Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Узнать подробнее о числе!сных методах оптимизации, в том числе с ограничениями, можно, например, из книги (17!. При Р - оз рассматриваемая норма ошибки равна максимальному абсолютному отклонению характеристики от заданной. Минимизация этой нормы соответствует минимаксной аппроксимации (пппппах арргохшшйоп) и дает фильтры с равномерными пульсациями АЧХ (ег!шг!рр!е В1сег). Для минимаксного синтеза нерекурсивных фильтров используется метод чвбышевской аппроксимагСии с использованием алгоритма многократной замены Ремеза, соответствующий алгоритм расчета применительно к синтезу дискретных фильтров разработан Парксом (Т. Ж. Рагкз) и Мак-Клелланом (!.
Н. МсС!е!1ап). Узнать о данном алгоритме подробнее можно, например, из книги [8]. Субоптимальные методы Как уже говорилось, субоптимальные методы позволяют упростить вычисления за счет учета специфики решаемой задачи. При этом, в частности, может использоваться тот факт, что коэффициенты числителя функции передачи фильтра линейно связаны с его комплексной частотной характеристикой и потому влияют на ее форму значительно слабее, чем коэффициенты знаменателя. Кроме того, для поиска коэффициентов знаменателя часто используются методы авторегрессионного анализа (см.
раздел «Авторегрессионная модель» главы 5). Вот перечень субоптимальных методов синтеза, реализованных в МАТ!.АВ (пакет 5!япа! Ргосезз!пя): 0 метод, основанный на решении системы уравнений Юла — Уолкера (Уп!е— Сч'а1!сег) для поиска коэффициентов знаменателя функции передачи фильтра; 0 метод идентификации частотной характеристики, в котором минимизируется норма разности между числителем функции передачи и произведением желаемой частотной характеристики и знаменателя функции передачи фильтра; 1:1 аппроксимация заданной импульсной характеристики с помощью метода экспоненциального оценивания Прони (данный алгоритм был разработан Гаспаром Рише (бароном де Прони) в 1795 г, для подгонки экспоненциальной модели под экспериментальные данные при исследовании физических свойств газов); 320 Глава 6.
Проектирование диокретнык фильтров О метод, основанный на использовании весовых функций (окон). Данный алгоритм будет подробно рассмотрен далее, в разделе «Синтез с использованием окон»; О синтез ФНЧ с косинусоидальным сглаживанием АЧХ является частным случаем использования окон; данный метод также будет подробно рассмотрен далее (см. раздел «Фильтры с косинусоидальным сглаживанием АЧХ»). Дополнительные сведения о конкретных субоптимальных методах будут приведены далее, при описании соответствующих функций МАТВАВ. Субоптимальный синтез нерекурсивных фильтров В данном разделе будет подробно рассмотрена общая идея синтеза нерекурсивпых фильтров с использованием окон, а также частный случай, связанный с применением конкретного окна и приводяший к фильтрам с косинусоидальным сглажпванием АЧХ.
Синтез с использованием окон Данный метод предназначен для синтеза нерекурснвцых фильтров. Идея его очень проста. Прежде всего мы задаем желаемый комплексный коэффициент передачи в виде непрерывной функции, определенной в диапазоне частот от нуля до частоты Найквиста (если синтезируется вещественный фильтр) или до частоты дискретизации (если проектируется комплексный фильтр). Обратное преобразование Фурье этой характеристики, вычисленное с учетом ее периодического характера, даст бесконечную в обе стороны последовательность отсчетов импульсной характеристики. Для получения реализуемого нерекурсивного фильт.
ра заданного порядка эта последовательность усекается — из нее выбирается центральный фрагмент нужной длины. Простое усечение последовательности отсчетов импульсной характеристики соответствует использованию лрягюугольного окна. Из-за усечения первоначально заданная частотная характеристика искажается — она сворачивается со спектром окна. В результате появляются переходные полосы между областями пропускания и задерживания, наблюдаются колебания коэффициента передачи в полосах пропускания, а в полосах задерживания АЧХ приобретает лепестковый характер. Для ослабления перечисленных эффектов и прежде всего для уменьшения уровня лепестков в полосах задерживания усеченная импульсная характеристика умножается на весовую функцию (окно), плавно спадающую к краям.
Мы уже говорили о весовых функциях применительно к спектральному анализу (см. раздел «Весовые функции» главы 5) и видели, что различные используемые на практике окна имеют разный уровень боковых лепестков. Однако величина боковых лепестков собственного спектра окна не совпадает с величиной лепестков АЧХ фильтра, синтезированного с применением данного окна. Убедимся в этом на простом примере, используя различные окна для синтеза нерекурсивного ФНЧ 32-го порядка с частотой среза, равной 1/4 от частоты Найквиста. 321 Субоптимальный синтез нерекурсивных фильтров Прежде всего рассчитываем бесконечную импульсную характеристику. Обратное преобразование Фурье от интересуюшей нас ЛЧХ (ФЧХ считаем нулевой) дает следующее; л(я) 1 з)п(к ге'4) (6.'?) 4 як/4 Для получения фильтра 32-го порядка выбираем 33 отсчета этой импульсной характеристики, расположенных симметрично отпосптсльно нуля, то есть используем г) = -16...16.
Выбор симметричного фрагмента бесконечной импульсной характеристики позволяет получить фильтр с линейной ФЧХ и, следовательно, постоянной групповой задержкой, равной (в отсчетах) половине порядка фильтра. 0,25 0.2 0.15 0.1 0.05 -0.05 5 10 15 20 25 ЗО О 10 -10 -20 -ЗО -40 0.6 О.В 0 02 04 Рис. 6.3. Импульсная характеристика (сверху) и АЧХ (снизу) ФНЧ, синтезированного с использованием прямоугольного окна згг Глава 5, Проектирование дискретных фильтров Урезав импульсную характеристику, мы фактически использовали прямоугольное окно. Построим графики импульсной характеристики полученного фильтра и его АЧХ (рис.
6.3), » у (-16:16)': » Ь = 51ПС(д/4)(4: » (гара(Ь) Ж график иипульской характеристики » Г(Оцге » [Ь, т) - Ггеоа(Ь, 1. П, 2): » р)от(т, 20*)а010(абв(Ь))) 3 график ДЧХ в децибелах » у)1гп(Е-60 101) » дг10 оп Из графика АЧХ видно, что уровень боковых лепестков составляет -21 дБ, а их ширина равна 1/32 от частоты дискретизации. 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0,05 0 5 10 15 20 25 30 10 -10 -30 -40 -70 0 0.2 0.4 0.5 0.8 Рис. 6.4. Импульсная характеристика (свврху) и АЧХ (снизу) ФНЧ, синтезированного с использованием окна Хзммингв згз Субсптнмальный синтез нерекурсивных фильтров » Ь1 - Ь .* Папюп'п9(ЗЗ): » тпрз(Ь1) >ь т!9цге (П1 т) - тгеот(Ь1, 1, П .
2)' » р)аг(т, 20*)о910(асв(П1))) Ж график АЧХ в децибелах » у)ап((-80 10)) ьх 9Г10 оп 1 график иипульсной характеристики Как видите, уровень лепестков в полосе задерживания упал примерно до -52 дБ за счет некоторого расширения полосы пропускания. Сведения об уровне лепестков, достигаемом прн синтезе (()НЧ с использованием разных окон, сведены в табл. 6.1. Результаты получены с помощью МАТБАВ при синтезе фильтра 256-го порядка с частотой среза, равной 1/4 от частоты Найк- виста.
Уровень лепестков в некоторой степени зависит от порядка фильтра и его частоты среза, поэтому данные, приводимые в различных литературных источниках, могут несколько различаться. Этот эффект мы только что наблюдали: АЧХ, привеленная на рис, БА, имеет уровень боковых лепестков -52 дБ (фильтр 32-го порядка), а в табл. 6,1 для окна Хэмминга указана величина -53,6 дБ (фильтр 256-го порядка). Таблица 6.1. Уровень боковых лепестков прн синтезе ФНЧ с окнами разного типа Уровень боковых лепестков„ди .Тип окне -21,0 ~ Прямоугольное Треугольное ~Бартлетта — 26,5 ~ -44,0 Ханна — 53,6 Хзммннга Г , Чебышева при Б - 80 дБ -92,4 В случае окон Кайзера и Чебышева результаты зависят от дополнительных параметров этих окон.
Для окна Кайзера есть эмпирическая формула, связываю- Теперь воспользуемся какой-либо весовой функцией, например окном Хэммнп- га, которое используется по умолчатгиго при синтезе фильтров данным методом в МАТБАВ (функции ттг1 и ттг2). Результаты показаны на рис. 6.4. 324 Глава 6. Проектирование дискретных фильтров щая параметр 1) с уровнем подавления боковых лепестков а (в децибелах) при синтезе ФНЧ (см., например, документацию пакета 518па! Ргосезяпй): О, а <21, — 0,5842(а -21)"и + 007886(п -21), 21 < а < 50, 0,1102(а -8,7), а >50.
(6.8) Из табл. 6.1 видно, что использование весовых функций позволяет достигнуть подавления боковых лепестков, превышающего 90 дБ. Однако следует помнить о том, что уменьшение уровня боковых лепестков неизбежно приводит к расширению переходной зоны между полосами пропускання. н задержпвапия. Поэтому выбирать весовую функцию следует исходя пз требоватшй, предъявляемых к параметрам фильтра. Фильтры с косинусоидальным сглаживанием АЧХ Итак, пусть нам необходимо синтезировать ФНЧ с заданной частотой среза, Об-' суждая использование окон, мы видели, что обратное преобразование Фурье от идеальной прямоугольной АЧХ дает отсчеты бесконечной в обе стороны импульсной характеристики вида яп(а/г)/(а/г) (см.
формулу (6.7)). Далее было показано, что простое усечение этой бесконечной импульсной характеристики плохо сказывается на АЧХ, поэтому необходимо использовать весовые функции. На сей раз задумаемся, от чего гиожет зависеть степень проявления нежелательных эффектов прп усечении бесконечных характеристик. Очевидный ответ — от скорости убывания отсчетов характеристики. Исходный вариант (6.7), соответствующий прямоугольной АЧХ, убывает пропорционально 1г. Это связано с наличяем разрывов (скачков) у АЧХ (см, раздел «Примеры разложения сигналов в ряд Фурье» главы 1. Там идет речь о связи скорости убывания спектра с количеством непрерывных производных у сигнала, но благодаря дуальности прямого и обратного преобразований Фурье те же соотношения выполняются и в другую сторону). Итак, увеличив скорость затухания импульсной характеристики, можно надеяться, что ее усечение скажется на виде АЧХ не столь катастрофически.
Для ускорения затухания необходимо изменить спнтезпруемую АЧХ так, чтобы она не содержала разрывов, В этом разделе мы рассматриваем косииусоидальпое сглаживание, при котором в переходной зонс от полосы пропускания к полосе задер- Строго говоря, расчет фильтров с косицусоидальным сглаживанпем АЧХ следует отнести к категории методов, основанных на весовых функциях. Однако мы рассматриваем этп фильтры отдельно по следующим двум причинам. Во-первых, они получили широкое распространение в телекоммуникапионных системах (в частности, для формирования спектра при квадратурной манипуляции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
