Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

/=а л=л Последнее равенство справедливо в силу того, что и — четное число. Таким образом, получаем л/«-« 1, = 1„' + 1,' = ",„(с« — сл-в) (х« — хл/«) са /«) Согласно лемме 1 имеем с„=с„„, /«=О, 1, ..., и/2 — 1, т. е. 1„=0, что и завершает доказательство теоремы 2. 4.

Формулы Ньютона — Котеса. Численная устойчивость ква- дратурных формул. Формулами Ньютона — Котеса называются квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на равномерной сетке, когда х„— х«,=Ь, 1=1, 2,..., п. Различают два типа формул Ньютона — Котеса: формулы замк- нутого типа и формулы открытого типа. В формулах замкнутого типа х,=а и х„=Ь, а в формулах открытого типа хотя бы один из узлов х, или х не совпадает с соответствующей граничной точкой отрезка [а, Ь].

Для простоты изложения рассмотрим лишь случай формул замкнутого типа, когда х«=а+ЬЬ, /«=0, 1,..., и, Ьп=Ь вЂ” а. В случае равномерной сетки можно упростить выражения для коэффициентов квадратурных формул. В формуле (4) сделаем за- мену х=а+И, 0(1~п.

Простые выкладки, которые мы опускаем, показывают, что в результате замены формула (4) примет вид с = (Ь вЂ” ) Ь'"', где л-/« л Ь/«м= ( ') — '(р /Ь) (' ) '"( " /11 . (21) И (л — л)! л,) / — л о Отметим, что формулы Ньютона — Котеса с п)10 редко используются из-за их численной неустойчивости, приводящей к резкому возрастанию вычислительной погрешности. Причиной такой неустойчивости является то, что коэффициенты формул Ньютона— Котеса при больших и имеют различные знаки, а именно при и) )!О, р(х) 1 существуют как положительные, так и отрицательные коэффициенты.

Остановимся подробнее на значении знакопостоянства коэффициентов для ~устойчивости вычислений. Рассмотрим квадратурную сумму 1, = ~~~~ ~с«/(х«). (22) «-« л78 Предположим, что значения функции 1(х) вычисляются с некоторой погрешностью, т. е. вместо точного значения получаем приближенное значение 7 (хь) =1(хь)+бь Тогда вместо !„получим сумму 7.=Х сьев(хьН-бь) =1+61" ь о где 61, = Х сьбь. ь=ь (23) т.

е. при р(х) )О сумма л ~ сь=М ь=о (24) ограничена числом М)0, не зависящим от и. Предположим теперь, что все коэффициенты с, неотрицательны. Тогда из (23), (24) получим оценку л л ~ 61„~ ( ~~~~ ~( сь 1 ~ бь ~ = 'Я сь ~ бь ~ ( ( шах 1 бь 1) М, ь=о ь=о которая означает, что при больших и погрешность в вычислении квадратурной суммы (22) имеет тот же порядок, что и погрешность в вычислении функции.

В.этом случае говорят, что сумма (22) вычисляется устойчиво. Если коэффициенты с, имеют различные знаки, то может оказаться, что сумма 'Я (сь~ не является равномерно ограниченной по и и, следовательно, погрешность в вычислении 1„ неограниченно возрастает с ростом и. В этом случае вычисления по формуле (22) будут неустойчивы и пользоваться такой формулой прн больших и нельзя. Таким образом, если необходимо сосчитать интеграл (1) более точно, то имеются две возможности. Во-первых, можно разбить весь отрезок [а, Ь) на несколько частичных отрезков и на каждом из частичных отрезков применить формулу Ньютона — Котеса с небольшим числом узлов. Полученные таким образом формулы называются составньиии квадратурными формулами. Они часто применяются на практике, хотя и не являются достаточно экономичными, поскольку требуют многократного вычисления значений функции г79 Поскольку квадратурная формула (2), (4) точна для 1(х) =1,.

имеем л ь 'Я сь = ~ р (х) Их, ~(х). Во-вторых, можно попытаться выбрать узлы квадратурной формулы так, чтобы полученная формула имела большую точность, чем формула Ньютона — Котеса с тем же числом узлов. В следующем параграфе рассматривается один из методов, основанных на выборе узлов квадратурной формулы, а именно метод Гаусса. Он приводит к квадратурным формулам с положительными коэффициентами при любых и и существенно более точным, нежели формулы Ньютона — Котеса. $3. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов 1. Постановка задачи. В предыдущем параграфе предполагалось, что узлы квадратурных формул заданы заранее.

Было показано, что если использовать п,узлов интерполяции, то получим квадратурные формулы, точные для алгебраических многочленов степени и — 1. Оказывается, что за счет выбора узлов можно получить квадратурные формулы, которые будут точными и для многочленов степени выше и — 1. Рассмотрим следующую задачу: построить квадратурную формулу ~ р (х) ~ (х) Ых = '5', сг~ (хг), которая при заданном и была бы точна для алгебраического много- члена возможно большей степени. Обратим внимание, что здесь в отличие от $2 для удобства изложения нумерация узлов начинается с й=1. В настоящем параграфе будет показано, что такие квадратурные формулы существуют.

Они называются квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности илн формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени 2п — 1. Итак, потребуем, чтобы квадратурная формула (1) была точна для любого алгебраического многочлена степени т. Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для функций 1(х) = =х, а=О, 1,..., гп. Отсюда получаем условия в ь ~ сех"=~р(х)х"йх, а=0,1, ...,т, (2) й=1 е ..которые представляют собой нелинейную систему гп+1 уравнений .относительно 2п неизвестных сь сь ° ° ° ~ са' хо хм . ° °, хп.

Для того чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, надо потребовать гп=2п — 1. В дальнейшем будет показано, что система (2) при т=2п — 1 имеет единственное решение. Однако сначала рассмотрим несколько частных случаев, когда решение систе. мы (2) можно найти непосредственно.

~вв Пусть р(х) =— 1, а= — 1, Ь=1. При п=1 получаем т=1 и система (2) принимает вид 1 1 с,=~ йх=2, с х,=~ хс(к=О, т. е. приходим к известной формуле прямоугольников 1 ) )'(х)йх=2~(О), 1 которая точна для любого многочлена первой степени. При п=2, пз=З система (2) записывается в виде С,+Сз=2, СХ,+СХ,=О, з 2 з з с,х',+с,х,= —, с,х,+с,х,=О. 3' Отсюда находим ! 1 с,=с =1, х,= — =, х,==, уз' уз ' т.

е. получаем квадратурную формулу 1 ~ 1(х)йх=~( — =)+7(=), 1 (4) которая точна для любого алгебраического многочлена третьей степени. 2. Основная теорема. Возвращаясь к рассмотрению квадратурных формул (1) общего вида, введем многочлен ЬЗ (Х) = (Х вЂ” Хз) (Х вЂ” Хз) ... (Х вЂ” Х ) . (3) Будем предполагать, что р(х) )О. Теорема 1. Квадратурная,формула (1) точна для любого многочлена степени гп=2п — 1 тогда и только тогда, когда выполнены два условия: 1) многочлен ьз(х) ортогонален с весом р(х) любому многочлену а(х) степени меньше и, т.

е. ь ( р(х) ьз(х) д(х)йх=О; з 2) формула (1) является квадратурной формулой интерполяционного типа, т. е. ь с„— ~р(х) "(х) дх, у=1,2, ..., и. (5) (х — хь) зь'(хь) з Доказательство. Необходимость. Пусть формула (1) точна для любого многочлеиа степени т=2п — 1. Это значит, 18$ что она точна и для многочлена в(х)п(х), имеющего степень не выше 2и — 1, т. е. ь Л ~ р(х) в(х) д(х) Их='Я сав(ха) д(хд) =О. а а=1 Требование (5) выполняется в силу теоремы 1 из $2 (если квадратурная формула (1) точна для любого многочлена степени и — 1, то она является формулой интерполяционного типа). Д о с т а т о ч н о с т ь.

Пусть 1(х) — любой многочлен степени 2и — 1. Согласно теореме о делении многочленов, его можно представить в виде 1(х) =в (х) п(х) +т(х), где д(х) и т(х) — многочлены, имеющие степень не выше и — 1. При этом ь ь ь ь ~р(х))(х)дх ~р(х)в(х)д(х)Их+ ~р(х)т(х)дх=) р(х)т(х)Нх. а а С И Последнее равенство справедливо в силу предположения (4).

Далее, поскольку т(х) — многочлен степени не выше и — 1 и фор- мула (1) является формулой интерполяционного типа, она точна для т(х), т. е. Ь и л и (р(х) т(х)дх= ~ с~т(х~) =~' сД(хь) — в(хь)п(х~)) — ~~ сьт(х~). Я а=г *=1 ь=1 Таким образом, )р(х)т" (х)дх=',~ сд~(хд), т. е. формула (1) точна для любого многочлена степени 2и — 1. Тео рема 1 доказана. Отметим, что использование теоремы 1 существенно упрощает построение формул Гаусса.

Условие (4) эквивалентно требованиям ь ) р(х) в(х)хМх=О, а=О, 1, ..., и — 1, (6) й которые представляют собой систему и уравнений относительно и неизвестных х„х„..., х„. Таким образом, для построения формул Гаусса достаточно найти узлы х„х„..., х„нз соотношений ортогональности (6) и затем вычислить коэффициенты с„согласно (5). Теорема 1 не гарантирует существования и единственности решения системы (6).

Надо доказать еще существование и единственность многочлена в (х) степени и, ортогонального всем многочленам степени меньшей и, а также убедиться в том, что все корни такого многочлеиа расположены на отрезке [а, Ь1. 1зя 4(х) = (х — $,) (х — $,) ... (х — $~) — многочлен степени меньше и и по условию теоремы имеем 1=0. Следовательно, иь=и, что и доказывает теорему 2. Из теорем 1 и 2 следует, что для любого и существует, притом единственная, квадратурная формула, точная для любого много- члена степени 2п — 1. 4. Свойства квадратурнык формул Гаусса. Нетрудно показать, что 2п — 1 — наивысшая точность формулы Гаусса, т. е.

что существует многочлен степени 2п,.для которого эта формула не является точной. Действительно, для многочлена (3) имеем ь ~ р (х) в' (х) ь(х) О, а но '~~', сьвь(хь) =О. а=х Докажем теперь, что при.любом и коэффициенты с, формул Га~усса положительны. рассмотрим многочлены в (х) р ~ (х — хь) в'(х) ) ' 1=1,2, ..., и, имеющие степень 2п — 2 и обладающие свойством ~р~(хь) = ба. Так как для этих многочленов формула Гаусса точна, справедливы равенства ь л ( р (х) ~рь (х) ь(х = '~~ сьерр~ (хь) = сь а ь=ь откуда и следует, что с,) О, 1=1, 2,..., п. 184 что иь<и. Теорема 2 будет доказана, если покажем, что их=и. Обозначая эти корни через $„$„..., В„, представим в(х) в виде в(х) =(х — $,) "(х — $ь)"*... (х — $ ) г(х), где а„а„..., а — нечетные числа и функция г(х) не меняет знак на (а, Ь 1. Вычислим интеграл ь 1= ~р(х) в(х) (х — $,) ...

(х — $ )с(х= а ь =$р(х)(х — ~ь)~~' ... (х — 3 ) г(х)дх. (11) х Поскольку а,+1, ..., а +1 четные числа и г(х) знакопостояниа на (а, Ь), интеграл (11) отличен от нуля. С другой стороны, если иь(и, то В п. 4 э 2 отмечалось, что свойство положительности коэффициентов чрезвычайно важно для устойчивости вычислений и позволяет использовать формулы с большим числом узлов п.

Характеристики

Список файлов книги