Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Для первого .слагаемого, учитывая лемму 1, имеем 4с — сю) кя ! = ! а ()с — сс) + (1 — й) Дс-, — сю- )! ( < а11" (х) — зх (х) )!с< „1 + (1 — а) )/1" (х) — зх (х) ~~<„„> ( — М,УР, т. е. 0 ) ~1 ~ ( з М (22) 446 Далее, рассмотрим выражение Д" (х) — ~~)' ' = а (1" (х) — 1;) + (! — а) (г" (х) — ~~,). Яо формуле Тейлора имеем (х — хс)' п (х) ~г — (х х~) ~ (х) ~ (К) 2 х — х~ 1" (х) — ~;, = (х — х~,) 1" (х) — ' ) (ь;), 2 где $ь ь,ен(х, ох<).
Отсюда и из (20) получим ,(1" (х) — ),) ки = 1а (х — х~) + (1 — а) (х — хю,Д 1 '„(х)— — — 1а(Х вЂ” ХК)')4 ($;) + (1 — а) (Х вЂ” Ха )'/ (Ь|)1 = 2 (х — х; ) (х~ — х) 1Ч 1Ч вЂ” [(хс — х) 1 1я;)+ (х — ха ) 1 (Я;)1, так что )(1 (х) — ~~)' 1~( 1 — 1пах [(х — х;,) (х; — х)1(М,(х; — х)+ М,(х — х; )) = 2Й к; к~кМк1 =0,5М а =Мка 4 8 Итак, второе слагаемое в правой части неравенства (21) оце- нивается следуюп(им образом." ~ ((" (х) — 71)1"' ~ ( — ' (23) Подставляя оценки (22) н (23) в неравенство (21), получим У" (х) -;(х)! < — 4 (24) для любого хан[к, охи. Поскольку неравенство (24) справедливо для любого 1=1,2,...,У, из него следует оценка (14). Докажем теперь оценку (13). Рассмотрим на отрезке [х, „х,] функцию г(х) =1(х) — з,(х).
По определению сплайна имеем г(х<,)=г(х,)=0, следовательно, найдется точка фен(х, „х,), в ко- торой г'($) =О. Поэтому ~г'(х) [=[г'(х) — г'($) ~ =[г'(ь) (х — ь) [(!г'(ь) ~й, где ~~(хс-ь х). Таким образом, ~~'(х) — з„'(х) !(//" (ь) — з„"(Я ~ й, и, учитывая (14), получим неравенство ~ Г' (х) — з„',(х) ~ ( М,йк, из которого следует оценка (13). Осталось получить оценку (12). Пусть х — любая точка из ин- тервала (х, „х,). Введем функцию а(1) =1(Г) — з.(Г) — К(1 — х,,) (1 — х,), (25) где (ен[х, ох,) и К вЂ” постоянная, выбираемая из условия д(х)=0, т.
е. К= ' г' (к) — ка (к) (к — к,) (к — к;) Имеем д(х;,)=п(х~) а(х) О. Поэтому найдется хотя бы одна точка йен(х; „х,), в которой и" Ц)=0. Поскольку у" (() = 1" (() — з,", (У) — 2К, получим ~" ($) — з„ ($) = 2К, т. е. У" ( — кк й) 1(х) — зк(х) = 2 (х — х;,) (х — х;). 147 Отсюда и из (14) получаем неравенство 1 Ьо Моно ~1(х) зо(х)~< /!~ (х) з (х))с<~„> < которое и приводит к оценке (12). Теорема 1 доказана.
й 5. Другие постановки задач интерполирования и приближения функций 1. Примеры. Во многих случаях возникает необходимость приближенной замены данной функции другими, более простыми функциями. Одним из способов такой замены является интерполяция алгебраическими многочленами, подробно рассмотренная в предыдущих параграфах.
Однако не всякую функцию целесообразно приближать алгебраическими многочленами. Отметим в виде примеров несколько других способов интерполирования. П р и м е р 1. Тригонометрическая интерполяция. Если 1(х)— периодическая функция с периодом 1, то естественно строить приближения с помощью функций пах . пдх фо (х) = ао соз — + Ьо з!п —, й = О, 1, ..., п. 1 Таким образом, тригонометрическая интерполяция состоит в замене!1(х) тригонометрическим многочленом плх плх т Т„(х) = 'Я фо (х) = а, + ~ (ао соз — + Ьо сйп — ), 1 !) о=о о=о коэффициенты которого отыскиваются из системы уравнений Т„(х )=~(хг), 1=1, 2,..., 2п+1, где х,<х,«...хоооь хо„+,— х,=1. П ример 2.
Приближение рациональнылои функциялои. Пусть значения функции 1(х) заданы в точках х,<х,«...х„. Требуется построить функцию аох + а,х '+ ... + а, фо~ (х)— х + а дх~ о + ... + Ьо (Ь, 1 — заданы), для которой фо~(хо) =1(хо), 1=0, 1, ..., и. (2) Уравнения (2) представляют собой систему из и+ 1 уравнения относительно /г+1+ ! неизвестного а„ а„ ..., а„ Ь„ Ь„ ..., Ь,, Будем требовать, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, т. е. п=й+1. Тогда придем к системе линейных уравнений о ~ а;х'.— ~!~ Ьох'.=~гх'. 1= — О, 1, ..., Ь+1, (3) о=о о=о в которой неизвестными являются величины а„1=0, 1,..., й, и Ьь 1=0, 1,..., 1 — 1.
П р и м е р 3. Дробно-линейная интерполяция. Пусть значения функции 1(х) заданы в трех узлах, а именно в точках х, „хь хн о причем х;,(х,(х,„,. Построим функцию ~р(х) = (4) для которой ~р(х,)=('(х,), 1'=1 — 1, 1,1+1. Данная задача является частным случаем задачи, сформулированной в предыдущем примере, когда й=1=1. Поэтому для определения коэффициентов а„а„Ь, можно воспользоваться системой уравнений (3), которая в данном случае примет вид а„+а,х;,— Ь,1;,=х~,~с „ а, + а,хс — Ь,7; = хД, (5) их + а,хоп — Ь,14 = х~+Д„.
Найдем в явном виде решение этой системы. Обозначим Ьс=хс — хс „, Ьс+1 — — хц1 — хн йг=0,5(Ь1 +(н), 6л =(1 — Ь-к)1(и, 1.л =(1ц — 1)1Ь °, 1;2л = (1ки — (';л) Ьь Применяя последовательное исключение неизвестных, приведем систему (5) к треугольному виду а,+ а,х~ — Ь,14 = хс1и — Ь~1-, =- (хЛ„- о — Ь 1-- = (х1)-- .. 4 хкх кки' то нз (6) последовательно найдем (х1)-- 21„-1,л 1ххл 1кки 2х!1кл1к 4 — 1; (х1) — 1 а,= 1ккл Если 1к„-4 ФО, При проведении вычислений по этим формулам может оказаться полезным тождество 1и — 6- (х1)72 = х~б,х и + Ф 149 Используя приближение с помощью рациональных функций, необходимо следить за тем, чтобы на отрезке интерполирования знаменатель выражения (1) не обращался в нуль. Другой опасностью является такой неудачный выбор узлов интерполирования, при котором числитель выражения (1) делится без остатка на зна- менатель. В последнем случае дробно-линейная функция (4) вырождается в константу.
В качестве примера рассмотрим функцию /(х)=йх*, ЬФО. Для нее /;; =2/<~О и система (6) имеет единственное решение Ьз = — (хс < + х> + хсз<)» аз = — я (хс-<х< + хс-<хсз< + хсхсзз)> а = йхс,хсхс»<, причем а,Ь,— а,=й(х<,+х,,)(х<(х« +х+х<+<)+х<+<х,,]. Следовательно, приближение /(х) с помощью функции (4) невозможно вблизи точки х= — Ь,=х,,+х<+х<+,. Кроме того, условие и,Ь,— а,чиО приводит к следующим ограничениям на расположение узлов интерполирования: х+, + х<,ФО, х,(х<,+х<+х„,) + х;.„,х,,чиО.
П р имер 4. Двумерная интерполяция. На плоскости хОу заданы три точки А,(х„у,), <=1, 2,3, не лежащие на одной прямой. Требуется, используя значения и,=и(х„у,) функции и(х,у) в этик точках, построить аппроксимацию производных ди/дх, ди/ду. Для решения этой задачи воспользуемся линейной интерполяцией, т. е. будем считать, что и(х, у) =а(х — х,)+Ь(у — у,) + с. (7) Тогда получим, что ди/дх=а, ди/ду=Ь, т. е. при интерполяции функции и(х, у) с помощью линейной функции производные заменяются константами.
Явные выражения для коэффициентов а, Ь, с нетрудно найти из условий интерполирования и(х„у,)=из Действительно, из условия и(х„у,)=и, получаем, что с=и,. Далее, решая систему а(х,— х,) + Ь(у,— у,) ==и,— и„ а (х, — х,) + Ь (у, — у,) = и, — и„ получим 1 ~из — и< уз — у, ~ 1 !«з — «< из — и, (8) где ~«з — «< Уз У<~ «,— «, уз — у, Выражения (8) и задают искомые приближения к производным ди/дх, ди/ду. Определитель Л данной системы не равен нулю, так как по условию точки А„А„А, не лежат на одной прямой.
Заметим, что соотношения (7), (8) можно записать в виде и — из « — «< у — у, из — и< «з — «< уз — у< =О» из — и< «з — «< Уз — У< 1ЗО -г. е, в виде уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки (хь уь и,), 1= 1, 2, 3. 2. Общая постановка задачи интерполирования. Пусть на отрезке [а, Ь] задана система функций »р,(х), »р,(х),..., »р„(х) (9) и введена сетка а<х,<х,<... <х„<Ь. (10) Образуем линейную комбинацию »р(х) =с »р (х) + с»»р»(х) + .+ с »р (х) (11) с числовыми коэффициентами с„с„..., с„. Задача интерполирования функции [(х) системой функций (9) на сетке (10) состоит в нахождении коэффициентов с„с„..., с„, для которых выполнены условия ф (х») =1(х»), 1'= О, 1,..., и. (12) Интерполирование алгебраическими многочленами является частным случаем сформулированной задачи, когда ф„(х) =х", й= =О, 1,..., и.
Возникает вопрос о существовании и единственности уешення общей задачи интерполирования. Запишем систему (12) более подробно: с»ф» (х,) + с,ф, (х») + ... + с,»р„(х,) = ) (х,), с»ф»(х,)+с,ф,(х,)+ ... +с,»р,(х,) =)(х,), с»ф»(х,)+ с,ф» (х,)+ ... +с„фч(х„) =((х„). Для того чтобы эта система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы ф0(х») ф (х») ° ф (х) чь (х,) »р, (х,) ... ф„ (х,) (13) фю (х»») ф» ("»») ° ф» ("»») был отличен от нуля. Более того, поскольку узлы х„х„..., х„могут быть как угодно расположены на [а, Ь[, лишь бы среди них не было совпадающих, необходимо потребовать, чтобы де(Аэ»0 при любом расположении узлов.
Выполнение или невыполнение этого требования зависит от выбора системы функций (»р»(х))»,. Система функций (ф»(х))»» называется системой Чебышева на [а, Ь[, если определитель матрицы (13) отличен от нуля при любом расположении узлов х»ен[а, Ь), й=О, 1, ..., и, когда среди этих узлов нет совпадающих. Таким образом, общая задача интерполирования однозначно разрешима, если (»р»(х0»» чебышевская система функций. Функция ф(х), определенная согласно (11) и удовлетворяющая условиям интерполяции (12), называется обобщенным интерполяцион»»ым многочленом по системе (»р» (х))», 151 О, — 1(х(~0, = 1, ~рь (л) = (, к, 0(к(1. 3 интерполирования взять, например, точки хь =— 4 Если в качестве узлов 1 х, = — —, то получим 2 Система алгебраических многочленов пь(х) =х', й=О, 1, ..., п, является чебышевской системой на любом отрезке [а, Ь]. Система тригонометрических многочленов ~р„(х) (см, пример 1) является чебышевской системой на отрезке периодичности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
