Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 25
Текст из файла (страница 25)
... +(х — х,)(х — х,) ... (х — х,,))(х„х„..., х„). (11) Покажем, что многочлен Р„(х) совпадает с многочленом Лагранжа (8). Рассмотрим наряду с Ь„(х) многочлены Ео(х) =)(х,), (ЗО (12) Подставим в (14) вместо слагаемого Ц,(х,) его значение, вычисленное согласно (8), т. е. Е!, (х!) = (х! — «»1(х! — «»! ... (х! — «» ) (х! — «»,,) ... (х! — «! ) = хх', Пх») (х» — х») (х» — хд! ... (х» — х»,! (х» — х»+ ) ...
(х» — х!,! Е,(х), ..., Л„,(х) и представим Е„(х) в виде Е.х (х) = ~» (х) + ;~', (Т у (х) — (.!-ъ (х)) ! Из условий интерполяции (3) получаем, что (» ~ (х») =Ц(х») =~(х») при й=0, 1, ..., ! — 1 и 1=1, 2, ..., л. Следовательно, разность Е»(х) — Е;,(х) представляет собой алгебраический многочлен степени 1, который обращается в нуль в точках х„х„..., х; „т. е. Ц,(х) — Е,, (х) =А,(х — х,) (х — х,)... (х — х~,), (13) где А,— числовой коэффициент. Этот коэффициент находится из условия Е,(х») — Т,, (х,) =А;(х,— х,) (х,— х,)... (х,— х»,), откуда, учитывая условие Ц(х,) =!(х,), получаем Ау= (14) (х! — х»)...
(х! — х! ) Тогда получим 1(х;! Ау= («у — хо) ° ° . (ху — «! 1) ! (х»! ! (х! — х ) (х, — х»! ...(х — х ,)(х» — х !...(х» — х; ) г (х»! (х» — х»! ... (х» — х»,! (х» — х»~ ! ... (х» — х.,! (х» — х!! Сопоставляя это выражение с (!0), видим, что А; совпадает с разделенной разностью !'-го порядка: А;=!(х„х„..., х,). Отсюда и из (12), (!3) приходим к интерполяцнонной формуле Ньютона х.„(х) = = ! (х,) + (х — х,) ) (х„х,) + (х — х,) (х — х») ! (х, х», х,) +... ... + (х — х ) (х — х„)...
(х — х„,) ! (х», хм ..., х„). (15) 5« »3! Подчеркнем еще раз, что формулы (8) и (!5) представляют собой различную запись одного и того же многочлена а, + а,х+ а,х'+... + а„х", удовлетворяющего условиям интерполяции (2). Интерполяционную формулу Ньютона удобнее применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция )(х), но число узлов интерполяции постепенно увеличивается. Если узлы интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.
Замечание. При выводе формулы (15) не предполагалось, что узлы хь хь ..., х расположены в каком-то определенном порядке. Поэтому роль точ. ки хе в формуле (15) может играть любая из точек хе, х„..., х„. Соответствуюпгее множество интерполяционных формул можно получить из (15) пере- нумераций узлов.
Например, тот же самый многочлен Ь (х) можно представить в виде Е,(~) =(( „)+( — х,)((х„, «„,)+ + ( я) (х « — ) ( (х ' — ' — ) + ... + (х — хв) (х — «.„ „1 ... (х — х,) у («в, х„ , ..., хо) ( 16) Если хр(х,(хе(... (х„то (!5) называется формулой ингерлолировиния вперед, а (16) — формулой интерполирования назад. й 2. Погрешность интерполирования 1. Остаточный член интерполяционной формулы. Заменяя функцию )(х) интерполяционным многочленом Е„(х), мы допускаем погрешность «„(х) =[(х) — Е„(х), которая называется погрешностью интерполирования или, что то же самое, остаточным членом интерполяционной формулы.
Ясно, что в узлах интерполирования эта погрешность равна нулю. Оценим погрешность в любой точке хин[а, Ь]. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию у(з) =[( ) — ~-( ) — Кю( ), (1) где в~[а, Ь], К в постоянная и ю (з) = (в — х ) (з — х,)... (в — х„). (2) Пусть требуется оценить г„(х) в заданной точке «~[а, Ь], не являющейся узлом интерполирования. Выберем постоянную К из условия д(х) =О. Для этого достаточно положить К= 1 (х) — Ев (х) ы (х) Предположим, что [(з) имеет п+1 непрерывную производную на отрезке а<з(Ь. Функция д(з) имеет не менее п+2 нулей на этом отрезке, а именно в точках х, х„, Й=О, 1, ..., и.
Поэтому производная й'(з) имеет не менее чем и+1 нулей на [а, Ь], ди(в)— 132 не менее п нулей и т. д., функция д'"+о(з) по крайней мере один раз обращается в нуль на [а, Ь). Тем самым существует точка йен[а, Ь), в которой ды+о(й)=0. Поскольку йы+о (з) =1ы+о (з) — (п+1) ~К получаем Таким образом доказано, что погрешность интерполирования можно представить в виде у (х) — Т.л (х) = ш (х), )(льи (ьл) (л+ !)) (3) где Рея[а, Ь) и ш(х) — многочлен, определенный согласно (2). Отсюда следует оценка [) (х) — У.„(х) [ л-. "" [ ш (х) [, (4) где Млы= зир [[ы+о(х) [. В частности, если )(х) — алгебраичехе)л,з| ский многочлен степени и, то интерполирование, проведенное по любым точкам х„х„..., х„, осуществляется точно, т.
е. 1.„(х) = — ) (х). Замечание. Наряду с интерполированием применяют и зхстралолироеанпе, т. е. вычисление значений функции [(х) в точках хан[а, Ь) по приближен. ной формуле [(х) юА (х), где А (х) — интерполяционный многочлен. Однако погрешность экстраполирования обычно оказывается существенно большей, чем погрешность интерполирования. К этому выводу можно прийти, рассматривая поведение многочлена ы(х) внутри и вне отрезка [а, Ь[. Поскольку многочлены Лагранжа и Ньютона отличаются только формой записи, представление погрешности в виде (3) справедливо как для формулы Лагранжа, так и для формулы Ньютона.
Однако погрешность интерполирования можно представить и в другом виде. Для этого рассмотрим разделенную разность у(х, х„х,, ..., хл)— г (х) + (х — хл) (х — хд ... (х — хл) + Г (хл) (Хз Х) (ХЗ ХЬ) ° ° ° (ХЛ Хл) (ХЛ Х) (ХЛ Хр) ... (ХЛ Х~~ З) имеющую порядок и+). Отсюда найдем г (х) г (хе) (Х вЂ” Х,) (Х вЂ” ХЗ) .. (Х вЂ” Хл) + (хз — хз) (хл — хз) ° .. (Хл х 1) ...+П) ' "' + (х — хл) (х — х,) ... (х — хл„г) (хл — хз) (хл — хд ...
(хл — хл г) + (х — х,) (х — х,) ... (х — хл) ) (х, х„х„..., хл) = =1.л(х)+(х — х,)(х — х,) ... (х — хл))(» хе . ° »л). 133 Таким образом, погрешность интерполяционной формулы можно представить в виде 1(х) — 1.„(х) =[а(х))(х, х„ х„ ..., х„). (5) Сопоставляя (3) и (5), видим, что существует точка 5~[а, Ь), для которой 7(х, х„х„..., х„)= ([лм] (5) (6) (и+ !)! Формула (6) устанавливает связь между разделенной разностью порядка и+1 и (и+1)-й производной функции 1(х). 2. Оптимальный выбор узлов интерполирования.
Величину ~ ьт(х) ~, входящую в оценку (4), можно минимизировать за счет выбора узлов интерполирования. Задача состоит в том, чтобы подобрать узлы х»ен[а, Ь], й=О, 1, ..., и, так, чтобы минимизировать величину шах ~(х — х,)(х — х,) ... (х — х„) ~. «я[а,»! Эта задача уже рассматривалась в примере 1 из $5 гл. 2. Она ре- шается, как мы знаем, с помощью многочлена Чебышева причем в качестве узлов интерполирования надо взять корни миогочлена (7), т. е. точки х»= + — соз, й=О, 1,..., и.
(8) а+Ь Ь вЂ” а (2»+ !) и 2 2 2(л+ 1) При этом е)л.н шах (ьт(х)(= «и[«.Ь) и оценка (4) примет вид (Ь вЂ” "+ ) 7 (х) — 7.„(х) ! ( 3. О сходимости интерполяционного процесса. Возникает вопрос, будет ли стремиться к нулю погрешность интерполирования 1(х) — Е„(х), если число узлов и неограниченно увеличивать. Ответ, вообще говоря, отрицательный. Сформулируем определение сходимости интерполяционного процесса. Множество точек хь (=О, 1, ..., и, таких, что а <х,<х,«...х„< Ь назовем сеткой на отрезке [а, Ь'1 н обозначим через Р.„.
До сих пор предполагалось, что число узлов интерполяции фиксировано. Переходя к изучению сходимости интерполяционного процесса, необхо- 134 димо рассмотреть последовательность сеток с возрастающим числом узлов, а именно последовательность <л> В) П) (л) (л) (л> Рь=(хл )е 0<=(хо э х) )е ° ° ., Йл=(хл 1х) ъ ° ° ° э хл ), ... Пусть функция !(х) определена и непрерывна на [а, Ь]. Тогда можно задать последовательность интерполяцнонных многочленов т'.„Щх) ], построенных для функции [(х) по ее значенням в узлах сетки й„. Говорят, что ннтерполяционный процесс для функции [(х) сходится в точке х'ен[а, Ь], если существует !пп Е, [)'(х')] = [(х*). Кроме поточечной сходимости рассматривается сходимость в различных нормах.
Например, равномерная сходимость на отрезке [а, Ь] означает, что <пах ])'(х) — Т., [~(х)] !->. О хе(лм) прн п-)-оо. Свойство сходимости или расходимости интерполяционного процесса зависит как от выбора последовательности сеток, так н от гладкости функции ! (х) . Известны примеры несложных функций, для которых интерполяционный процесс расходится. Так, последовательность ннтерполяционных многочленов, построенных для непрерывной функции [(х) = ]х] по У равноотстоящим узлам на отрезке [ — 1, 1], не сходится к функции ]х] ни лв в одной точке отрезка [ — 1, 1], кроме точек — 1, О, 1 (пример С. Н. Бернштейна, см. [24, с.
519]). На рис. 4 в качестве иллюстрации изображен гра- в л фнк многочлена <'.,(х) прн О(х(1, построенного для функции ]х[ по равноотстоящнм узлам на отрезке [ — 1, 1]. Более общее утверждение содержится в теореме Фабера (дока- <>,в йв х зательство см. в [24, с. 515]): какова бы ни бь<ла последовательность сеток И„, найдется непрерь<вная на [а, Ь] ыого ыыогочыеыа ллы фуыкаиы фУнкция <(х) такая, что последовательность интерполлционных много- членов Т.„Ц(х) ] не сходится к [(х) равномерна на отрезке [а, Ь].
Для заданной непрерывной функции [(х) можно добиться сходимости за счет выбора расположения узлов интерполяции. Справедлива теорема Марцинкевича (см. [24, с. 519]): если ((х) непрерывна на [а, Ь], то найдется такая последовательность )зз сеток, для которой соответствующий интерполяционный процесс сходится равномерно на [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
