Архипкин В.Г., Патрин Г.С. Лекции по оптике (2006) (1095916), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Подставляя (14.3)в (14.1), получаемP (t) = χ(1) A cos (ωt − kz) + χ(2) A2 cos2 (ωt − kz) + χ(3) A3 cos3 (ωt − kz).(14.4)Здесь мы ограничились лишь первыми тремя слагаемыми в (14.1). Напомню, что второе слагаемое отсутствует в изотропных средах, оно отлично от нуля в анизотропныхсредах. Преобразуем (14.4) к видуµ¶1 (2) 23 (3) 3(1)P (t) = χ A + χ A + χ A cos (ωt − kz) +(14.5)2411+ χ(2) A2 cos (2ωt − 2kz) + χ(3) A3 cos (3ωt − 3kz).24Результат (14.5) означает, что при прохождении световой волны частоты ω черезнелинейную среду должно наблюдаться переизлучение, включающее в себя:— постоянное (статическое) электрическое поле, обусловленное первым слагаемымв (14.5) (эффект выпрямления),— световую волну частоты ω (второе слагаемое),— световую волну частоты 2ω — вторая гармоника (третье слагаемое),— световую волну частоты 3ω — третья гармоника (четвертое слагаемое).Учет последующих членов в разложении (14.1) приводит к наличию переизлучеиияоптических гармоник более высоких порядков (четверного, пятого и т.д.).152Поляризованность на частоте ω согласно (14.2):µ¶3 (3) 3(1)P1 (ω) = χ A + χ A cos (ωt − kz)4приводит к переизлучению на этой частоте.С учетом (14.6) для электрической индукции можно записать¡¢D1 (ω) = 1 + 4πχ(1) + 3πχ(3) A2 E(t),(14.6)(14.7)и для диэлектрической проницаемости получаемε = ε0 + ε2 A2 .(14.8)Здесь ε0 = 1 + 4πχ(1) , ε2 = 3πχ(3) .
Второе слагаемое в (14.8) описывает нелинейнуюдобавку к диэлектрическойпроницаемости на частоте ω. Так как показатель√преломления n = ε, тp√ε2n = ε0 + ε2 A2 ' ε0 1 += n0 + n2 A2 ,(14.9)2ε0где n2 = n0 ε2 /2ε0 = 3n0 πχ(3) /2(1+4πχ(1) ). Величина n2 имеет размерность, обратнуюинтенсивности света, она является удобной характеристикой кубичной нелинейнойсреды. Например, для кристалла кварца n2 = 3 · 10−16 см2 /Вт.Отсюда видно, что световая волна в нелинейной среде изменяет показательпреломления среды, причем добавка к показателю преломления пропорциональнаинтенсивности волны.
Как будет показано в далее, она приводит, например, к явлению самофокусировки света.Оценим по величине линейную и нелинейные оптические восприимчивости среды,например кристалла. Линейная восприимчивость χ(1) связана с показателем преломления среды n формулой n2 = 1 + 4πχ(1) . Типичное значение показателя преломления для кристалла составляет n = 1.5. Исходя их этой цифры, получаем оценкуχ(1) ∼ 0.1.Для оценки квадратичной восприимчивости χ(2) воспользуемся материальнымуравнением (14.1). Согласно этому уравнению, размерность χ(2) определяется формулой χ(2) = χ(1) /E.
Воспользуемся этой формулой для количественной оценки. Поскольку восприимчивость есть характеристика вещества, в качестве напряженностиэлектрического поля E следует подставить некоторую величину, характерную длясреды. Характерным масштабом поля в среде является напряженность внутриатомного электрического, которую можно оценить по формуле Ea = e/a2 , где e —заряд электрона, a — размер атома. Полагая e = 4.7 · 10−10 СГСЭ, a = 0.5 · 10−8 см(боровский радиус), получим Ea = 2 · 107 СГСЭ. Таким образом, для χ2 получаемследующую оценку (по порядку величины) χ(2) = 5 ·10−9 СГСЭ. Для кристалла KDP,широко применяемого в нелинейной оптике, χ(2) = 5.3 · 10−9 СГСЭ.Аналогичным образом можно оценить кубичную нелинейную восприимчивостьпо формуле χ(3) = χ(2) /Ea2 .
Численная оценка дает χ(3) = 2.5 · 10−16 СГСЭ=2.5 · 10−16 см3 /эрг. Реальная величина χ3 , например для кристалла кварца, равна10−14 см3 /эрг. Имеются, однако, материалы, обладающие значительно более высокойкубической восприимчивостью.Интересно сравнить между собой величины линейной и нелинейной поляризованностей среды (восприимчивости разных порядков сравнить нельзя, так как они имеют разные размерности). Например, ограничиваясь нелинейностью второго порядка,153можно записать(2)P = Pl + Pnl = χ(1) E + χ(2) E 2 ,(14.10)P (2) nlχ(2) E 2χ(2) E= (1) = (1) .Plχ Eχ(14.11)откуда можно записатьИспользуя для оценки формулу χ(2) = χ(1) /Ea , получим(2)PnlE=.PlEa(14.12)Таким образом, отношение квадратичной поляризации среды к линейной равно отношению напряженности электрического поля световой волны к напряженности внутриатомного поля.Аналогичным образом можно показать, чтоµ ¶2(3)PnlE=.(14.13)PlEaОценим теперь величину E/Ea .
Интенсивность света связанаp с напряженностью2поля E световой волны формулой I = cE /8π. Отсюда E = 8πI/c. Полагая I =109 Вт/см2 , получаем E = 3 · 103 СГСЭ. Отсюда E/Ea = 10−4 . Таким образом, дляданной интенсивности света относительная величина нелинейной поляризованностиоказывается весьма мала. Тем не менее, нелинейный эффект может быть сильнымблагодаря тому, что он может накапливаться в процессе распространения световойволны.Классическая модель нелинейной среды — ансамбль нелинейных осцилляторов. Механизмы оптической нелинейности весьма разнообразны. Однако наиболееуниверсальным из них можно, по-видимому, считать механизм, связанный с нелинейностью элементарного осциллятора среды — атома или молекулы.
Для примера вычислим нелинейную квадратичную поляризованность и квадратичную восприимчивость среды, рассматривая ее как ансамбль нелинейных (ангармонических) осцилляторов.Используя второй закон Ньютона, уравнение движения осциллятора запишем ввидеmẍ = Fv + eE(14.14)Здесь m, e— масса и заряд электрона, x— смещение центра электронного облакаотносительно атомного ядра, E = A exp [i(ωt − kz)] + k.c. — напряженность электрического поля световой волны, Fv — возвращающая сила, обусловленная притяжениемэлектрона к ядру. Она связана с потенциальной энергией U (x) электрона в поле ядрасоотношением∂U.Fv = −(14.15)∂xВ окрестности положения равновесия электрона (x = 0) потенциальную энергиюU (x) можно представить в виде разложения по степеням x11U (x) = αx2 + βx3 + ...23154(14.16)Первое слагаемое в (14.16) соответствует параболическому приближению.
Остальные слагаемые описывают отличие формы реальной потенциальной ямы от параболической. Учет этих слагаемых важен, если амплитуда колебаний электрона достаточновелика. Последнее может иметь место в поле световой волны большой интенсивности. Подставив (14.16) в (14.15), получимFv = −(αx + βx2 + ....)(14.17)Таким образом, возвращающая сила оказывается нелинейной функцией смещения. Подставляя (14.17) в (14.14) и ограничиваясь учетом первой нелинейной поправки, получим уравнениеeẍ + ω02 x + γx2 = E(14.18)mpгде ω0 = α/m— собственная частота колебаний осциллятора, γ = β/m — параметрнелинейности. Затухание электронных колебаний учтем, добавляя в левую частьуравнения (14.18) слагаемое Γẋ.
В итоге получим уравнениеeẍ + Γẋ + ω02 x + γx2 = E(14.19)mУравнение (14.19) описывает колебания атомного осциллятора под действием поля световой волны. Оно учитывает нелинейность осциллятора, которая становитсясущественной, если амплитуда колебаний достаточно велика, поэтому его называютангармоническим осциллятором. Ангармонизм элементарного осциллятора приводит к появлению нелинейной поляризованности среды.Используя уравнение (14.19) вычислим поляризованность среды P , которая определяется как дипольный момент единицы объема.
Считая среду однородной, запишем P = N p = N ex, где N — число атомов в единице объема, p = ex— дипольныймомент элементарного осциллятора (атома), e— заряд электрона, x— смещение электрона относительно положения равновесия, определяемое уравнением (14.19). Такимобразом, для вычисления поляризации среды необходимо решить уравнение (14.19).Точное решение этого уравнения невозможно.
Это типичная для нелинейной оптики ситуация, когда уравнение, описывающее нелинейный эффект, не имеет точного решения или это решение настолько сложно, что практически им трудно воспользоваться. В этих условиях используют различные приближенния, причем выборконкретного метода для каждой задачи, вообще говоря, индивидуален.Воспользуемся методом возмущений (метод последовательных приближений), который является одним из наиболее универсальных методов анализа нелинейных систем. Основная идея этого метода состоит в том, что сначала описывают движениесистемы в линейном приближении, а затем рассматривают нелинейный эффект какмалую поправку. Предположим, что амплитуда колебаний осциллятора настолькомала, что в любой момент времени нелинейный член в уравнении (14.19) много меньше линейных слагаемых, т.е.
γx2 ¿ |ω02 x| или |γx| ¿ ω02 |. В этом случае решениеуравнения (14.19) можно представить в видеx = xl + xnl ,(14.20)где xl — решение линейного уравненияẍl + Γẋl + ω02 xl =155eE,m(14.21)а xnl — нелинейная поправка, малая по сравнению c xl :xnl ¿ xl .(14.22)В случае плоских монохроматических волн решение уравнения (14.21) имеет вид11xl = x̃l exp [i(ωt − kz)] + к.с. = α(ω)A exp [i(ωt − kz)] + к.с.,(14.23)22где x̃l — амплитуда,e1α(ω) =.(14.24)m ω02 − ω 2 + iωΓПодставим (14.20) в (14.19), получим уравнениеeE.(14.25)mИспользуя (14.21) и пренебрегая xnl в круглых скобках, согласно (14.22), уравнение(14.25) преобразуется к видуẍl + ẍln + Γẋl + Γẋl + ω02 xl + ω02 xnl + γ(xl + xln )2 =ẍln + Γẋl + ω02 xnl = −γx2l .(14.26)Таким образом мы произвели линеаризацию исходного нелинейного уравнения(14.18) по малому параметру xnl .
Уравнение (14.26) представляет собой линейноеуравнение вынужденных колебаний, в котором роль вынуждающей силы играет членγx2l , определяемый решением уравнения движения электрона в линейном приближении (14.23). Найдем решение уравнения (14.26). Согласно (14.23) для x2l можнозаписатьx2l = (1/4)x̃2l ei(2ωt−2kz) + (1/2)|x̃l |2 + к.с.(14.27)т.е. вынуждающая сила содержит постоянную (не зависящую от времени) составляющую и переменную компоненту, осциллирующую на частоте второй гармоники2ω.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
