Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Доказательство. Проведем его индукцией по 1'. При 1=1 равенство (30) выполняется с Ьсз=ас согласно (25). Предположим, что равенство (30) выполняется при 1=1 и докажем, что оно выполняется прн 1=1+ 1. Имеем Из леммы следует, что суммы 4' совпадают с интегралом 7 с точностью до величин 0(й ~), т. е. порядок точности повышается по сравнению с исходной формулой в а;/и, раз.

Изложенный метод повышения точности называется методом экстраполяции Ричардсона. Его можно применять не только к квадратурным формулам, но и к самым различным сеточным функциям, если только для ннх существуют асимптотические разложения по степеням й.

Подробное изложение метода экстраполяции по Ричардсону содержится в книге [23). Применительно к формуле трапеций данный метод называется методом Ромберга. Существуют стандартные программы вычисления определенных интегралов методом Ромберга. Пример, приведенный в конце п. 4, является частным случаем метода (29), когда 7, — квадратурная сумма, соответствующая методу трапеций, и=1, у=0,5. Отметим еще, что для формулы трапеций 7 = 7ь = "Я 0,5 5+ Уьч) й, )'с =1 (х~), Г=~ разложение (25) имеет вид ь 1ь= ~)(х)с(х+ — ()'(Ь) — ~'(а)) — — (1 (Ь) — 1' (а))+ 12 720 + — [3~'~(Ь) — Р" (а)) + ... + Омй~(71~ "(Ь) — 1В' " (а))+0(йм").

30240 (32) Здесь коэффициенты с,„совпадают с коэффициентами разложения функции ~(й) = ь й е~+1 2 е — 1 в ряд Тейлора: 6 (й) = 1+ с,й*+ с,й'+...+ с,„й'"+... Доказательство формулы (32), называемой формулой Эйлера, можно найти, например, в (2, с. 165). В 2. Квадратурные формулы интерполяционного типа 1. Вывод формул.

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов ~ р (х) ) (х) бх, (1) а где р(х))0 — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и )(х) — достаточно гладкая функция. Рассма- 172 триваемые далее формулы имеют вид ) р (х) ! (х) йх ~о ~со! (хо) (2) л (3) где о! (х) = П' (х — хг), оз' (ха) = )т! (ха — х!), (=о !мо получим приближенную формулу (2), где ь с,= Г "'"" йх, й=о,1, ...,и. ,) (х — хо) ы' (хо) а (4) Таким образом, формула (2) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (4). Приведем пример квадратурной формулы, не являющейся формулой интерполнционного типа. Рассмотрим интеграл 1 ) /(х)лх (б) о и выберем в качестве узлов точки хо О, хо=0,5, хо=1. Квадратурная формула интерполиционного типа, построенная по заданным узлам, совпадает с формулой Симпсона 1 У (х) о(х = — (У (О) + 41 (0,5) + У (!)).

! б о (6) 173 где хоев [а, Ь) и с„— числа, я=О, 1,..., и. В отличие от предыдущего параграфа, не будем разбивать отрезок [а, Ь) на частичные отрезки, а получим квадратурные формулы путем замены [(х) интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке [а, Ь). Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как пра. вило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Рассмотренные в $1 формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда п=О, 1, 2, р(х) =1. Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул ннтерполяционного типа.

Пусть на отрезке [а, Ь) заданы узлы интерполирования х„я=О, 1, ..., и. Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном онн могут быть расположены как угодно на [а, Ь). Заменяя в интеграле (1) функцию ((х) интерполяционным многочленом Лагранжа а ь = ~д~ сь/(хь) +) р(к) гедд(х)д[х а~ а Таким образом, погрешность ф„+д квадратурной формулы (2), (4) равна ь ф„, ='~ р (х) г +, (х)[дх, (8) а где г„+, (х) — погрешность интерполирования.

Вспоминая выражение для погрешности интерполирования (см. (3) из$2гл.3) га+,(х) = / (~( )) ю(х), [л+ 1)1 получаем дй„+д —— . (р(х)ю(х)/ м($(х))г(х. (л+ 1)1 .[ а Отсюда приходим к следующей оценке погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа: ь ~ф+д)( "" Гр(х)~ю(х))г[х, (л+ Ц[,[ (1О) а где М,+, — — шзд (/ю о(х) ~. Из формулы (10) видно, что справедке[а,ь[ ливо следующее утверждение.

174 (9) Заменам теперь в (5) функцию /(х) многочленом чд(х) наилучшего средне- квадратнчного прнблнлгенна первой степени. Согласно (18) на $ 5 гл. 3 этот многочлен имеет внд 1 др (х) = (/ (1) — / (О)) (х — 0,5) + — (/ (О) + / (0,5) + / (1)). 3 Отсюда приходим к квадратурной формуле д / (х) ох = — (/ (0) + / (0,5) + / (!)), 1 (У) е не совпадающей с (6). 2. Оценка погрешности.

Получим выражение для погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа. Представим функ- цию/(х) в виде /(х) =/.„(х) +г„+,(х), где Ь„(х) — интерполяционный многочлен для /(х), построенный по узлам х„х„..., х„и г +, (х) — погрешность интерполирования. Тог- да получим ь ь ь ~ р (х) / (х) г[х = ~ р (к) Е.а (х) йх + ~ р (х) га+д (х) г[х = имеющие степень и, н вычислим интегралы ь )'» = ) р (х) ф» (х) йх. а По условию теоремы справедливы точные равенства л 1» = ~ч~, Аф» (хь). ! ь Поскольку йФ1, я=1, ф»(хь) =~ ( О, получаем 1„=с(ь, )ь=О, 1, ..., и.

С другой стороны, согласно (4) имеем ь .(» = ~р(х), =с». (х — хь) ьь' (х») а Таким образом, й„=с,, 1»=0, 1, ..., и, что и требовалось. 3. Симметричные формулы. Для некоторых квадратурных формул оценка погрешности (10) является грубой, так как она не учитывает симметрии формул. Рассмотрим, например, формулу Симпсона 1 ~(х) йх= — ()( — 1) + 4)(0) + ~(1)) 3 1 (13) 175 Квадратурная формула интерполяционного типа, построенная по и+1 узлу х„х„..., х„, является точной для любого многочлена степени и, т. е.

если ((х) — многочлен степени и и с„— коэффициен- ты, вычисленные согласно (4), то имеет место точное равенство ь х ) р(х)((х)йх=',~~ ~с»((х»). (11) а »=ь Справедливо и обратное утверждение. Теорема 1. Если квадратурная формула ь Л ~р(х)~(х)йх='Я йь~(х») (12) ь »=ь точна для любого многочлена степени и, то она является квадра- турной формулой интерполяционного типа. Доказательство.

Достаточно показать, что с(ь=сь, где с, определены согласно (4), й О, 1, ..., и. Рассмотрим многочлены ф»(х)= (х, й=0,1, ..., и, (х — х») ьь' (х») для функции /(х) =х'. В данном случае имеем н=2, /'"+" (х) =6, поэтому согласно (9) погрешность можно представить в виде 1 ф =] оз(х)йх, 1 где оз(х) =х(х* — 1). Благодаря симметричному расположению узлов имеем ч[ь=О. В то же время правая часть неравенства (10), равная 1 ~ оз (х) ~ йх = —, ! 2 т отлична от нуля. Таким образом, оценка (10) не является точной для формулы Симпсона. Квадратурная формула (2) называется симметричной, если 1) и четно; 2) узлы расположены симметрично относительно середины отрезка [а, Ь], т.

е. — — хе=х„а —, Ь= О, 1, ..., и/2; а+Ь а+Ь (15) является нечетной функцией относительно точки х„а= (а+Ь)/2. Имеем з!з-т сз (х) = (х — х„ ) т! т[ (х:ха)(х — х е), ь=е откуда, учитывая условия (!4), получим ыз-1 а(х) =(х — х„) П [(х — хыз)' — (ха — хы )з[. а=з (!8) 778 3) Й=О, 1,..., я/2. Свойство (15) коэффициентов квадратурной формулы определяется не только симметричным расположением узлов, но и симметрией весовой функции р(х). Говорят, что р(х) — четная функция относительно середины отрезка [а, Ь], если р~ — +х) =р~ — — х) (16) для всех хан(0, (Ь вЂ” а)/2]. Л е м м а 1. Если с„определены согласно (4) и и четно, то соотношения (15) являются следствием условий (14), (16). Доказательство.

Покажем сначала, что м(х) = П (х — ха) ([7! Следовательно, при любом / л/3-з в(х„+/) =/ П [Р— (хь — х„)'1= — в(х„/ — /), а=о т. е. ункция в(х) нечетна относительно точки х /з. з формулы (18) следует также, что в'(х) — четная функция относительно точки х /з, поэтому в'(х„-ь) =в'(хь). (19) Рассмотрим теперь разность ь са — с„= ) р (х) в (х) р (х) ох, а где ! 1 р (х)— (х — хь) в' (хь) (х — х„ а) в'(х„ ь) Учитывая (19) видим, что х„— х„ь 1 ха «л-а и (х)— в' (х„) (х — хь) (х — х„ ь) в' (хь) [(х — х„/ )з — (х„/, — хь)з) откуда следует четвость р(х) относительно точки х„/а.

Таким образом,подынтергальная функция в (20) иечетна относительно середины отрезка (а,Ь[,и,следовательно, интеграл равен нулю, Лемма 1 доказана. Покажем теперь, что наличие симметрии повышает точность квадратурных формул. Справедлива Теорема 2. Пусть р(х) — четная функция относительно точки (а+Ь)/2 и пусть выполнены условия (14), где и — четное число. '!'огда, если квадратурная формула интерполяционного типа (2) точна для любого многочлена степени и, то она точна и для любого многочлена степени и+1.

Доказательство. Достаточно показать, что формула точна для многочлена ~(х) = (х — х„„) "+', х„а = 0,5(а+ Ь) . Поскольку ь ') р (х) (х — х,/,)~'/(х = 0 а вследствие нечетности подынтегральной функции, необходимо доказать, что 1„= ~ са!(ха)=0. а=а Представим 1„в виде суммы 1Р-[- 1Т. где а/з-з 1„= ~~„са(ха — х„/,) Ы лтз ь=е и 1а1 = ~~„са (хь — х,/з)"", а=а/за !тт Из условий (14) получим 1„"' = 'Я с«(хл/,— х «)"" «=л/««1 или л/«-« л/«-« 1'„" = 'Я сл,(хл/, — х/) ~~= — Я с. «(х« — х/«) ~~.

Характеристики

Список файлов книги