Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

(7.3.12) Если теперь положить д = сЬ |/ (2 (Ьх)'), то при записи (7.3.12) в матрично-векторной форме левая часть будет идентична (7.3.4), а правая часть примет вид ни, — (2Ф вЂ” 1)и, +2да, ди~~~1 — (2р — 1) и1 + ни~~ 1, 2 дР— (2и — 1) и„+ ди„ у=2,...,п — 1, (7.3.13) Последнее соотношение напоминает условие устойчивости (7.2.23) для явного метода (7,2.5). Таким образом, мы видим, что хотя условие устойчивости нашего неявного метода не накладывает никаких ограничений на соотношение шагов Ьг и Ьх, требования к точности могут привести к возникновению подобных ограничений. Потенциально лучшим в этом отношении оказывается известный метод Кранка — Николсона, который, по существу, является-усреднением явного (7.2.4) и неявного (7.3.2) методов. Действительно, если взять среднее правых частей (7.2.4) и (7.3.2), то мы получим Следовательно, метод (7.3.12) опять сводится к решению на каждом шаге по времени трехдиагональной системы уравнений.

Матрица коэффициентов этой линейной системы совпадает с матрицей системы (7.3.4), а вектор правых частей, который задается формулами (7.3.13), определяется чуть более сложно, чем в (7.3.4), так что метод (7.3.12) требует на каждом шаге по времени несколько большего объема вычислений. Преимущество метода (7.3.12) заключается, однако, в том, что он не только является беэусловно устойчивым, как и (7.3.4), но и имеет второй порядок точности как по пространственной переменной, так и по времени. Локазательство этих т+1 ° ° ° ° т ч ° ° /-1,7',/+1 /-1,/ /+ 1' /-1 / /+1 а д Ф Рис.

7.5. Шаблоны для различных методов: а) явный метод (7.2.5); б) неявный метод (7.3.4); в) метод Кранка — Николсона утверждений предлагается провести в упражнении 7.3.5. Указанные свойства сделали этот метод одним из наиболее часто используемых методов решения параболических уравнений. Различные разностные методы, такие, как (7.2.5), (7.3.4) и (7.3.12), удобно запоминать с помощью "шаблонов", изображенных на рис.

7.5. Эти шаблоны показывают, какие точки сетки участвуют в данной раэностной схеме. Использование неявных методов стало обычной практикой при численном решении параболических уравнений в частных производных. Дело в том, что выигрыш, связанный с хорошей устойчивостью неявных схем, значительно перевешивает ту дополнительную работу, которая необходима при осуществлении шага по времени, Большинство фактически используемых методов имеет более сложную структуру, чем схема Кранка — Николсона, но принципы остаются теми же.

Однако для.задач с несколькими пространственными переменными непосредственное перенесение на их решение методов этого раздела оказывается неудовлетворительным. Здесь приходится использовать специальную технику, речь о которой пойдет в разделе 8.2, Аналогичным образом можно построить неявные методы н для гиперболических уравнений, таких, как волновое уравнение нэ предыдущего раздела. Однако, как мы видели на примере волнового уравнения, требования устойчивости в этом случае обычно не накладывают на явные схемы жестких ограничений на размер шага по времени, Вследствие этого неявные методы для гиперболических уравнений используются на практике довольно редко, и мы не будем на них останавливаться.

Лонолнигельные замечания и ссылки 7.3 Ссылки, указанные в разделе 7.2, относятся н к неявным методам, В часпюстн, в книге [64, с. 189 — 19Ц представлен в виде шаблонов целый ряд конечно-разностных методов дня параболических уравнений. УПРАЖНЕНИЯ 7,3 7.3Л. Составьте программу, реализуюшую метод (7.3.4), и используйте ее лпя решения задачи из упражнения 7.2.1. Задавайте разные значения ьг и ьх и проверьте на практике устойчивость метода. Проанализируйте ваши результаты в сравнении с результатами упражнения 7.2.1, включая отюсительную простоту и эффективность реализации этих двух методов, 7.3.2. Следуя схеме предыдущего раздела, проверьте, что (7.3.7) удовлетворяет (7.3,3) . 7.3.3. Следуя схеме анализа, использованюй в предыдущем разделе, убедитесь, чю локальная ошибка дискретизации удовлетворяет соотношению (7.2.9) . 7.3,4. Измените вашу программу нз упражнения 7.3.1 так, чтобы она выисляпа вектор правой части по формулам (7.3.13) и реализовывала тем самым метод Кранка — Николсона.

Проанализируйте ваши результаты н сравните этот метод с (7.3.4) . 7.3.5. Покажите, что решение разиостных уравнений метода Крепка — Николсона (7,3,12) прн граничных условиях с а = с = О имеет вид (73,7), где та = (1-я ля) / (1+ + аль). Здесь л» = 2 — 2 сов[де/(я+ 1)1, и =сы/(2(лх)'). Докажите, что метод является безусловно устойчивым. Покажите также, что этот метод имеет второй порядок точности как по пространству, так и по времени. 7.3.6. Метод Дюфорта — Френкеле для уравнения теплопроводности имеет вид и — и = (сг-с/(ах)'1,(и. — и — и + и.

). покажите, что этот метод безусловно устойчив. Представьте его в виде явной формулы ~) . 7.4. Полудискретные методы Мы теперь рассмотрим другой подход, который использует проекционные принципы, изложенные в гл. 5, и заменяет дифференциальное уравнение в частных производных аппроксимирующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В принципе, этот подход можно применять к уравнениям как параболического, так и гиперболического типа. Мы сначала проиллюстрируем его на примере уравнения теплопроводности иг сихх1 О ~х чч 1~ /~ Оз с начальными и граничными условиями и(0, х) = /'(х), и(г, О) = О, и(/, 1) = О.

(7.4.2) Пусть, как и в разделе 5.1, функции у1 (х), ... р „(х) составляют набор базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи, т,е. <ра(0) =О, ра(1) =О, /с = 1, ..., л. (7.4.3) Мы будем искать приближенное решение й уравнения (7,4.1) в виде й(г,х) = Е аг(г)чч(х), 1=1 (7.4.4) «) Покажите, что пря ох- О и лг -+О, так по л(/~х- О, эта схема согласована с исходным дифференциальным уравнением.

— Примеч. ред. 235 где функции а~(г) подлежат определению. Подчеркнем, что зто тот же самый подход, что и в гл. 5, с тем лишь исключением, что мы теперь "позволяем" коэффициентам а, линейной комбинации базисных функций зависеть от г, что соответствует природе рассматриваемой задачи.

Чтобы определить неизвестные коэффициенты а1, можно воспользоваться любым из критериев раздела 5.1. Сначала мы рассмотрим метод коллокации. Пусть 0 < х1 « ... х„< 1 — узлы сетки (не обязательно равномерной) по переменной х. Потребуем, чтобы приближенное решение (7,4.4) удовлетворяло в этих точках дифференциальному уравнению. Так как й,(т, х) = 2' а,(г)~р,(х), й„„= 2' а~(г) р,"(х), это означает, что мы требуем выполнения соотношений 2' а;(г)<р;(х) =с Х аЯ~)р~ (х.), (7.4.5) Если ввести матрицы размера и Х и А = ( р1(х~)), В = с(у,"(х,.)) (7.4.6) и векторы с п координатами а(г) =(а~(г), ..., а„(г)), а'Я=(»1(г),..., а'„(г)), то (7.4.5) можно переписать как А» (г) = Ва(г) (7.4.7) или, если предположить, что А невырождена, и положить С=А 'В, — как а'(г) = Са(т).

(7.4.8) Уравнение (7.4.8) представляет собой систему и обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций а1. Чтобы решить эту систему, мы должны еще задать для нее начальные условия. Если потребовать. л чтобы приближенное решение и удовлетворяло начальному условию (7.4.2) в точках х1, ..., х„, то получим а Х а;(О) р;(х ) =~(х ), 1=1, ...,и„ ~' = 1 или (7.4.9) А а(0) = г, где 1' = (~(х1), ..., г (х„)) . Согласно нашему предположению матрица А невырождена, так что а(0) = А '~ (7.4.10) Итак, мы свели задачу к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.4.8) с начальным условием (7:4.10). Если бы мы л могли решить эту систему точно, то функция и, определенная в (7.4.4), дала бы нам приближенное решение исходной задачи.

Такие методы назы- 236 вают полудискретными, потому что мы с помощью базисных функций р~ и точек сетки х~ провели дискретизацию только по пространству, а время оставили как непрерывную переменную. На практике, однако, система дифференциальных уравнений (7.4.8) должна решаться численно, а это связано с введением дискретизации по времени, так что термин "полу- дискретные" является несколько условным. Тем не менее с идейной точки зрения введение дискретизации только по пространственным переменным и сведение тем самым исходной задачи к системе обыкновенныхдифференциальных уравнений оказывается полезным.

давайте используем для численного интегрирования системы (7.4.8) простой метод Эйлера, рассмотренный в гл. 2. Если взять точки г0, г ~,... на равном расстоянии друг от друга с. шагом Ьг,,то метод Эйлера примет вид а"" = а" +Ь|Са", (7.4.11) /с = О, 1, ..., где через а" обозначено приближенное решение в момент г~. На практике обычно не используют схему (7.4.11), так как это требует вычисления' матрицы С = А 'В, а работают непосредственно с дифференциальным уравне.нием (7.4.7) и соответствующим методом Эйлера Аа~+1 = Аа~+ЬгВа~, 1=0,1,...

(7.4.12) Это означает, что на каждом шаге по времени будет решаться система линейных уравнений (7.4,12) с матрицей коэффициентов А.В этом случае АУ-разложение матрицы А достаточно выполнить только один раз, запомнить множители А и Уи использовать их на всех последующих шагах. В принципе, возникающую задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений можно решать и любым из методов более высокого порядка, описанных в гл.

2. В упражнении 7.4.2 предлагается выписать соответствующие формулы для некоторых из этих методов в случае (7.4.8) . Однако уравнения (7.4.8) обычно оказываются довольно "жесткими" в смысле гл. 2, н при использовании явных методов их приходится интегрировать с весьма малым шагом. В силу этого может оказаться более выгодным использование таких методов, как метод трапеций. В примене нии к (7.4.7) метод трапеций (2.5.38) имеет вид Ь| а"+' = а» + — (А 'Ва"' ' +А ' Ва"), 2 (7.4.13) (А- — В)а~'' =~А + — В)а . Для реализации этого метода необходимо на каждом шаге решать линейную систему, аналогичную (7.4.12), но с матрнцей коэффициентов А, замененной на А — (Ь|/2) В. Если эта последняя матрица является невырожденной, то мы, в принципе, можем действовать точно так же, как и раньше, т.е. один раз вычислить множители А и У и использовать их при решении откуда, умножая слева на матрицу А и собирая вместе коэффициенты при аь" и а~, получаем систем (7.4.13) на последукпцих шагах.

Характеристики

Список файлов книги