Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(Фх Фу 'Ре)- (8.1.1 1) Давайте рассмотрим более общий случай, когда имеется несколько точечных масс т,,...,т„с координатами (х~,у~,г,). Если здесь ввести потенциал как т~ <р(х, у, г) = е Х вЂ”, (8.1.12) )=1 У~ где г; = [(х — х;)з + (у — у))з + (г — г;)з 1 ' ~з, (8.1.13) то вектор силы, которая действует на единичную массу, расположенную в точке (х, у, г ), будет также задаваться выражением (8.1.11) .
Во многих ситуациях, однако, предположение о точечности масс оказывается недостаточно реалистичным и приходится вместо (8.1.12) использовать интегральную лил формулировку. Пусть р(х,у,г) задает плотность вещества в некотором объеме Г как функцию координат. Тогда, по аналогии с (8.1.12), можно определить потенциал Р в точке (х, у, а) как р(х, у, г)с1х студя ч (х, у, =) = к О)" (8.1.14) *) Векторй.1.9)рааенсиде,действующей со стороны массы т на массу т,.— Примеч. лер. 16* 243 но и как функции времени до выхода на стационарный режим, либо непосредственно искать стационарное решение из уравнения (8.1.7) . Уравнение Лапласа является математической моделью и для множества других физических явлений.
Так, в частности, его иногда называют уравнением логенциала, потому что потенциал злектростатического поля р удовлетворяет уравнению Фхх + 'Руу + 'Раа = О (8.1.8) представляющему собой трехмерное уравнение Лапласа. Этому же уравнению удовлетворяет потенциал магнитного поля в магнитостатике и потенциал поля гравитации в теории гравитации Ньютона. Мы сейчас дадим краткий вывод уравнения (8.1.8) для случая гравитационного потенциала.
Напомним, что согласно закону всемирного тяготения сила притяжения между двумя точечными массами т и т, с координатами (х,у, г) и (х„у„г,) описывается вектором где „(„у г.„у т) [(» х)г+ (у у)г+ (г г)г)1(г И снова гравитационная сила в точке (х, у, г), обусловленная описываемым функцией Р распределением масс, будет определяться выражением (8.1.11) . Дифференцируя (8.1.14), получаем Р(х, у, г)(х — х) Фх = — К ХП с1хдусКг 1' .3 и аналогично для Р „и р,.
Вычисляя теперь вторые частные производные, находим З(х — х)г 1 чгх~ =ХИ Р(х у т) — — Йхйуйг и аналогичные выражения для Р „и р„. Складывая теперь выражения для вторых производных, получаем Фхх + Фуу + Мха = О т,е. потенциал Р удовлетворяет уравнению Лапласа (8.1.8) . Уравнение Лапласа является простейшим примером эллиптического уравнения, В общем случае уравнение аи„„+~Ьи„»+сит +Ни„+еиу +,1и =я, (8.1.15) где все коэффициенты а, Ь,... могут быть функциями х и у, называется эллиптическим, если [Ь(х, у)) (а(х, у)с(х, у) (8.1.1б) при всех х и у из рассматриваемой области; зто уравнение называется гиперболическим„если Ьг >ас, и параболическим, если Ь = ас. Важный частный случай (8.1.15) представляет уравнение (а(х, у)и„)„+ (с(х, у)и„),, = О, (8.1.17) которое при дифференцируемости и положительности коэффициентов а и с является эллиптическим.
В. следующих разделах мы рассмотрим методы, которые применимы к общим уравнениям эллиптического типа, заданным на областях довольно произвольного вида, Однако, чтобы не загромождать изложение, мы в основном ограничим детальное обсуждение случаем двумерного уравнения Лапласа и квадратной области.
Дополнительные замечания и ссылки 8.1 Теория эллиптических уравнении в частных производных, а также вывод конкретных уравнений вместе с дополнительными примерами имеются в той же литературе„ которая была указана в дополнительных замечаниях к разделу 7,1. Во многих важных приложениях возникают уравнения эллиптического типа, имеющие более высокий порядок.
Так. например, бигармоническое уравнение ихххх + 2лххуу + иуу1у = О моделирует распределение напряжений в теории упругости. Очень интересные, важные и сложные задачи связаны с уравнениями смеиюниого типа, в которых в одной части рассматриваемой области выполняется неравенство (8.1.16), а в другой части — противоположное неравенство, т.е.
в однои части области уравнение является эллиптическим, а в другой — гиперболическим. Такие задачи вознийают, например, при изучении околозвукового воздушного потока, когда в одной части области (эллиптическая часть) поток является дозвуковым, а в другой части (гиперболическая часть) — сверхзвуковым. В этой задаче уравнение для функции, играющей роль потенциала, имеет вид (,г з),.х 2 х х +(ег г), =О Здесь а — скорость звука, которая может быть функцией от х и у, а рх и рг представляют собой составляющие скорости потока в направлениях осей х и у.
Это уравнение при а' > ч~' + е'„является эллиптическим, прн а' = ух+ у',. — параболическим и приа2 < Фхч+Ф,* -гиперб лич ким УПРАЖНЕНИЯ 8.1 8.11. Покажите, что вектор Г в (8.1,9) является градиентом функции ~ из (8.1 10) „т.е. что вектор Е имеет координаты (и „, г и, ре) .
8.2. Дискретизация двумерных задач Мы теперь переходим к изучению методов численного решения эллиптических уравнений. В гл, 3 и 5 была рассмотрена двухточечная краевая задача и" +аи'+Ьи =Г и(0)=а, и(1)=Р. (8.2.1) Уравнение (8.2.1) можно считать эллиптическим с одной независимой переменной, и нам хотелось бы перенести разработанные для этого уравнения конечно-разностные методы на случай двух независимых переменных.
Мы сначала рассмотрим конечно-разностный метод для уравнения Пуас гона ихх +ичг Л. (8.2.2) Если стоящая в правой части функция (" тождественно равна нулю, то это уравнение переходит в уравнение Лапласа. В качестве области мы возьмем единичный квадрат О<х,у <1 на плоскости (х,у) и предположим, что на его границе заданы условия Дирихле, т.е. и(х, у) = Е(х, у), (х, у) на границе, (8.2.3) где а — заданная функция. Введем на единичном квадрате равномерную сетку с шагом Ь как по горизонтали, так н по вертикали (рис.
8.3) . Возьмем теперь произвольную точку сетки (х,у) и аппрокснмируем значения производных и х и и у в этой точке с помощью обычных центральных разностей: ихх(х, у) — [и(х+Ь, у) — 2и(х, у)+и(х — 6, у)], (8.2.4а) Ьг и„„(х, у) = — [и (х, у + Ь) — 2и (х, у) + и (х, у — Ь)) . (8.2.46) Если мы подставим эти. выражения в дифференциальное уравнение (8.2.2), го получим приближенное равенство и(х+ Ь„у)+и(х — 6, у)+и(х, у+Ь)+ + и (х, у — Ь) — 4и (х, у) = Ь'Дх, у). Точное решение и уравнения (8.2.2) должно удовлетворять (8,2.5) в каждом узле сетки, лежащем внутри области.
Внутренние узлы сетки задаются как (хь уу) = ((й, |Ь), г, г' = 1,..., Л/, (8.2.б) где (У+ 1) й = 1. Мы потребуем, чтобы приближения иц к значениям решения и(хг,у)) точно удовлетворяли равенствам (8.2.5) в Ф~ внутренних узлах сетки, т.е. чтобы иг+1,~ + и~-г,/+ и',г+г + ию',1 — 1 — 4ии= Лги;;, г; г' = 1,..., Л~ (8.2.7) Мы получили систему из Жг линейных уравнений относительно (У+-2) г (О ° ° ° ° ° 2й гав+1 У+2 ° ° 1 2 (1,0 (0,0) Рис. 8.3. Сетка на единичном квадрате Рис. 8.4.
Унорндочнванне уэлов сетки переменных иц. Заметим, однако, что переменные и„,ие„, (!' = О,... ...,Ф+ 1) и и;о, и; л~,г (г = О,...,Ф+ 1), соответствующие точкам сетки, лежащим на сторонах. квадрата, определяются из граничных условий (8.2.3): ио. — — 8(О,у~), иы+г т =я(1,Р ), г =О, 1,...,Ф+ 1, (8.2.8) и~ ат+, =я(хи 1), г'=О, 1,...,И+1. и,о =К(х;,О), 246 Следовательно, (8.2.7) — это линейная система уравнений относительно У~ неизвестных и~ (г,у = 1,...,Л~), представляющих собой приближенные значения решения дифференциального уравнения (8.2.2) во внутренних узлах сетки (х~, у;). Таким образом, с вычислительной точки зрения задача свелась к нахождению решения этой линейной системы.
Отметим еще, что система (8.2.7) является естественным распространением на случай двух переменных х и у разностных уравнений, полученных в гл. 3 для "одномерного уравнения Пуассона" и =~. Напомним, что этн уравнения имели вид и;+, — 2и;+и~ г =Й~Л, г = 1,..., Л~.
Давайте рассмотрим систему линейных уравнений (8.2.7) более подробно. Полезно переписать эту систему в векторно-матричной форме. С этой целью мы пронумеруем внутренние узлы сетки способом, указанным на рис. 8.4; этот способ иногда называют лексикографическим упорядочиванием. В соответствии с этим упорядочиванием мы объединяем неизвестные и,; в вектор (и~ г,...,и~юг,игг,...,идг,...,Игу,...,Иу~ч) (8.2.9) и в том же порядке выписываем уравнения (8.2.7), поменяв предварительно знаки и перенеся известные из граничных условий члены в правую часть.
В результате мы приходим к следующей матричной записи системы.' 4 — 1 Π— 1 4 — 1 О О-1 О О-1 ΠΠ— 1 4 — 1 О О -1 Π— 1 4 ΠΠ— 1 О О -1 О О 4 -1 ΠΠ— 1 ΠΠ— 1 4 — 1 О О-1 О игг +игг — Н Х, г иго ~ Угг и,, Иг г (8.2.10) иу ~ о — !г*Д~ч им+ ),~ + иио — Ь'ул~, г игг й ггг — Ь'~„ и,, г г Структура этих уравнений достаточно очевидна. Так, в частности, каждое уравнение, которое соответствует внутренней точке, не примыкающей к границе, содержит только неизвестные (и значение Г), а уравнения для внутренних узлов, примыкающих к границе, содержат в правой части по крайней мере одно значение и,1, которое задается граничными условия- Хотя структура уравнений и видна из (8,2.10), такая запись довольно громоздка.
Значительно удобнее представить систему (8.2.10) в блочной форме, т.е. записать матрицу А в виде А,, ... А,г А =[ 4 — 1 — 1 4 4 — 1 — 1 4 за где элементы Ао сами являются матрицами. Матрица коэффициентов системы (8.2.10) естественным образом представится в таком виде, если ввести трехдиагональную Ф Х Л~матрицу и обозначить через 1н единичную матрицу порядка У. Действительно, тогда матрица системы (8.2.10) размера Ж' Х Ж~ есть просто блочная трехдиаго- нальная матрица т — 1 т, А= т -1н Тн Если мы, кроме того, введем векторы и; = (и „,..., ин;), Д = ( 1ы,..., У~ч;), 1 = 1,..., У, г т Ь, = (на ~ + и, а,иго, ..., ил г,о ил .о +и.у+я,~) 7' Ьт = (ног, О,..., О, илг+1,у), т' = 2,..., Лт — 1, Ьл =(иаьт+и, ьт+,,иг и+,,...,иьт, ьт+,,иьт ьт+, +ин+, н)г, то систему (8.2.10) можно записать в компактной блочной трехдиагональ- ной форме Ьг — Ь Уг тн -1а — т и, иг (8.2.1 1) Тм — 1н — 1м Тл( Ььт — Ь~Ц Мы теперь сделаем несколько замечаний относительно этой системы уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
