Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Чтобы частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров были связаны простой зависимостью, искомая замена переменной должна отображать мнимую ось в з-области па единичную окружность в с-осбласти. В атом случае частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров будут связаны лишь трансформацией частотной оси и никаких искажений «по вертикали> не будет. Простейшей из функций, удовлетворяющих перечисленным требованиям, является билинейное --преобразование (Ъ111пеаг сгапз(огспаг)оп): -1 в = —: =2Т« —,, (6.1) Т =+1 «1+; ' Частотные характеристики аналогового Кх (со) и дискретного К, По) фильтров, как уже было сказано, связаны друг с другом лишь трансформацией частотной осв; Кх(со) = ʄ— тя— Кк(со) = Кх — агсгя— (6.2) На низких частотах, когда соТ «1, тангенс примерно равен своему аргументу, так что — Ся~ — ! и со, если соТ << 1.
2 Г отТ1 Т 1,2! З15 Синтез рекурсивных фильтров по аналоговому прототипу Поэтому в области низких частот частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров почти совпадают. Далее, по мере ускорения роста функции тангенса, частотная характеристика дискретного фильтра все сильнее сжимается по горизонтали (по сравнению с аналоговым прототипом) и на частоте Найквиста, равной и/Т, достигает значения, которое частотная характеристика аналогового фильтра имела бы на бесконечной частоте (рис, 6А). 'я(;(е)~ О !ах(е)! Рис.
6.1. Трансформация частотной оси при билинейном г-преобразовании При билинейном;-преобразовании левая половина з-плоскости отображается внутрь единичной окружности на --плоскости, поэтому синтез по устойчивому аналоговому прототипу даст гара.нтированно устойчивый дискретный фильтр (см. раздел «Полюсы и вычеты» в главах 2 и 4, где шла речь об условиях устойчивости соответственно аналоговых и дискретных систем). Для получения дискретного фильтра с заданными частотами среза необходимо скорректировать частоты среза аналогового прототипа, чтобы компенсировать искажения частотной оси. Так, для синтеза дискретного ФНЧ с частотой среза от„аналоговый фильтр-прототип должен иметь частоту среза отвм связанную с отв„следующим образом: (6.3) Т 2 Метод инаариантной импульсной характеристики Метод иввариаптной импульсной характеристики (нврц!зе 1пуаг1апсе) позволяет синтезировать рекурсивный дискретный фильтр путем дискретизации импульсной характеристики аналогового прототипа. Как говорилось в разделе «Полюсы и вычеты» главы 2, импульсная характеристика аналоговой цепи с сосредоточенными параметрами может быть представлена в виде суммы экспоненциальных слагаемых Ь!(г) А е"' З16 Глава б.
Проектирование дискретных фильтров и (при наличии кратных полюсов) слагаемых вида Ьз(т) " А Г" ер'. Каждое из этих слагаемых может быть дискретизироваио и воспроизведено в дискретном виде. Экспонеициальиые слагаемые вида Ьг(1) после дискретизации дают последовательность отсчетов Ьг(Ь) А е~рт (6.4) Х-преобразование этой последовательности равно (см. раздел «Примеры вычисления г-преобразования» главы 3) А зтт ( ) А(1+ Ерт -1 1 Е2рт„-2 + Езрт -3 1 ) 1-е""; ' Такая функция передачи соответствует дискретному рекурсивному фильтру 1-го порядка. Теперь займемся слагаемыми вида Ьв(Г), соответствующими кратным полюсам. Такое слагаемое дает после дискретизации последовательность отсчетов Ьз(Ь) А (ЬТ)р е рт Х-преобразование этой последовательности можно легко рассчитать, если заметить, что оиа представляет собой и-ю производную по р от последовательности (6А): Я (-) А(7.
ерт--1 +(2Т)«езрт -2 +(3Г) езрт -з + ) г" ( =А — ~ Ы 1— Такая функция передачи, получаемая после вычисления п-й производной, соответствует дискретному рекурсивному фильтру и-го порядка. Выполнив указанные преобразования для всех слагаемых, мы получим дискретный фильтр, импульсная характеристика которого представляет собой дискретизироваииую версию импульсной характеристики аналогового прототипа. Частотная характеристика получаемого фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизированиото сигнала связан со спектром сигнала аналогового — периодическим повторением (см.
раздел «Спектр дискретного сигнала» главы 3). Поатому для получения хороших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогово. го прототипа должен быть пренебрежимо малым иа частотах, превышающих частоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, ио непригоден для синтеза ФВЧ и режекторвых фильтров. В качестве примера синтезируем методом иивариаитиой импульсной характеристики ФНЧ Чебышева 2-го порядка с частотой среза 10 кГц, причем специально выберем недостаточно высокую частоту дискретизации (48 кГц), чтобы хорошо видеть эффекты, связанные с наложением сдвинутых копий спектра (рис. 6.2): » 10 = 10еЗ; Ж частота среза » [Ь, а) = сПеЬу1(2, 3.
ГО*2*рт, 'в Э; Ж аналоговый фильтр З17 Прямые методы синтеза » Ез - 48еЗ. Ж частота дискретизации [Ьг. аг) = тнр1пчаг(Ь, а. Ез); Ф дискретный фильтр » Ж ЧХ дискретного фильтра » (Пг, нг1 = Егецг(Ьг, аг, Ц, Ев. 'Мю1е'): Ж ЧХ аналогового фильтра » П = угецз(Ь, а, 2*р1"иг): » р1ог(иг. аЬв(Ь). ':') » Ь01т( ап » р10С(иг, аЬ5()тг)) » П01г) 01'г » х1аЬе1('Егесцепсу (Нг)') » у1аЬе1('Ма9птьцт)е') » х1(в((0 Е33) » 9г1г) Оп 0.9 0.5 0.7 е 0.6 з 'с ол 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Егелиепсу (Нз) х10 Рис. 6.2.
АЧХ аналогового прототипа (пунктир) и дискретного фильтра (сплошная линия), синтезированного методом инаариантной импульсной характеристики На рисунке хорошо видно, что из-за недостаточно высокой частоты дискретизации коэффициент передачи аналогового фильтра на частоте Найквиста недостаточно мал, что обусловливает заметные искажения формы АЧХ синтезированного дискретного фильтра. Повышение частоты дискретизации позволяет сделать этн искажения пренебрежимо малыми. Прямые методы синтеза Название «прямые методы» означает, что в данном случае не используется аналоговый прототип, Исходными данными для синтеза служат какие-либо параметры фильтра (чаще всего — его АЧХ), которые могут задаваться, вообще говоря, произвольно. 318 Глава 6, Проектирование дискретных фильтров 0 оптлигсальссьсе методы, в которых численными итерассиотсныьси методами ищется минимум заданной функции качества; (;) стгбопптималсосьсе методы, не даюпше в точности оптимального решения, но позволяюсцие значительно упростить вычисления по сравнению с оптимальными методамн.
Как правило, зти кссгоды используют специфику решаемой задачи, например дробно-рациональный внд функции передачи рекурсивного фильтра или экспоненпиальный вид отдельных слагаемых его импульсной характеристики. Оптимальные методы Чаше всего отправной точкой при расчете фильтра служит его желаемая частот- ная характеристика — либо АЧХ (когда фазовые характеристики не важны), либо комплексный коэфс1нсциент передачи. В качестве минимизируемой меры откло- нения характеристики фильтра от заданной в общем сг(учае используется р-нор- ма ошибки. Такая норма Ел для функции Ях), определенной на интервале от а до Ь, рассчитывается следующим образом; ,л=~Пс ~" ~ Чаше всего используются два значения Ел р - 2 и р - со. При р - 2 норма Е, порциональца среднеквадратическому значеншо функции.
При р -ь со норв дает максимальное (гю модулю) значение функции, достигаемое на расом ваемом интервале. Поскольку корень р-й степени при любом р является монотонно возрастас функцией, при расчете минимизируемой величины его можно не вычислят Если при синтезе фильтра нас интересует только его АЧХ, р-норма ошибки рассчитывается следующим образом: и, л Ел(е) = ) те(со)~Р(со)-(К(со)~ ~ Исо, о где Р(со) — желаемая АЧХ, ~ К(от)! — АЧХ фильтра, ю(от) — неотрицательна ществепиая весовая функция.
Использование весовой функции позволяет дать разнусо значимость различным участкам частотной оси. В частности дает возможность задать переходные зоны, поведение АЧХ в которых не и значения. В этих зонах значение весовой функции должно быть нулевым. Если необходимо аппроксимировать заданную частотную зависимость кома ного коэффициента передачи, норма ошибки аппроксилсации рассчитывается ~8 Е„(е) = ) кс(от)~Р(от)-К(со)) осто.
о Здесь Р(со) — желаемая комплексная частотная характеристика, К(со) — частот- ная характеристика реального фильтра. В большинстве случаев задача минимизации функции (6.5) или (6.6) не имеет аналитического решения. Исключение составляет синтез нерекурсивного фильт- ра при р - 2, когда рассматриваемая оптимизационная задача приводит к систе- Прямые методы синтеза можно разделить на две категории: проса Е„ атри- ! ошей ь. е (со) (6,5) мест 1 текс- (6.6) 319 Прямые методы синтеза ме линейных уравнений относительно коэффициентов фильтра. При этом если весовая функция не используется (то есть если ш(со) =- 1), то коэффициенты фильтра представляют собой коэффициенты разложения желаемой частотной характеристики в ряд Фурье.
Однако минимизация среднеквадратической ошибки приводит к появлению больших выбросов АЧХ при попытке аппроксимировать ее скачкообразное изменение. Это связано с явлением Гиббса, которое рассматривалось в главе 1 при обсуждении рядов Фурье. В общем случае задача, как уже говорилось, не имеет аналитического решения и поэтому должна решаться итерационными численными методами. Для уменьшения влияния эффекта Гиббса при этом может использоваться наложение ограничений на предельное абсолютное отклонение частотной характеристики от заданной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
