного движения масс с прилипанием, в котором сохраняются как масса, так и импульс. Гл. 5 посвящена приложению затрагиваемогов диссертации круга идей к реконструкции динамической истории возникновения наблюдаемой крупномасштабной структуры распределения масс воВселенной. Проблема реконструкции впервые была поставлена для Локальной группы галактик Дж. Пиблзом (J. Peebles). В его работе24предложенметод, основанный на приближенной численной минимизации механическогодействия для дискретной группы галактик. В дальнейшем метод применялсяк исследованию крупномасштабной структуры в более крупных масштабах,вплоть до самых больших существующих каталогов галактик25.
Однако натаких масштабах более естественным является применение методов непре22E W., Rykov Y., Sinai Y. Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics // Communicationsin Mathematical Physics. 1996.
Vol. 177, no. 2. Pp. 349–380.23Shnirel’man A. I. On the principle of the shortest way in the dynamics of systems with constraints //Global analysis—studies and applications, II. Berlin: Springer, 1986. Lecture Notes in Math. Vol. 1214.Pp. 117–130.124См. с. 1.Peebles P. J. E. Tracing galaxy orbits back in time // Astrophysical Journal. 1989.
— September. Vol.344. Pp. L53–L56.25Nusser A., Branchini E. On the least action principle in cosmology // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2000.Vol. 313, no. 3. Pp. 587–595.8рывного, а не дискретного описания распределения масс.Такой метод был предложен в [5, 6] под названием «метод МАК». Кроме относительно высокой вычислительной эффективности, он отличается отметода численной минимизации действия тем, что реконструкция сводится ккорректно поставленной задаче выпуклого программирования, обладающейединственным решением. Физической основой предложенного метода является т. н.
космологическая теория возмущений (см., напр., обзор Ф. Бушеи др.26), в первых двух порядках которой поле смещений элементов массыпотенциально.Метод, предложенный в работах [5, 6] и гл. 5 диссертации, нашел применения в работах космологов S.
Colombi, H. Mathis, A. Szalay, J. Silk, R. BrentTully, B. Wandelt и их сотрудников (см. обзорный раздел диссертации). Можно также отметить неожиданное применение этого метода (взятого как частный метод транспортной оптимизации) в статистической термодинамике дляоценки минимально возможного производства энтропии в неравновесном процессе 27 .
Кроме того, данный метод вызвал значительный интерес со стороныматематиков, специализирующихся в теории транспортной оптимизации (см.,например, библиографию известной книги С. Виллани28).Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты, изложенные в ее первых четырех главах, могут быть использованы при дальнейших исследованиях обобщенных вязкостных решений уравнений Гамильтона–Якоби, в том числе структуры сингулярных множеств и динамики обобщенных характеристик этих решений; при построе26Bouchet F.
R., Colombi S., Hivon E., Juszkiewicz R. Perturbative Lagrangian approach to gravitationalinstability // Astronomy & Astrophysics. 1995. Vol. 296. Pp. 575–608. arXiv:astro-ph/9406013.27Aurell E., Mejı́a-Monasterio C., Muratore-Ginanneschi P. Optimal Protocols and Optimal Transport inStochastic Thermodynamics // Phys. Rev. Lett. 2011.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
