Якушенков Ю.Г. Теория и расчет оптико-электронных приборов (4-е изд., 1999) (1095908), страница 59
Текст из файла (страница 59)
14. Очевидно, что чем больше х, тем меньше вероятность ложной тревоги Р. Однако при этом возрастает вероятность пропуска сигнала 1 — Р, а кроме того, необходимо обеспечить выполнение более высоких требований к параметрам ОЭП, например увеличить мощность источника сигнала, увеличить площадь входного зрачка, чтобы сместить значение з, т.
е. х и всю кривую вправо по оси х. При больших сигналах уровень срабатывания хо выбирают достаточно высоким; при слабых сигналах значение хо приближается к и . Выбор величины хр связан с необходимостью обеспечить требуемое отношение сигнал/помеха, о чем будет сказано ниже. Зная законы распределения вероятностей р,(х) = р„(х) и р„(х), можно рассчитать отношение правдоподобия Л = р,(х)/р„(х). Затем можно принять решение о наличии сигнала (срабатывании прибора), которое происходит в том случае, если Л превышает некоторое пороговое значение. Например, может быть определено, что отношение Л > д/р. Зная вероятности (1 — Р) и Р, можно определить так называемую функцию потерю 1.
= К, (1- Р)» К Р, где К, и К, — коэффициенты, определяющие долю ущерба, который вызывает пропуск сигнала и ложная тревога. При оценке оптимальности фильтра обнаружения применяют различные критерии (Вайеса, Неймана-Пирсона, Котельникова и др.). Например, в соответствии с критерием Котельникова (критерий идеального наблюдателя) оптимальным считается тот фильтр (ОЭП), для которого вероятности пропуска сигнала 1 — Р и ложной тревоги Р минимальны. Оптимальный фильтр по критерию Неймана-Пирсона ми- ЗОк му можно записать Ь(а) = А в(- а).
Л = ~х(а)в(а)Ыа, (1 1.4) у(1)) = )х(а)Ь(Г)-а)тта 309 308 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов нимизирует одну из величин 1-Р или Р при данном значении второй. Для случая, когда на вход прибора поступает аддитивная смесь х(а) полезного сигнала в(а) и гауссовской (нормальной) помехи п(а), с точностью до несущественных величин отношение правдоподобия приводится кк виду где а — параметр, по которому оценивается качество приема (время, пространственная координата и т.п.). Из (11.4) следует, что максимальное правдоподобие между переданным в(а) и принятым х(а) сигналами достигается при обеспечении максимума их функции взаимной корреляции, т.е. идеальный приемник должен быть приемником корреляционного типа. Реализация идеального приемника связана с большими трудностями, поэтому на практике обычно используют другие методы приема сигналов при наличии помех.
В том случае, если сигнал в(а) заранее известен и его нужно только обнаружить, можно довольно просто определить частотную характеристику оптимального фильтра. Сравним полученное ранее (см. $ 2.1) выражение для сигнала на выходе системы (линейного фильтра) с импульсной характеристикой Ь(а): и отношение правдоподобия для оптимальной приемной системы (11.4). Очевидно, что для оптимального приема, т.е. для достижения максимальной идентичности этих двух выражений, необходимо обеспечить идентичность функций Цр-а) и в(а). Поскольку аргумент а входит в Ь и в с разными знаками, нужна идентичность не просто функций Ца) и в(а), но идентичность одной из них, например Ь(а), зеркальному изображению другой -в(-а), т. е. необходимо, чтобы Ь(а) = Ао в(ао -сх).
Величина ао учитывает возможный (но не обязательный) сдвиг начал отсчета функций в и Ь и влияет только на фазу выходного сигнала. Для пространственных фильтров, в отличие от временных, часто этот сдвиг можно принять равным нулю, т.е. принять, что выходной и входной сигналы формируются в одной системе координат (ао = О). Поэто- Глава 11. Фильтрация сигналов в оптико-электронных приборах Таким образом, импульсная характеристика оптимальной системы обнаружения с точностью до постоянного множителя Ар является зеркальным изображением полезного входного сигнала в(а) (рис.
11.3). Величина Ао это постоянный, не зависящий от а, коэффициент, который учитывает нормирование функций Ь и в, а также различие в их размерностях. Например, если импульсная характеристика оптико-электронной системы безразмерна, то Ао имеет размерность, обратную размерности сигнала в(а). В том случае, если функции в и Ь, выраженные в абсолютных значениях представляемых ими физических величин, рассматриваются в различных точках системы, например в(а) характеризует пространственное распределение яркости Е на входе объектива, а Ь(а) — распределение освещенности Е в изображении точечного источника, коэффициентАо должен учитывать переход от пространства объектов к пространству изображений, т.е. переход от Е к Е.
Рвс.11.3. Импульсная реакция оптимального фильтра Условие оптимальности фильтра обнаружения можно найти и несколько другим путем. Если представить выходной сигнал как сумму полезного сигнала и шума, т.е. у(р) = у,(()) + у (()), причем у,(б)= ) в(а)Ь(р-а)с(а; у (1))= )п(а)Ь(()-а)г(а, то можно заметить, что сигнал у,(б) является функцией взаимной корреляции в и Ь, которая будет максимальной (т.е. и отношение сигнал/ шум будет максимальным) при идентичности в и Ь, при Ца) и в(-а).
Найдем передаточную функцию оптимального фильтра. Для этого преобразуем по Фурье выражение (11.5). С учетом теоремы запаздывания (см. з 2.1) получим Ю.Г. Якусвенков. Теория и расчет олгико-электролних приборов Глава гк Фильтрация сигналов в олтико-электронних приборах ла Н(/со„) = )гс(а)ехР(-/Ф,а)сга =Ао )в(ао -а)ехР( — /со„а)па = (11.6) = Ао Я (/Ф,)ехР(-/со„ав), где Я*(/Ф„) — функция, комплексно-сопряженная спектру входного сигнала в(а); со„— частота; а — параметр, по которому ведется анализ (угол, время и т.д.). Из (11.6) следует, что при условии равенства модулей ~Я*(/со )) = )Я(/со„)! имеем 'Н(/Ф.) = АйЯ(/со.)г (11.7) т.е.
амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра при сделанных выше допущениях с точностью до пас тонн ного м но- жителя совпадает с амплитудным спектром входного сигнала. Такой оптимальный фильтр называется согласованным, поскольку его частотная характеристика целиком определяется спектром сигнала, т.е.
должна быть согласована с ним. В данном случае принималось, что спектр помехи равномерен в диапазоне частот, занимаемом спектром сигнала. Найдем выражение для сигнала на выходе оптимального фильтра. Применяя обратное преобразование Фурье к спектру сигнала на выходе фильтра: у,(а) = — ~Я(/Ф„)Н(/ю„)ехр(/Ф„а)с(со, 1 и подставляя вполученное уравнение(11.6),получаем у,(а) = — [Я(/Ф„)Я*()Ф„)ЕХР[/СО„(а — ал))ЫСОо.
Ао . *. Учитывая, что Я(/оэ,) Я "(/чв ) = (Я(/со„)!', а также пренебрегая фазовым сдвигом выходного сигнала, т.е. принимая а = а, получаем о у,(а) = — ЯЯ(/Ф„)/ с(со„. В соответствии с равенством Парсеваля интеграл есть полная энергия сигнала, т.е. пиковое значение выходного сигна310 у,(а) = Аоь?. (11.8) В том случае, когда на входе системы имеет место гауссовский шум (помеха) со спектральной плотностью на входеФ (Ф,) = сопз1 = Ф, то и на выходе оптимального фильтра шум останется гауссовским. Спектр мощности помех на выходе фильтра Ф, „(Ф„)=Ф (со ),'Н(ро„)~ = Ф !Н(/оэ„)~ .
Дисперсия шума на выходе Ф и [ф (со )с(со = — ~Н(/'Ф„) аго . (11.9) п Тогда с учетом (11. 7) — (11.9) отношение мощностей сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра можно представить в следующем виде: Н = у,'(и) г'В. =4)/Ф.. (11. 10) Таким образом, максимально достижимое отношение сигнал/ помеха зависит только от энергии св входного сигнала и спектральной плотности мощности Ф белого шума на входе фильтра, Выражение (11.10) было получено для случая Ф = сопзС, т.е. для шума с равномерной спектральной плотностью в рабочей полосе пропускания. Для шума, спектр которого описывается функцией Ф (со„), рассуждая аналогично и применяя неравенство Буняковского-Шварца (24, 30], можно получить более общее выражение для отношения сигнал/помеха (сигнал/шум) в случае оптимального фильтра: — — "> со„.
~ "~Я(/ .)~' (11.11) 2и Ф (Ф,) Частотная характеристика оптимального фильтра в этом случае имеет вид Н(/со )=Во — ( — "ехР(-/со„ао). Я* (/со „) Ф (Ф„) (11. 12) где  — некоторая постоянная, аналогичная А . о Хотя выражения (11.10) и (11.11) получены для идеализированных, оптимальных, систем, их можно использовать и в практике расчета реальных приборов, так как они позволяют рассчитать предельно достижимые значения отношений сигнал/помеха, а также устано311 Ю.Г.
Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов вить критерий качества реальных приборов по степени их приближения к оптимальным вариантам. Все приведенные выше рассуждения и выводы действительны не только для одномерных функций, но и для многомерных представлений сигналов и помех, в простейшем случае — двумерных.
Например, выражение (11.12) в двумерной форме можно представить в следующем виде: Нтт/Ра /Фв)=Во — — — *-- " ехр~-у(ю„кон-Ф у,)). Я* (/со„, /Ф „) Ф (Ф„,Ф„) К сожалению, даже в простейших практических случаях реализация согласованных фильтров, особенно оптических, т.е. в оптическом спектральном и пространственно-частотном диапазонах спектра, затруднена. Поэтому обычным способом фильтрации является согласование полосы пропускания фильтра с полосой частот, занимаемой полезным сигналом, т.е. квазиоптилгальпая фильтрация. Хорошо известна связь между шириной спектра сигнала в виде одиночного импульса Ла„и шириной импульса Лао: Лто,би = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
