Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Приведем примеры систем функций, не являющихся чебышевскими. Пусть на отрезке [ — 1, 1] задана система функций 'Ро (") т. е. данная система не является чебышевской на [ — 1, 11. Менее тривиальным являетсиаяример система! ~ре(Л) = 1, ЧЧ(Х) =Ха †/4, КШ [ — 1, !].
Выбрав в качестве узлов интерполирования корни функция ~р~(х), т. е. точки хе= †,5, хз=0,5, придем к той же самой матрице А. Вообще, из (13) видно, что если какая-либо из функций 1р„~ро..., 1р„обращается на отрезке [а, Ь] в нуль более чем п раз, то система не является чебышевской. Действительно, если, например, <рз(хь)=О для некоторого ] и для й=О, 1,..., л, то, выбирая точки х„х„...,х„в качестве узлов интерполирования, получим, что /-й столбец матрицы А содержит только нулевые элементы. Можно доказать, что справедливо следующее утверждение (см., например, [4]). Для того чтобы система (фь(х)]й=ь была чебышевской на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы любой обобщенный многочлен по этой системе, у которого хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, имел на [а, Ь] не более п нуле!1.
Иногда это свойство принимается за определение чебышевской системы. 3. Наилучшее приближение функции, заданной таблично. Пусть значения функции [(х) н функций ~рз(х), ]=О,!,...,н, из системы (9) известны в точках хаен[а, Ь], й=О, 1, ..., тн. Если т)п, то задача интерполирования становится переопределенной. В этом случае можно рассматривать задачу о наилучшем приближении, которая формулируется следующим образом. Введем обобщенный многочлен (11) и будем рассматривать его значения только в узлах х„ т.
е. йз(хь) =сач>о(хь) +с~ф~ (хь) +...+с фл(хь) ~ я=О, 1,..., пт. Образуем разности гь= р(хь) — 1(хь), Й=О, 1, ."! характеризующие отклонение в узлах х„точного значения функ- 152 ции ((х) от ее приближенного значения, полученного с помощью обобщенного многочлена (11). Для вектора погрешностей г (гй йь г~е) можно ввести ту или иную норму, например, ,и '1г~=('Я гй~ =1 Я (ф(хй) — Г(хй))й~ ~,й=й й=й (14) или ф(х) =с,+с,(х — х,).
Тогда для г(х)=ф(х) — 1(х) получим, что ~~г(~'=Р(с„с,), где Р(с„с,)=(с,— с,Ь,— Я*+(с,— 1,)'+ (с,+с,Ь,— (й)'. Точку минимума Р(с„с,) найдем из условий Р =Р„=О, ко- торые приводят к системе уравнений Зсй+(Ьй — Ь.)с =1й+)',+1й, (Ьй Ьй) сй+ (Ьо+ Ьй) сй Ьй(й Ьй(й Отсюда получим сй = '4й+ (1 — а — сй ) 6+ сй,~ ()/в — /й+ (1 йн) 1~ 1о Лй где Л,(Л,+ Л,) "й (Ло+ Л~) Сйй— а2= 2(л,'+л,'+лйч) 2 (Лй+ Л'+ Л,Ло) Вводя обозначения 6=0,5(Ь,+Ь,), Л, (2Лй+ Лй) 2 ("й + Л~ + Л1Лй) шз 1г~= шах ~ гй~(= шах )фй — ((хйи. (15) а~ьси ай~и Задача о наилучшем приближении функции 1(х), заданной таб. лично, состоит в нахождении коэффициентов с„ с„ ..., с„, минимизирующих норму вектора г.
В зависимости от выбора нормы получим различные задачи. Так, норме (14) соответствует задача о наилучшем среднеквадратичном приближении, а норме (15)— задача о наилучшем равномерном приближении функции, заданной таблично. Если пй=п, то независимо от выбора нормы решение с=(с„с„..., с„)' задачи о наилучшем приближении совпадает с решением задачи интерполирования. Действительно, в этом случае требование аг!~=0 приводит к условиям ф(хй) =1(хй), Ь=О, 1,..., и, т. е. к задаче интерполирования.
П р и м е р 1. Построим наилучшее среднеквадратичное приближение для случая л=1, пй=2, когда заданы ~,=~(х,), 1=0, 1,2. Обозначим Ь,=х,— х„Ь,=х,— х, и будем искать обобщенный многочлен ф(х) в виде (18) Оценим погрешность полученного приближения. Проводя элементарные выкладки, получим с учетом (16), (17), что Л,ЛоУ Ло+ «1+ Л1ЛО Л, г„=с — с Ь вЂ” г = — — ㄠΠ— О 1 О О )и г =с — с Ь вЂ”,г = — — г,.
4 — О 41 ~в= 2Л Отсюда имеем 2(lг'+ Л~+ Л1Ло) следовательно, И=У вЂ” 'р11=, 'Л;, !6;!. (2 (Ло + Л,' + а~Ло)) Л Согласно (6) из $ 2 существует точка ~си(х„х,), для которой ~„-2 =1" (ь). Поэтому окончательно можно записать !У вЂ” И=, '~, Т(ь)!. 17'2 (Ло+ Л,'+ Л,Лр) В частности, на равномерной сетке, когда Ь,=Ь,=Ь, получим )' 6 т.
е. погрешность имеет второй порядок по Ь. 4. Сглаживание сеточных функций. Пусть имеется таблица значений (Ц;=, функции )(х), полученная, например, путем измерения некоторой физической величины илн с помощью численных расчетов.
Может оказаться, что 1(х) сильно меняется на отдельных участках. В этом случае иногда целесообразно применить процедуру сглаживания, т. е. приближенно заменить 1(х) другой, более гладкой функцией ~р(х). Для построения сглаженных функций можно воспользоваться среднеквадратичными приближениями, рассмотренными в преды- 354 =(Гт — Га)(Ь„)„-; = (гх — 7;)(Ь. можно записать коэффициенты с, и с, в виде (16) Л,|+Л',+Л,Л. ""' ст = ((2Ьт + Ьо) ЬЬ + (2Ьо + Ьт) ЬоГ-). (17) 2(Л +» + Л1)ь) Если Ь, Ь,=Ь, то с = — ф,+~,+~4), с,= — ' 3 2Л причем 3 Доопределим <р"'(х,) =1„<р'и'(х ) )и и обозначим чр, ср<о (х<), 1=0, 1,..., У. Процедура сглаживания по формулам (19) состоит в замене сеточной функции (Цг, сеточной функцией (чч)1=„определенной согласно (19).
То, что такая замена действительно осуществляет сглаживание, можно иллюстрировать примером, приведенным в таблице. Здесь функция ~, имеет две особенности: разрыв при 1=3 и выброс при 1=8. Сглаживание приводит к размазыванию разрыва, а также к размазыванию выброса и уменьшению его амплитуды. На участках гладкости 1(х) функция ср(х) также остается гладкой. Для наглядности читателю предлагается построить графики функций )(х) и <р(х). В рассмотренном случае сглаживание свелось к осреднению функции 1(х) по трем соседним точкам.
Можно проводить осреднение и по большему числу точке, например по пяти точкам, когда ~Рг= 'Я а))с„б '~ а)=1. / з )=з Чтобы выяснить, почему осреднение приводит к сглаживанию, вернемся к рассмотренному примеру. Будем считать, что 1(х) задана на равномерной сетке ел=(л~=гй, 1=0, 1, ..., У, й)т'=О, причем гч )и о. сглаживание по формулам (19) приводит к функции 6-1 + )~+ 6ы йз 1-1, 2, ..., Ч вЂ” 1, р,= р -О, (20) т. е. к осреднеиию /(к) по трем соседним точкам. Таким образом, можно очи. тать, что процедура осредиения представляет собой замену сеточной функции ) 1бб дущем пункте. Согласно (18) получаем, что многочлен ф~о(х) наилучшего среднеквадратичного приближения, построенный по значениям ), о )и ~ы о имеет вид ю,, 6, + 6~+ 6,ч, й„— г'~- -1- (х — хд, 3 2Ь аа 3 еточной функцией Т/, где Т.
Е+ — й, Š— единичный оператор, й — оператор второй разностной производной. Будем называть Т ояерагорол осредненил. Б п. б й 4 ч. 1 показано, что любую сеточную функцию /, для которой /а=/н О,можно представить в виде разложения М-г /(х) = Я сара(х), хе=ма, (21) а=т (23) где )зь(х) — собственные функции оператора Уы д~ (х) +й 1 (х) О.
(22) Собственные функции и собственные числа оператора Л можно выписать в явном виде (см. п. 4 $4 ч. 1): 4, пх чт' 2, пх/ Х = — з!пз —, р (х) ='а,т — мп —, лз 2М ' з / 1 М л=!,2,...,М вЂ” 1, 1 0,1,...,М. Применяя к / оператор Т, получим согласно (21), (22) разложение и-з Т/ (х) = чс~ ~сзГхиз (х), а=1 Дз 4 пе гДе /а — — 1 — — Ха — — 1 — — Ипз — — собственные значениЯ опеРатоРа Т. 3 3 2М Коэффициент /х в разложении (23) характеризует влияние оператора перед. кения Т на /з-ю гармонику.
Для низкочастотных гармоник, когда х/М мало, пд имеем з!пе — = О и /а близко к единице. Для больших й, когда й/Мяв!, имеем 2М пх з(пе — =1 и )/х) кн!/3. Таким образом, оператор Т не подавляет низкочастот- 2М ные гармоники и уменьшает амплитуду высокочастотных гармоник примерно в три раза. Этим и объясняется эффект сглаживания. 5 6. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве 1.
Постановка задачи. В п. 3 Э 5 рассматривалась задача о приближении функции, заданной таблично. Однако задачу о приближении функций можно сформулировать и в более общем виде, а именно в терминах теории приближений в линейных нормированных пространствах. Пусть дано линейное нормированное пространство Н, может быть бесконечномерное, и в нем задана конечная система линейно независимых элементов ~р„~Н, я=О, 1,..., и. (1) Требуется приближенно заменить заданный элемент /елН линейной комбинацией ф= Сз!рз+ С,7, +...
+ Салоп. (2) Элемент !р, определенный согласно (2), называется обобщеннылз многочленом, построенным по системе элементов (1). 19) Будем расссматривать задачу о наилучшем приближении, состоящую в том, чтобы для заданного [еиН среди всех линейных комбинаций вида (2) найти такой обобщенный многочлен ф, для которого отклонение 'и — (с,ф,+с,ф,+...+с„ф„) з (3) было бы минимальным. Элемент ф = сьфь + сьфь +... + Сьфь, дающий решение этой задачи, называется элементом наилучшего приближения. Известно (см., например, [2)), что при весьма общих предположениях элемент наилучшего приближения существует и единствен.
В зависимости от выбора пространства Н, нормы ~|.)| и системы (фь)ь=ь можно получить ту или иную конкретную задачу о наилучшем приближении. Рассмотрим более подробно задачу о наилучшем приближении в том случае, когда Н вЂ” вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (1, д) н нормой ~Д =)~(~, 1) . Типичным примером гильбертова пространства является пространство Ь,(а, Ь) вещественных функций [(х), интегрируемых с квадратом на [а, Ь), причем ь ь и Д, у)ы= ~1(х)у(х)г(х, /(~[с,= ~ [~(х) /здх .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
