Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Во-вторы~с н это главное, даши ш частный метод удобно рассматривать с несколько иной точки зрения, чем использование окон вообще, а умение видеть различные трактовки одной и той же проблемы является важнейшим качеством современного спспиалиста в любой области. 325 Субоптимапьный синтез нерекурсивных фильтров живания АЧХ представляет собой половину периода косинуса. Такой фильтр называется фильтром с кгзсигсусоидсьтьгсылс сглшкиаоянелс г) ЧХ(га)зес) соэ)сзе Й!Гег) и для аналогового случая описывается в частотной области следугогпилг образом (рис.
6.5): 1, ) со ) < сок (1 — а ), 1 1. (я~в~-в„') К(в) = — — — гйп — "~, соо(1 — а) <(в( < в (1е а), 2 2 )2 аво О, ~ ст ) > сок(1 е а). (6.9) сок О соо() — а) юо соо(( к а) и -соо Рис. 6.6. АЧХ фильтра с косинусоидапьным сгпвкиванием к в СО5 — —, 1В(< аВ,, 1(г(в) = 2ав ( 2 авсс! О, ) в) > ово. 5к Зк Зк 5к О асоо со — — — О 2ано Заик 2аьв 2аосо -асоо Рис. 6.6. Весовая функция косинусоидального сгпвкивания в частотной (спева) и временной (справа) областях Параметр а называется коэффициентом сглаживогсия (гоНо(1 (асгог), он равен половине ширины переходной зоны, нормированной к частоте среза, При а - О фильтр преврашается в идеальный ФНЧ с прямоугольной АЧХ, при а - 1 АЧХ перестает содержать плоский участок в полосе пропускания.
Чтобы понять, как выглядит импульсная характеристика такого фильтра, заметим, что его АЧХ может быть получена как свертка идеальной прямоугольной Ас1Х с функцией в виде половины перпола косинуса (рис. 6.6 слева), математически описываемой следугошим образом: згб Глава Е.
Проектирование дискретных фильтров Такой спектр соответствует временному сигналу 1 "гь к' (к го ~,„г/ соз(аговт) ю(г) =— соз — е™ г/го = 1 (~ (6.10) С учетом всего сказанного получаем выражение для импульсной характеристи- ки ФНЧ с косииусоидальиым сглаживанием АЧХ: / гоо соз(агоа Г) з(п(гоо г) А(г) = — в / 2агор Г гав с 1-~Г к (6.11) Использованный способ сглаживания делает непрерывной не только саму АЧХ, цо и ее первую производную, поэтому полученная импульсная характеристика фильтра убывает пропорционально г . з Проверим, как будет вгвглялеть АЧХ дискретного фильтра с косииусоидальным сглаживаиием после усечеиия импульсной характеристики. Пусть частота среза составляет 1/8 от частоты дискретизации (1/4 от частоты Найквиста).
Тогда в (6.11) нужно подставить дискретные значения г = /гТ = — в = — /г = —. стх 8гов 4гов С учетом этого соз — 51п — сов — $!и ол ' "~ 4 о/г ' Будем использовать коэффициент сглаживания а - 0,25 и рассчитаем фильтр 32-го порядка, взяв /г в диапазоне -16„,16 (рис. 6.7): » Х -16;1б: » а)рпа = 0.25: ж коэффициент сглаживаниЯ » и = сов(а)рла*р1*М/4) ,/ (1 - (а)рла*Х/2)."2); » н(1юпг(н)) - р1/4; Ж устранение неопределенности » Ь - н .* в1пс((г/4) / 4: » 1глрг(Ь) Ж график инпульсной характеристики » (10цге » [Ь, Г) - Ггецх(Ь. 1. П . 2): » р)ос(С 20*)оо10(абв(П))) Ж график АЧХ в децибелах Свертка спектров соответствует перемножению функций времени, так что полученное выражение, по сути дела, описывает весовую функцию.
Ке график показан па рис. 6.6 справа. При иговг - кк/2 формула (6.10) дает неопределенность вида О/О. Вычисление предела показывает, что значение весовой функции в этих точках равно к/4: л 1пп ю(г) = —. Вх/(таьь ) 327 Субоптимальный синтез нерекурсивных фильтров » у)1а(Г-60 10]) » 9Г10 ОП 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 5 10 15 20 25 ЗО 10 -10 -20 -30 .40 -50 0.2 0.4 ОЯ 0.8 0 Рис. 5.7. Импульсная (сверху) и частотная (снизу) характеристики дискретного фильтра с косинусоидвльным сглаживанием АЧХ Сравнение рис. 6.7 и 6.3, где были приведены результаты простого усечения импульсной характеристики идеального ФНЧ, показывает, что импульсная характеристика фильтра с косинусоидальным сглаживанием затухает быстрее, а уровень боковых лепестков АЧХ уменьшился более чем на 10 дБ (до -33,3 дБ) без заметного расширения полосы пропускания.
Пульсации коэффициента передачи в полосе пропускания в данном случае тоже оказываются слабее. 80йТ-вариант Фильтры с косинусоидальным сглаживанием АЧХ, как уже говорилось, часто используются в системах связи для формирования спектра сигнала. При этом иногда используется идея враспределенияь этого фильтра между передатчиком 328 Глава 6. Проектирование дискретных фильтров и приемником. Тогда на передающей и приелщой сторонах используются одина- ковые фильтры, АЧХ которых показана на рис.
6.8 и представляст собой квад- ратный корень нз формулы (6.9): 1 )со ! < со,(1-а), с.! о-«))) "о- ) 1.1к „о") '! 4асоо О, ~ со ~ > соо (1 е сс). К(со) = ооо -ио О иоы — о) соо ио() ь в) от Рис. 6.8. АЧХ 80ЯТ-варианта ФНЧ с косинусоидальным сглахсиванием Импульсная характеристика такого фильтра описывается следующей формулой: ( з1»((1- ),с)1 Ыс) =, ', ~сов((1+а)атос) е а' -(4асоос)' ~ "асов Сс а (6.12) Фильтр такого типа называется 50тсТ-впртсанлтолс фильтра с косинусоидальным сглаживанисм АЧХ (айцаге гоог гаВей согйпе В!сег). Синтез дискретных Фильтров в МАТЮКАВ В МАТ1.АВ имеется более двадцати функций синтеза дискретных фильтров.
Большая нх часть сосредоточена в пакете 6!ява! Ргосезз(пя, три функции расчета конкретных фильтров имеются в пакете Сопившисайопз, наконец, несколько редко используемых на практике методов добавляет специализированный пакет Р!!сег 1)ез!яп. Осбцсие сведения о функциях расчета фильтров представлены в табл. 6.2. В столбце «Пакетэ используются следующие обозначения: ~3 ВР— 6!ива! РгоссЫвя; П Сопнп — Сотпщп(сас!опз; 0 Рок — Р!!сег Вез!яп. Кроме перечисленных функций в пакете 6!япа! Ргосезгйпй имеется программа РОАТоо! (Р1!сег Оез!яв апс1 Апа1угйз Тоо1), реализующая графический интерфейс для расчета фильтров и просмотра их характеристик, 329 Синтез дискретных фильтров в МАТГАН Функции, использующие билинейное ~-преобразование В пакете Б)ц1та1 Ргосезгйпй имеется функция Ь111пеаг, позволяющая синтезировать дискретный фильтр методом билинейного =-преобразования по произвольному аналоговому прототипу.
Кроме того, имеются готовые функции расчета фильтров Баттерворта, Чебышева первого и второго рода, а также эллиптических фильтров (фили ров Кауэра). Свойства этих аналоговых прототипов были описаны в главе 2, там же были рассмотрены функции МЛТ1.АВ для расчета аналоговых вариантов данных фильтров. При расчете дискретных фильтров используются те же самые функции, только без последнего параметра 'з", кроме того, частоты среза задаются нормированными к частоте Найквиста. Аналогичное «двойное назначение» имеют и функции выбора порядка фильтра (см. раздел Выбор порядка фильтра» главы 2).
В принципе сказанного должно быть достаточно, чтобы читатель смог воспользоваться функциями синтеза дискретных фильтров, обратившись к материалу главы 2. Однако, чтобы сосредоточить ипформацшо о синтезе дискретных фильтров в одном месте, кратко повторим синтаксис вызова функций и описание их параметров. Функции синтеза стандартных фильтров Функции, о которых здесь пойдет речь, выполняют расчет дискретных ФНЧ, ФВЧ, полосовых и режекторных фильтров по аналоговым прототипам Баттерворта, Чебышева (первого и второго рода) и Кауэра методом билинейного --преобразования. Требуемая при этом последовательность действий оформлена в виде следующих функций МАТ1.АВ: 0 Ьи11ег(п, иО. 1уре) — расчет фильтров Баттерворта; С) сЬеЬупп.
йр, иО, 1уре) — расчет фильтров т1сбышева первого рода; 0 сПеЬу2(п, Оз. иО, Ьуре) — расчет фильтров Чебышева второго рода; 0 е111р(п, Ор. Оз, нО, Суре) — расчет эллиптических фильтров (фильтров Кауэра). Параметры всех функций зала|отея одинаково, поэтому обсуждать функции по отдельности не будем. Перечисленные функции позволяют рассчитывать как дискретные, так и аналоговые фильтры.
Признаком дискретного расчета служит отсутствие строки 'з' в конце списка входных параметров. Использование этих функций для расчета аналоговых фильтров было рассмотрено в разделе «Расчет аналоговых фильтров» главы 2. Параметры и, йр, Оз (их состав завцсит от типа фильтра) — это параметры фильтра-прототипа: и — порядок фильтра, йр — уровень пульсаций АЧХ в полосе пропускания (в децибелах), йз — уровень пульсаций ЛЧХ в полосе задерживания (в децибелах).
Более подробное описание этих параметров было приведено в разделах главы 2, посвященных фильтрам-прототцпам. ы с ,с ~с с с с о о ' 'с о о о с. » 8 о "- о~ Я о о , Й с о с Д Ю с о Д о о о Я о с о с о ы с о х а3 с с й с о с с! о, с~ о) с, И' 3. с с о о ос,' а о о с с о Ех : й" о о о с 5 ,а а Я я с 8 р с, Ж! с о с ) о й 'Я— о с. с с о ы с. И у ' с.' с о/ ф =) о й~ ,О О х О х ~О з о и Б Ф Е Б СФ х с> х й~ Й о йи Я И С4 сй ч $ й %! Д о й а о й Ь .О р и ~ о ~,' о Л Б и й ;с й к о Р И й ~о а й Д М о О 3~ ~й~ а ~- ~ Е й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
