Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Фильт ы на основе частотной выбо ки: аченное иск сство 295 Отрицательная частота Положительная частота Положительная частота Отрицательная частота 30 20 это и -10 х 10 ть -10 -20 -20 -ЗО -30 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 2 4 б Частота ()т) (а) 8 10 12 14 16 18 20 Частота (К) (Ь) Рис. 7. 1 1 . Линейность фазы Н(К) для односекциониото ФОЧВ: (а) для И = 19; (Ь) ))) = 20 Выражение (7-13) не такое сложное, каким кажется.
Оно просто говорит о том, что общая частотная характеристика ФОЧВ равна сумме 8(п(х)ттх — подобных частотных характеристик отдельных резонаторов. Первое слагаемое в квадратных скобках представляет собой резонатор, центральная частота которого равна и = Ат/2 (7, тт2). Первая сумма в квадратных скобках представляет резонаторы с положительными резонансными частотами, а вторая сумма — резонаторы с отрицательными резонансными частотами. Множители ( — 1)Я в числителях (7-13) заслуживают нашего внимания, поскольку они редставляют собой последовательность чередующихся положительных и отрицательных элементов. Таким образом, частотная характеристика одной секции будет сдвинута по фазе на 130' относительно характеристик соседних резонаторов.
То есть выходные сигналы соседних односекционных ФОЧВ будут иметь фиксированную разность фаз в л радиан в полосе пропускания, общей для обоих фильтров, как показано на рисунке 7.12. (Появление множителей ( — 1))т в (7-13) обосновано в разделе 3 п~иложения С.) Эти множители (-1) оказывают глубокое влияние, которое недостаточно подчеркивается в литературе по ФОЧВ. Вместо того, чтобы задавать ненулевые комплексные множители НЯ с линейно нарастающей фазой ф(к), мы можем построить многосекционный ФОЧВ, используя только модули )Н(7т)) и присваивая этим действительным коэффициентам чередующиеся знаки.
Кроме того, если все ненулевые коэффициенты )Н(()! равны единице, нам не нужно выполнять умножение, показанное на рисунке 7.10, как на рисунке 7.13 (а). Единичные коэффициенты)Н(Й)~ и чередующиеся знаки слагаемых позволяют заменить комплексные умножения на рисунке 7.10 (Ь) сложениями и вычитаниями на рисунке 7.13 (а). Мы прибавляем выходные сигналы резонаторов с четны' ми и и вычитаем выходные сигналы резонаторов с нечетными /г. Рисунок 7.13 (Ь) подтверждает, что мы получили линейную ФЧХ с разрывами в точках, в которых АЧХ равна нулю, для многосекционного комплексного ФОЧВ. 296 Глава 7.
Специальные КИХ- ильтры нижних частот Передаточная функция упрощенного комплексного ФОЧВ с линейной ФЧХ имеет внд У вЂ” 1 Н (х(г) = (1 — г )Ч) ~~т~( — 1)(/(1 — е72хМНг 7) . (7 14) )т=д (В (7-14) мы не использовали индекс "1р", потому что здесь и далее все наши комплексные ФОЧВ будут иметь линейную ФЧХ.) 32 0 0.1 0.2 О.З 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 О ОЛ О.г О.З О.4 ОЛ О.в О.т О.в О.9 -л о 0.1 0.2 0.3 0 4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Частота Рис. 7.12. Сравнение АЧХ, ФЧХ и разности фаз секций ФОЧВ )с=3 и )т = 4 при 87 = 32 лчх -20~ -зо Частота эчх 3 0 а с.
-5 1О а!т азт -1 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1 частота (ь) (а) Рис. 7.13. Упрощенный трехсекционный комплексный полосовой ФОЧВ с линейной ФЧХ при И = 33: (а) реализация; (Ь) частотная характеристика 7.1.Фиды ынаосновечастотнойвыбо ки: аченноеиск остап 297 7.1.3. Обеспечение устойчивости ФОЧВ (7-15) Н, ь г 1(г) = )т(г)гтХ(г) = 1 — т~г ~ при этом 1»тнулей гребенки лежат в точках гг<~(1г) = теугтге'Н, где е = О, 1,2, ..., Ж вЂ” 1. Эти значения г„<~((г) представляют собой йт корней уравнения, полученного приравниванием (7-15) к нулю, при этом гг<~(Й)ат = (теуггг~1Н)н = та. Передаточная функция резонатора, показанного на рисунке 7.14 (Ь), полюс которого имеет модуль т и аргумент 2гт7ггт1»т, имеет вид Нтег г<т(г) = 1гт(1 — те1гкЬ1Нг ~) (7-16) что приводит нас к передаточной функции односекционного комплексного ФОЧВ с гарантированной устойчивостью вида Нег»»(г) =Нготь, т<г(г)Нтьь г<г (г)Н(Ь) = = (1- и -н)Н()г),т(1 — тет2 Чнг-1) (7-17) реализация которой показана на рисунке 7.14 (с).
Нижний индекс "8х,хг" обозна- чает односекционный ФОЧВ с гарантированной устойчивостью. Передаточная функция Ж-секционного комплексного ФОЧВ имеет вид лг — т ( ) =(1 тн -лг)~~ Н(1,) (1 „р г,ту -~) (7-18) «=0 До сих пор мы обсуждали комплексные ФОЧВ с взаимным уничтожением нулей и полюсов на единичной окружности. Однако на практике точное взаимное уничтожение требует вычислений с неограниченной разрядностью.
Ошибки квантования коэффициентов ФОЧВ могут привести к тому, что полюсы фильтра сместятся за пределы единичного круга. В результате фильтр получится неустойчивым, его импульсная характеристика будет иметь неограниченную длительность, чего следует избегать. (Это прекрасный пример фразы, подтвержденной временем: «Теоретически, разницы между теорией и практикой нет. На практике теория иногда не работает».) Даже если полюс сместился очень незначительно за пределы единичного круга, шум округления со временем будет нарастать, иска'- жая выходные отсчеты фильтра.
Мы предотвращаем это явление, слегка смещая нули гребенчатого фильтра и полюсы резонаторов внутрь единичного круга, как показано на рисунке 7.14 (а). Здесь нули и полюс расположены на окружности радиуса т, при этом коэффициент затухания т лишь немного меньше 1. Мы называем т коэффициентом затухания, потому что импульсная характеристика однокаскадного ФОЧВ превращается в затухающую синусоиду. Например, действительная часть импульсной характеристики однокаскадного комплексного ФОЧВ при Ж = 32, 1г = 2, Н(2) = 2 и г. - 0.95 показана на рисунке 7.14 (Ь).
Сравните эту импульсную характеристику с изображенной на рисунке 7.8 (а). Структура односекционного ФОЧВ с нулями и полюсами, лежащими внутри единичного круга, показана на рисунке 7.14 (с). Коэффициент гребенчатого фильтра равен — т Н, потому что его новая передаточная функция имеет вид 298 Глава 7. Специальные КИХ- ильт ы нижних частот где нижний индекс "Вх,ср)х" обозначает многосекционный комплексный ФОЧВ с гарантированной устойчивостью.
Частотная характеристика многосекционного комплексного ФОЧВ с гарантированной устойчивостью (выведенная в разделе 3 приложения О) определяется выражением Н„к,р„(еу ) = )т' — 1 = т/гн )е уп(н 1)/2 5,Н(Й)е ула/няпЪ(У1п(г)/2 — 1Уш/2) / (7-19) )т-0 / япЪ|1п(г)/2 — 1(ш — 2лй/М)/2), Импульсная характеристика (действительная) 1ь И=32, К=2, н(2) = 1, 0.5 мк г = 0.95 ь О ° ° ° ° ° Чфк -0.5 ° хп кп ген зо Единичная скружнссть О г' 10 20 Время (ь) (а) (с) Рис. 7.14. Обеспечение устойчивости ФОЧВ: (а) полюсы и нули находятся внутри единичного круга; Оз) действительная часть импульсной характеристики устойчивого односекционного ФОЧВ; (с) структура ФОЧВ Если мы модифицируем структуру полосового ФОЧВ на рисунке 7.13 (а), чтобы переместить нули и полюсы внутрь единичного круга, то мы получим структуру, показанную на рисунке 7.15 (а).
Влияние этого перемещения нулей и полюсов на частотную характеристику значительно, как можно видеть на рисунке 7.15 (Ъ) для двух случаев, когда г = 0.95 и г = 0.9999. На рисунке 7.15 (Ъ) видно, что значение г = 0.95 сильно исказило характеристики нашего комплексного полосового ФОЧВ; подавление в полосе задерживания ухудшилось, явно видна нелинейность ФЧХ. Значения коэффициента затухания т; меньшие единицы, приводят к нелинейности ФЧХ, т. к. нули фильтра больше не являются взаимно обратными.
Вспомните ключевую характеристику КИХ-фильтров: чтобы обеспечить линейную ФЧХ, каждый ноль, лежащий внутри единич- НОГО КРУГа, В ТОЧКЕ г = гт~1()т), ГДЕ г, 1(А) НЕ РаВНО О, ДОЛЖЕН СОПРОВОжпатЬСЯ нулем в точке г = 1/г, 1(Й), лежащим за пределами единичного круга. Здесь это условие нарушено, что и привело к нелинейности ФЧХ. (Читатель мог предвидеть эту нелинейность, исходя из асимметрии импульсной характеристики на рисунке 7.14 (Ъ).) Чем ближе к единичной окружности мы размещаем нули, тем более линейной является ФЧХ. Следовательно, рекомендуется выбирать г как можно ближе к единице, насколько позволяет двоичный формат представления коэффициентов [4].
Если используется целочисленная арифметика, можно задать г = 1- 1/2в, где  — количество бит в представлении коэффициентов. 299 7.1. Фиды ына основе частотной выбо ки: аченноеиск сство АЧХ о~ — — — — —- г= 0.95 -10' -20' г = 0.9999 -30~ — '-'' 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Частота ФЧХ г = 0.9999 10(— 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Частота ген 4!32 (Ь) (а) Рис. 7.16. Трехсекционный комплексный полосовой ФОЧВ с линейной ФЧХ и гарантированной устойчивостью при И = 32: (а) реализация; (о) частотная характеристика для двух значений коэффициента затухания г Другой способ стабилизации, заслуживающий внимания, состоит в уменьшении наибольшей составляющей (действительной или мнимой) коэффициента обратной связи резонатора е)2хк71У на единицу младшего разряда.
Этот метод можно применять избирательно к резонаторам, вызывающим опасения, он эффективен в устранении неустойчивости, вызванной ошибками округления, кото- рЫЕ ПрИВОдят К тОМу, ЧтО КОЭффИцИЕНтЫ Е)2х)Ьг'У, раССЧИтаННЫЕ С ОГраНИЧЕННОй точностью, имеют модуль больше единицы. До сих пор мы рассматривали ФОЧВ с комплексными коэффициентами, АЧХ которых несимметрична относительно 0 Гц.
Далее мы исследуем ФОЧВ с действительными коэффициентами, имеющими частотную характеристику, которая является сопряженно-симметричной. 7.1.4. Многосекционные ФОЧВ с действительными коэффициентами Мы можем получить структуры ФОЧВ с действительными коэффициентами, задав для наших комплексных )Ч-секционных ФОЧВ при четном Агполюсы, образующие комплексно-сопряженные пары, путем задания для каждого ненулевого коэффициента Н()г) комплексно-сопряженного ему коэффициента НГ1т'-'к), так чтобы Н(Аг — () = Н'Я.
То есть мы можем построить действительный ФОЧВ, если будем использовать комплексно-сопряженные пары полюсов, аргументы которых равны +2л)г,гН радиан. Передаточная функция такого ФОЧВ (вывод ее приведен в разделе 5 приложения С) имеет вид Глава 7. Специальные КИХ- ильг ы нижних частот 300 Нхктеа((з) = = (1 — гата тУ)!Н(0)/(1 гг — () ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
