Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Последовательное включение резонаторов Типа Гтт после гребенчатого фильтра дает действительный ФОЧВ Типа !Ъ' с передаточной функцией %12 Нт Гу(г) = (1 т)УЗ-Н)~~~'( 1))т]Н()т) ](1- г 2г 2)у' «-О (7-23) у']1 — 2тсов(2лИут)т7) г 1 + т22 2], где тт( —. четное. (Заметьте, что при нечетном ттт величина Й = Нтт2 не является целым числом, и член /Н()У/2)! не существует.) Как показано в разделе 6 приложения О, частотная характеристика ФОЧВ Типа!'тт имеет вил тт12 Нтчрп гу(ет ) = е Уез)УУ2~т ( — 1)" ] Н(]т) ] [соз(иЖ/2 — и) — соз(и)((тт2 + и)]тт )т=О (7-24) асов(2лп(,'й) — соз(и)], При четном 1т(частотная характеристика и ее модуль на частоте резонанса для отдельной секции ФОЧВ Типа 1Ъ' определяются выражениями Нт „, (у(ело) = е тщ)УУ2!соз(иМ,'2 — и) — соз(и)т1/2 ь и)]/ ррт- (7-25) у] соз(2л/гттЮ) — соз(и)], 306 Глава 7.
Специальные КИХ- ильт ы нижних частот ~Нгуре-!у(еги) ),„глу~)т) = Ю, )г = 1, 2, ..., (У/2) — 1. (7-26) Модули этой частотной характеристики при л .= О (постоянная составляющая) и 1г = (Н/2)(1; /2) равны )Нтуре тУ(е) ) )ы а = ~Нтуре-)У(~ла)!ы=л (7-27) Модифицированные резонаторы типа )Ч Модифицированный резонатор Типа М )н)мг)уг )а) Рис. 7.22. Действительный ФОЧВ Типа )Ч при четном )ч': (а) структура; (Ь) модифицированный резонатор Мы уже прошли долгий путь.
В таблице 7.1 подводится итог тому, что мы узнали о действительных ФОЧВ. В таблице приводятся средняя групповая задержка в полосе пропускания, измеренная в периодах дискретизации, количество умноже- Для уменьшения количества умножений при реализации резонатора кажется естественным объединить два умножителя на коэффициент — т. г на рисунке 7.21 (а), что упростит резонатор Типа 1Ъ', как показано на рисунке 7.21 (Ь).
Однако для уменьшения количества как умножений, так и сложений следует реализовать множитель (1 — ггг г) в числителе (7-23) как гребенчатый фильтр второго порядка, что и показано на рисунке 7.22 (а) [51 При этом резонатор Типа 1Ч преобразуется в форму, показанную на рисунке 7.22 ()т). Множители)Н(0)~ /2 и)Н(У/2)~ /2 компенсируют коэффициент передачи резонатора Типа 1Ч, равный 2У согласно (7-27). Символы "+" на рисунке 7.22 (а) снова напоминают о том, что при четном У значение )т = )ч/2 может быть четным или нечетным.
Этот ФОЧВ обладает одним полезным свойством, а именно: длина его импульсной характеристики равна %+1 отсчетов. Следовательно, в отличие от ФОЧВ Типов 1, П и П1 ФОЧВ Типа 1Ч с четным ттт имеет симметричную импульсную характеристику секции (г = Н/2 (чередующиеся +1) и может быть использован для построения ФВЧ с линейной ФЧХ. При нечетном У секция )з = )ч/2 на рисунке 7.22 отсутствует, и передаточная функция ФОЧВ Типа 1Ъ' при нечетном А)идентична (7-23) при верхнем пределе суммирования (У-1)/2 вместо тт)/2.
7. 1. Фильт ы на основе частотной аыбо ки: реченное иск сотар 307 ний и сложений на выходной отсчет для одной секции ФОЧВ и несколько замеча- ний о характеристиках разных действительных ФОЧВ. Коэффициенты передачи секций на их резонансных частотах в предположении, что требуемые коэффициен- ты !Н®~ равны единице, равны И для всех четырех действительных ФОЧВ. Таблица 7.1.
Сводка свойств действительных ФОЧВ с четным И Тип Групповая Количество Количество Замечания действительного задержка умножений сложений ФОЧВ ! (рисунок 7.16) П (рисунок 7. 18) И/2 Оченьлинейная ФЧХ. Не может использоваться для построения ФВЧ с линейной ФЧХ ))! (Ич-1)/2 4 (рисунок 7.19) И/2 (Н (рисунок 7. 22) Мы вывели несколько разных выражений для частотной характеристики Н(е!ы) не столько для того, чтобы использовать их для моделирования поведения ФОЧВ, сколько для того, чтобы изучить их и помочь построить структуры ФОЧВ.
Напри- 7.1.8. Моделирование ФОЧВ ФОЧВ с действительными коэффициентами. ФЧХ примерно линейная Модифицированная и более эффективная версия ФОЧВ типа !. ФЧХ примерно линейная. Одно из умножений резонатора можно заменить двоичным сдвигом влево Оченьлинейная ФЧХ. Улучшенное подавление в полосе задерживания.
Может использоваться для реализации фильтров нижних и верхних частот, а также полосовых Глава 7. Специальные КИХ- ильт ы нижних частот меР, анализ свойств Нту ту(е)и) пРивел нас к использованию множителЯ 1/2 в структуре ФОЧВ Типа 1Ч. При моделировании ФОЧВ, к счастью, нет необходимости писать программу вычисления частотных характеристик с использованием разных выражений для Н(е)и), приведенных здесь.
Достаточно написать программу вычисления импульсной характеристики моделируемого ФОЧВ, дополнить ее достаточным количеством нулей, чтобы длина расширенной последовательности была в 10-20 раз больше длины исходной, вычислить ДПФ дополненной последовательности и построить графики полученных интерполированных АЧХ и ФЧХ. Конечно, если длина дополненной последовательности равна целой степени двойки, вы сможете использовать для вычисления частотных характеристик эффективный алгоритм БПФ.
С другой стороны, многие коммерческие пакеты программ имеют встроенные функции вычисления частотных характеристик только по коэффициентам передаточных функций. 7.1.9. Улучшение характеристик с помощью коэффициентов переходной полосы Мы можем повысить подавление в полосе задерживания ФОЧВ, если тщательно определим значения отсчетов АЧХ (Нф)! в переходной полосе, между полосами пропускания и задерживания.
Например, рассмотрим ФОЧВ НЧ Типа 1Ч, имеющий семь секций с единичным усилением при А1 = 32, требуемая характеристика которого, показана на рисунке 7.23 (а), а реальная АЧХ вЂ” на рисунке 7.23(Ь). Задание переходного отсчета характеристики, коэффициента Тв значение которого лежит в пределах от 0 до 1, как на рисунке 7.23 (с), уменьшает разрыв при переходе требуемой характеристики от полосы пропускания к полосе задерживания. Задание Тт = ОЗ89 приводит к уменьшению пульсаций АЧХ в полосе пропускания и улучшает подавление боковых лепестков в полосе задерживания, как показано на рисунке 7.23 (д). Это улучшение достигается ценой появления дополнительной секции ФОЧВ и расширения переходной полосы.
Значение Т~ = ОЗ89 выбрано не произвольно и не по каким-то магическим правилам. Измерение максимального уровня боковых лепестков в полосе задерживания для разных значений О < Т~ < 1 показало наличие оптимального значения для Ть На рисунке 7.24 показано, что максимальный уровень боковых лепестков минимизируется, когда Т1 = 0.389. Минимальный уровень бокового лепестка — 46 дБ (при Тт = ОЗ89) соответствует высоте максимального бокового лепестка в полосе задерживания на рисунке 7.23 (д).
Этот общепризнанный метод использования коэффициентов в переходной полосе для уменьшения пульсаций АЧХ в полосе пропускания и минимизации боковых лепестков в полосе задерживания применим также к полосовым ФОЧВ, когда переходные отсчеты размещаются непосредственно перед и сразу за единичными отсчетами полосы пропускания. Еще большее подавление боковых лепестков возможно при использовании двух переходных коэффициентов, Т~и Т2, таких что О < Т2 < Т~ < 1. (Примечание: вслучае ФНЧ, если Т1 есть отсчет (Н(А)(, то Т2 есть отсчет ~Н(1+1)1) Каждый дополнительный переходной коэффициент улучшает подавление в полосе задерживания примерно на 25 дБ.
Однако поиск оптимальных значений коэффициентов Т п редставляет собой серьезную задачу. Значения оптимальных коэффициентов пере- 7. 1. Фильг ы на основе частотной выбо ки: аченное ис ссгво 309 ходной полосы зависят от количества секций ФОЧВ с единичными коэффициентами, от значения У и количества используемых коэффициентов. К сожалению, замкнутой формулы для вычисления оптимальных значений переходных коэффициентов не существует, мы вынуждены искать их эмпирически.
Отсчеты (НРО( ФОЧВ нижних частот лчх -10 и 0.75 0.5 0.25 -20 -зо .40 0 -50- — — — — —. 0 0 2 0.4 - 0.6 0.8 ,0 0.2 0.4 0.6 ' 0.8 1 частота Частота (а) (ь) Отсчеты (Н(к)( ФОЧВ нижних частот лчх -10 й 0.75 0.5 0 25 -20 -зо о -50 0 0.2 0.4 0 6 0.8 0 Частота (с) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Частота (6) Рис. 7.23. ФОЧВ Типа 1Ч с И = 32: (а) требуемая АЧХ; (Ь) реальная характеристика; (с) использование одного переходного отсчета; (б) улучшенное подавление в полосе задерживания если используется один коэффициент (т(), поиск его оптимального значения можно выполнить с помощью одномерного поиска. Для двух коэффициентов поиск становится двумерным и т.
д, К счастью, в литературе имеются описания метода поиска на основе линейной алгебры [1, 6-8], а коммерческие математические пакеты программ содержат встроенные функции оптимизации, облегчающие такой трудоемкий поиск. Для ФОЧВ Типа 1хтП опубликованы таблицы оптимальных коэффициентов переходной полосы для разных (тт, при разном количестве секций ФОЧВ [1], подмножество этих таблиц приведено в качестве приложения к учебнику [2]. Для более качественных ФОЧВ Типа 1тт таблицы оптимальных коэффициентов подготовлены автором этой книги и приведены в приложении Н.
Приняв к сведению эти обнадеживающие новости, мы скоро рассмотрим пример проектирования реального ФОЧВ, который позволит оценить преимущества ФОЧВ. х о ° ° ° ° $ ° ° Рис. 7.24. Максимальный уровень бокового лепестка как функция значения коэффициента переходной полосы для действительного ФОЧВ Типа!Ч с семью секциями при И = 32 7.1.10. Другие структуры ФОЧВ Если коэффициент прямой связи гребенчатого фильтра на рисунке 7.22 равен -тпт(Ю вЂ” четное), Лтнулей его передаточной функции распределены равномерно на окружности, радиус которой меньше единицы, как показано на рисунках 7.4 (с) и 7.25 (а), так что ноль ( = 1 имеет аргумент, равный 2тг/Юрадиан.
В этом случае при нечетном Унули гребенки распределены так, как показано на рисунке 7.25 (Ц. Возможна другая ситуация, когда коэффициент прямой связи гребенчатого фильтра равен +т~. В этом случае нули при четном Юрасполагаются на окружности в направлении, обратном ходу часовой стрелки, с шагом ст/У радиан, как показано на рисунке 7.25 (с), где ноль й = 1 имеет аргумент Зл/Урадиан 151 Нули 7т = О показаны на рисунках черными точками. Структура ФОЧВ во втором случае идентична структуре ФОЧВ в первом случае.
Однако во втором случае коэффициенты резонаторов должны быть изменены так, чтобы полюсы повернулись на л/Ж радиан и сохранилось взаимное уничтожение полюса и нуля. Во втором случае передаточная функция ФОЧВ Типа 1Ъ' при четном Лт имеет вид НСеееП Туре Тт'(г) = Х/2 = (1+туг™) '~,( — 1 т" ~Н(й) ~(1 — т2г 2)/(1 — 2тсо312тг(А+1/2)/)ч) г 1+т2г 2) . а=о' (7-28) Поскольку во втором случае ФОЧВ не может иметь ноль или полюс в точке г = 1, эти фильтры нельзя использовать для построения ФНЧ. В таблице 7.2 перечислены возможности различных ФОЧВ Типа 1Ч для первого и второго случаев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
