Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Соотношение (7-2) обьясняет ключевую особенность гребенчатого фильтра: его передаточная функция имеет АГ нулей, распределенных равномерно по еду)- пичной окружности в г-плоскости, как показано на рисунке 7.4 (с). Каждый из этих нулей, расположенный в точке 2(Й) = е12п(тУ)У, гдето = О, 1,2, ..., Ат-1, соответствует пулю АЧХ на рисунке 7.4 (тт), где нормированная частота меняется от — л до +л радиан. Этн значения г(1() представляют собой Ат корней уравнения, которое мы получаем, приравняв (7-2) единице: г(Й)л' = (е12п)Удк)л' = 1. Мы можем показать АЧХ (в линейном масштабе) над г-плоскостью в виде трехмерного графика, приведенного на рисунке 7.5, где мы видим пересечение поверхности )Нс 5(г)( с цилиндром, в основании которого лежит единичная окружность. Разрезав цилиндр по образующей, проходящей через точку г = — 1, и выпрямив его поверхность, мы получим график, приведенный на рисунке 74 ()у).
Наша цель — построить ФОЧВ, соединив последовательно гребенчатый фильтр и цифровой резонатор, полюс передаточной функции которого совпадает с одним из нулей гребенчатого фильтра, в результате чего получается полосовой фильтр с линейной ФЧХ. Имея это ввиду, рассмотрим характеристики цифрового резонатора, показанного на рисунке 7.3. Во временной области комплексный резонатор описывается разностным урав- нением 290 Глава 7. Специальные КИХ- нльт ы ннжник частот 2.5; 21 1.51 [Н,[г)[ 1 ~ 0.5 1 -1 -О. -1 -0.5 иев [[к! Окч - 0.5 0.5 [гпвя[г[ ' ' 1 Этв точка гч1+1О соответствует нулевой частоте Рис.
7.5. АЧХ гребенчатого фильтра при И=В надг-плоскостьк Импульсная характеристика 'х 10.5 я 10 к ; -0.5 о 15 .:..' .-= 05 Время 30 - -0.5 0 -1 Действительная часть Рис. 7.6. Импульсная характеристика одного цифрового комплексного резонатора сег =я/4 Импульсная характеристика резонатора с ы„= я/4 предста ............плексную синусоиду, действительная часть которой (косинусоида) изображена на рисунке 7.7 (а), и длительность ее не ограничена. (Мнимая часть импульсной характеристики, как мы и ожидали, является синусоидальной последовательностью.) АЧХ в этом случае является очень узкой, с центром на частоте ш,.
Передаточн я функция резонатора Н„кк(г) имеет единственный ноль в точке г = О, но нас больше интересует его полюс в точке на единичной окружности, аргумент которого равен то„, как показано на рисунке 7-7(с). Мы можем представлять себе резонатор как БИХ-фильтр, который условно устойчив, потому что его полюс не находится ни внутри, ни снаружи единичного круга. 7.1. Фнльт ына основе частотнойвыбо ки: аченное иск сство 291 Импупьсная характеристика (дейстаитепьная) , '° ° ячх к-плоскость 1 Ио и и -1 О 1 дейстаитепьная часть о; -5 -1О -15 -20 -25 о: °; ° ° 1 30 -о.5 . ° ° -1(, 0 10 20 Время (а) -зо „ -0.5 0 ". 0.5 Частота (ь) (с) Рис. 7.7. Характеристики цифрового комплексного резонатора при тнг =л/4 Теперь проанализируем одну секцию ФОЧВ, показанную на рисунке 7.3.
Ее передаточная функция представляет собой произведение трех сомножителей: Н(г) = Нсояко(г)Нтск(г)Н® = (1 — г-'")НЯ/(1 — еу тг 1) (7-6) Если мы примем резонансную частоту ю, равной 2ля/А(, где я = О, 1, 2, ..., А( — 1, то полюс передаточной функции наложится на ее ноль, и мы будем иметь передаточную функцию вида Н,(г) = (1 — г йт)Ня/(1 — е/2™/к)г (7-7) и( ) м( ) ~к=е1и (7 8) = е — ута()ч 1)/2 е /п)т/)ч Н(7т) яп(отдт/2)/яп(то/2 — лнк/А1) .
где нижний индекс "55" обозначает ФОЧВ с одной секцией. Разобраться в этом односекционном ФОЧВ мы можем, рассмотрев его показанные на рисунке 7.8 временные и частотные характеристики при )ч'= 32, я = 2 и Н(2) = 1. Рисунок 7.8 содержит много информации.
Мы видим, что комплексная импульсная характеристика ФОЧВ представляет собой усеченную комплексную синусоиду, действительная часть которой показана на рисунке 7.8 (а). Положительный импульс, полученный от гребенчатого фильтра, запускает колебания резонатора в нулевой момент времени. Затем в нужный момент, а именно через Ат = 32 отсчета, что составляет 1г = 2 периода синусоиды, отрицательный импульс на выходе гребенчатого фильтра гасит колебания резонатора. АЧХ, которая является преобразованием Фурье ограниченной синусоидальной импульсной характеристики, имеет форму функции яп(х)/ж На карте нулей и полюсов (рисунок 7.8 (с)) видно, что полюс резонатора попадает точно на ноль гребенчатого фильтра (г = 2, лежап(ий на единичной окружности, устраняя ноль частотной характеристики на частоте 2лй/А( = л/8.
(Вспомним, что нормированная угловая частота 2)й/Атрадиан соответствует частоте й~, /А(, где~, — частота дискретизации в Гц. Следовательно, фильтр на рисунке 7.8 имеет резонансную частоту/к/1б Гц.) Мы можем определить интерполированную частотную характеристику ФОЧВ, .вычислив Н„(г) на единичной окружности.
Подстановка е))' вместо г в Н„(г) в (7-7), как подробно описано в разделе 2 приложения б, дает частотную характеристику вида Глава 7. Специальные КИХ- ильт ы нижних частот 292 Ачх к-ппсскссть О) -5) -25 ', -ЗΠ— — -"к -1 -0.5 0 Частота -1 0 1 Дейстаитепьная чань (с) (Ь] (а) Рис. 7.В. Характеристики односекционного комплексного ФОЧВ при И = 32, )с = 2 и Н(г) = 1 Вычисление ~Н„(е)м)[ в диапазоне частот — л < ст ( л дает кривую, показанную на рисунке 7.8 (Ь). Наш односекционный ФОЧ В имеет линейную ФЧХ, т.
к, член е )п(гав (7-8) дает постоянный сдвиг фаз, определяемый константами И и 7(, фазовый угол НЯ фиксирован, а фаза члена е .~та(А'-1)/2 представляет собой линейную функцию частоты та. Как показано в разделе 2 приложения О, максимум АЧХ односекционного комплексного ФОЧВ равен Жпри(Н([)~=1. Это продемонстрировано на рисунке 7.9, 1 к/6 (Г,/16 Нг) 0 Гц Рис. 7.9. АЧХ односекционного комплексного ФОЧВ при И=32 и (с=2 нада-плОСкО- стью 7.1.2. Многосекционные комплексные ФОЧВ Чтобы построить практически полезный ФОЧВ, мы используем несколько секций резонаторов, как показано на рисунке 7.1 (Ь), для реализации полосового КИХ-фильтра.
Построим, например, трехсекционный комплексный полосовой ФОЧВ, задав И = 32 и взяв ненулевые значения отсчетов Н(2), Н(3) и Н(4). Требуемая частотная характеристика показана на рисунке 7.10 (а), структура полосового фильтра приведена на рисунке 7.10 (Ь). Импульсная характеристика (дейстаитепьная) ть. ьь ь 0.5 . ° ° 0; ° я Е Мтя Время 40 ЗО 20 )н„(е")[ 10 0 р т я 2кМН = к)6 1 оо о о о о 0 о о о о о 1 оооо о о а е Ыво о о а о о о о оооо 293 7. 7. Фильтры на основе частотной выбо ки: аченное иск сство Отсчеты )Нйб) полосового ФОЧВ 0.75 х (а) г 0.5 0.25 0 075 05 025 0 025 05 075 1 Частота гг агг Рис. 7.10.
Трексекционный комплексный ФОЧВ с (г( = ЗЯ; (а) требуемая АЧХ; (Ь) реализация Анализируя этот случай, вспомним, что передаточная функция параллельно соединенных фильтров равна сумме отдельных передаточных функций. Итак, передаточная функция )ч'-секционного комплексного ФОЧВ с учетом (7-7) имеет вид )У вЂ” 1 Нгр)т(2) =(1 — г ~)гН(77)7(1 — е 77™г~г 1), (7-9) й-0 где нижний индекс "ср(т" обозначает комплексный многосекционный ФОЧВ. Зат(ержимся на минуту, чтобы осмыслить выражение (7-9).
Первый сомножитель в правой части представляет гребенчатый фильтр, второй — сумму дробных членов. Суммирование отношений (каждое из которых представляет резонатор) означает, что эти резонаторы включены параллельно. Вспомним раздел 8.8.1, где говорилось, что передаточная функция параллельно соединенных фильтров равна сумме передаточных функций фильтров. Очень важно разобраться в выражении (7-9), потому что ниже мы встретим много подобных выражений.
Итак, гребенчатый фильтр возбуждает банк резонаторов. Для комплексного ФОЧВ с Аг = 32 мы могли бы иметь до 32 резонаторов, но на практике для узкополосных фильтров их требуется всего несколько. На рисунке 7. (О мы исполь- Глава 7. Специальные КИХ- ильт ы нижних частот 294 зовали только три резонатора. В этом и состоит красота ФОЧВ: большинство значений множителей Н® в (7-9) равны нулю, и соответствующие резонаторы не реализуются, что позволяет сделать ФОЧВ эффективным с вычислительной точки зрения.
Выполняя те же шаги, что и в разделе 2 приложения С, мы можем записать частотную характеристику многосекционного ФОЧВ, такого как на рисунке 7.10, ввиде М вЂ” 1 Н, 1х(еФ) = е 1"(Х 1)/2 ЯН(й)е-1ль/Хяп(вХ/2)/яп(ге/2 — ла/Х). (7-10) е-е Разработчик многосекционного комплексного ФОЧВ может получить любую требуемую ФЧХ, задав фазовые углы ~(1) всех ненулевых комплексных коэффициентов передачи Н(А) = )Н(л)! е Ф( ). Однако чтобы построить комплексный ФОЧВ с линейной ФЧХ, разработчик должен: (а) Задать ф(а) как линейную функцию частоты и (Ь) определить последовательность фаз ф(а) так, чтобы ее наклон был равен — (Х вЂ” 1)/2. Второе условие требует, чтобы ФОЧВ имел положительную задержку по времени, равную (Х вЂ” 1)/2 отсчетам, как и нерекурсивный КИХ-фильтр с Х ответвлениями, показанный на рисунке 7.1 (а). Этим условиям удовлетворяют следующие выражения для ф(ь) при четном Х.
ф® = )г(2л/ХИ вЂ” (Х вЂ” 1)/2~ = — Ы(Х вЂ” 1)/Х, А = О, 1, 2, ..., (Х/2) — 1. (7-11) (7-11') ф(Х/2) = О. ф(е) — (Х-'е)(2л/Х) (Х вЂ” 1)/2 — л(Х вЂ” е)(Х вЂ” 1)/Х, А = Х/2 и 1, ..., Х вЂ” 1. (7-11") При нечетном Хзначения фаз Н(/г) для обеспечения линейности ФЧХ должны быть ф® = в(2л/Х) '1 — (Х вЂ” 1)/21= — вл(Х вЂ” 1)/Х, й = О, 1, 2, ..., (Х вЂ” 1)/2. (7-12) ф® = (Х вЂ” (г)(2л/Х)(Х вЂ” 1)/2 = л(Х вЂ” в)(Х вЂ” 1)/Х, в = (Х + 1)/2,, Х вЂ” 1, (7-12') Нч,~ 1 (елэ) = е — У~(н — 1)/з яп(вХ/2) х (М/2) — г х ~~ Н(Х/2) )е )л/х/яп(го/2 — л/2) ч- ~> ~НЯ)( — 1)х/яп(ге/2 — л(г/Х) 1=0 м — т — ~~> ) Н(Й) ) ( — 1)х/яп(ге/2 — лИ/Х) ~~, А=(Х/2)+г где нижний индекс "1р" говорит о линейности ФЧХ. (7-13) Два примера последовательностей ф(й) с линейной ФЧХ для Х = 19 и Х = 20 показаны на рисунке 7.11.
Значение ф(0) = 0 устанавливает нулевую фазу на частоте 0 Гц, а ф(Х/2) = 0 на частоте/, /2 на рисунке 7.11 (Ъ) обеспечивает симметрию импульсной характеристики. Присвоение соответствующих фаз ненулевым коэффициентам НЯ вЂ” это, однако, только половина дела. Есть хорошая новость. Изучение частотной характеристики (7-10) показывает нам простой способ получения линейной ФЧХ на практике. Подстановка ~Н(А)~ е~ф® со значениями ф(н), определяемыми приведенным выше выражением (7-11), вместо Н(й) в (7-10) дает выражение для частотной характеристики комплексного многосекционного ФОЧВ при четном Х вида 7. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
