Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Мы имеем в виду метод разделения переменных, к весьма краткому описанию которого мы сейчас переходим. Предположим, что решение уравнения (7.1.1) может быть представлено в виде и (», х) = о (») и (х), где с1 — произвольная постоянная. Второе же уравнение (1.1.1ог есть просто задача на собственные значения, обсужденная нами в разделе 6.1. Рассмотренная там задача (см.
(6.1,10) и (6.1.11)) имела собственные функции и(х)=япгслх, О< х< 1, /с=1,2,..., (7.1.18) и собственные значения — 1с~л', С учетом константы с соответствующие значения д определяются выражением = — е1с~л' 1с = 1, 2,... (7.1.19) Таким образом, если константа д задана по формуле (7.1.19), то функция и вида (7.1.18) является решением уравнения см" = ди.
Отметим, что это решение может обращаться в нуль в некоторых точках отрезка [О, 11, и в этих точках правая часть (7.1.15) не будет определена. Однако равенство (7.1.15) служит для нас только наводящим соображением. Важно, чтобы функции и и ю удовлетворяли соотношению (7.1.14), а при выполнении (7.1.16) это имеет место. Таким образом, и это легко проверить непосредственной подстановкой, любая функция вида и (г, х) = е '" л ' яп фслх, (7.1.20) где /с — положительное целое, удовлетворяет уравнению (7.1.1) .
Хотя функция (7.1.20) удовлетворяет дифференциальному уравнению, она не обязана удовлетворять заданным начальным и граничным условиям. Давайте рассмотрим частный случай граничных условий (7.1.6) вида и(г,0)=0, и(г,1)=0, (7,1.21) и предположим, что начальное условие может быть представлено в виде конечного тригонометрического полинома и(0,х)= 2, акз1п7слх. 1с =1 (7.1.22) Тогда легко убедиться, что функция е(х) = Х ак яп/слх, 1с = 1 (7.1.24) где 1 ак =2 (' е(г) э1п(1слг)дг. о 219 и(Г,х)= 2' аке ек .'апсслх (7.1.23) К=1 является решением (7.1.1) (любая линейная комбинация решений (7.1.1) снова является решением (7.1.1)) и, кроме того, удовлетворяет граничным условиям (7.1.21) и начальному условию (7.1.22) . Выписанное решение (7.1.23) основано на конечном разложении (7.1.22), но из теории рядов Фурье известно, что очень широкий класс функций,а следовательно, и начальных условий, может быть представлен в виде бесконечного разложения В этом случае, по аналогии с (7.1.23), решение может быть представлено в виде бесконечного ряда е — св'а~ г «=1 (7.1.25) хотя строго доказать этот факт уже не так просто, как для (7,1.23) .
Метод разделения переменных можно применить и к волновому уравнению, и мы ограничимся тем, что приведем соответствующий (7.1.25) результат для уравнения (7.1.10) с граничными условиями (7.1.11) и начальными условиями (7.1.12), Если предположить, что первое начальное условие (7.1.12) допускает разложение в ряд /й~х1 ~(х)= Х ааяп~ — ), (7,1.2б) то с учетом второго начального условия (7.1.12) искомое решение пред- ставимо в виде и (г, х) = Х а» яп~ — х) сов~ — ~/сг А (7.1.27) дополнительные замечания и ссьш ки 7.1 Метод разделения переменных в сочетании с рядами Фурье представляет собой классический аппарат решения простых дифференпиапьных уравнений, который излагается в большинстве учебников по уравнениям в частных производных. Такие учебники обычно содержат дополнительные примеры и выводы соответству1ощнх уравнений (см..
напоимер, 14, 17,58)). Для более глубокого изучения можно рекомендовать 18, 26, 351. При моделировании физических явлений с помощью уравнений в частных производных во многих, если не в большинстве случаев, используется не одно отдельное уравнение, а система таких уравнений. Классификзаия уравнений на зппиптические, Если (7.1.2б) является конечной суммой, то, как и в случае (7.1.22), этот результат легко проверяется непосредственно, без каких-либо технических трудностей. Хотя в некоторых специальных случаях приведенные разложения в ряды можно использовать для получения численных результатов, мы не хотели бы создать впечатление, что эти разложения должны служить основой для построения численных методов.
Такие представления скорее оказываются полезными для получения качественной информации о поведении решения дифференциального уравнения. Например, из (7,1.23) ясно видно, что, так как с ) О, и(Р, х) -+ О при г -~, и к тому же выводу можно прийти из бесконечного разложения (7.1.25). Мы воспользуемся этой информацией в следующем разделе при обсуждении конечно-разност-, ных методов. С другой стороны, мы видим, что решение (7.1.27) не содержит множителей, обеспечивающих экспоненциальное затухание по времени, и, более того, и(г, х) вообще не стремится к нулю при г Отсюда следует, что волновое уравнение не может служить законченной математической моделью реальной колеблющейся струны, И действительно, мы пренебрегли силами трения, которые приводят к постепенному затуханию колебаний. гиперболические и параболические может быть распространена н на случай систем уравнений, однако под зту замечательную классификацию подпадает сравнительно мало систем, моделируюших реальные физические ситуации.
УЛРАЖНЕНИЯ 7.1 7.1.1. Покажите, по функция (7.1.20) удовлетворяет уравнению (7.1.1) прн любом целом (с, Затем убедитесь, что (7.1.23) является решением (7.1.1), удовлетворяющим граничным условиям (7.1.21) и начальному условию (7.1.22) . 7,1.2. а) Покажите, что функция (йл ~~ /1се (,с)= Х а яп — к соз — ~/се (7.1.28) в=1 является решением волнового уравнения (7.1.2) с граничными условиями и(т, 0) = л = О, и(т, Ъ) = 0 н начальными условиями ит(0, к) =О, и(0, к) = Х аазш(авек/1.). в=1 б) Составьте программу, которая будет выводить на графический терминал частное ,решение и(к, т) = з1п(ек) соз(хт) таким образом, чтобы было ясно видно, как 'колеблется струна. Проделайте то же самое для более сложных решений, включаю ших два и три члена (7.1. 28) . 7.2. Явные методы и проблема устойчивости В этом разделе мы начинаем изучение конечно-разностных методов решения уравнений в частных производных и, в частности, уравнений нз предыдущего раздела.
Сначала мы рассмотрим уравнение теплопроводности и, =си„„, 0<х<1, г>0, (7.2.1) с начальным условием и(О,х)=я(х), 0<х < 1, (7.2.2) и граничными условиями и(г, 0) =а, и(г, 1) =Д, (РзО. (7.2.3) Введем на плоскости (х, Г) сетку с шагами Ьх и Ы, как зто показано на рис.
7.3. В основе простейшего конечно-разностного метода для уравнеМ г1 0 хп 1 х- ~М Рис. 7.3. Сетка на плоскости ння (7.2.1) лежит замена второй производной в правой части (7.2.1) центральной разностью по х н замена и, разностью вперед по г. Тогда мы можем получать приближенное решение, двигаясь шаг за шагом вперед по времени. Более точно, если обозначить значение приближенного решения Рис. 7.4. Конечно-разностное решение уравнения ие = и„„ при ху =уЬх и г„, = тЬг через и~, то конечно-разностным аналогом(7,2.1) 1 является уравнение и,""' — и. с — (и~ — 2и~+ и~ ), дг (Ьх)а 1+ ' (7.2.4) и.~ + а = и ™.
+ и(и.~ — 2и ~ + и ~ ), у = 1,..., п, 1 1+1- 1 1а (7.2.5) где д =сЬ1/(Ьх) . (7.2.6) Граничные условия (7.2.3) определяют значения ие =а, и юо и+а т = О, 1, ... , а из начального условия (7.2.2) мы имеем и =у(ху), у' = 1,...„л, Теперь видно, что формулы (7.2.5) дают нам правило, позволяющее находить приближенное решение шаг за шагом по времени: сначала мы определяем все значения и'.(у = 1,...,л), затем все значения и~(у = 1,..., л) и т.д. На рис.
7.4 изображено полученное таким способом решение при с= 1, д(х)= ашях, а=13=0, Ьх =0,1 и Ьг=0005. Какова же точность вычисленного по формулам (7.25) приближенного решения? Хотя строгий ответ на этот вопрос представляет сложную проблему, выходящую за рамки книги, мы попытаемся получить некоторое представление о точности, рассмотрев два аспекта анализа ошибок.
Пусть и(1, х) — точное решение уравнения (7.2.1) с начальным условием (7.2.2) и граничными условиями (7.2.3). Если подставить это точное решение в разностное уравнение (7.2.4), то оно удовлетворится не полностью, а с некоторой погрешностью, называемой локальной ошибкой 222 дискретизации (или локальной ошибкой усечения) . Таким образом, локальная ошибка дискретизации в точке (1, х) есть и(1+ Ы, х) — и(1, х) е Ьг с [и(1, х + Ьх) — 2и(1, х) + и(1, х — Ьх)] . (7.2.7) (Ьх)~ Отметим, что локальная ошибка дискретизации введена точно так же, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, и обладает аналогичными свойствами.
Предположим, например, что нам известны значения точного решения и(г„х) при некотором 1 и всех х е [О, 1] и мы хотим использовать (7.2.4) для получения приближенного решения в момент х 1+,Ы. Если обозначить это приближенное решение через и(1 + Ьг„х), то по определению й(1+ Ы, х) — и(1, х) с Π— —, [и(1, х + Ьх) — 2и(1, х)+и(1, х — Ьх)]. Ь1 (Ьх)™ Вычитая это равенство из (7.2.7), мы получаем и(1 + Ь 1, х) — и(1 + Ьг, х) = е Ы. (7.2.8) Таким образом, ошибка, допускаемая на одном шаге по времени по разностной схеме (7.2.4), равна локальной ошибке дискретизации, умноженной на Ь1.
Величину е в (7.2.7) легко оценить через Ь1 и Ьх. Действительно, если рассмотреть и как функцию только от 1, считая х фиксированным, то из разложения Тейлора и(1 + Ь1, х) =и(1, х)+и,(1, х)Ь1+0[(Ь1) ] мы имеем и(1+ Ь1, х) — и(1, х) — и,(1, х) + 0(Ь 1) . Действуя совершенно аналогично тому, как мы поступали при выводе (3.2.8), можно получить и(1, х + с~х) — 2и(1, х) + и(1, х — Ьх) — и„,(1,х)+ОИЬх) ].
(Ьх)' Если теперь подставить два последних выражения в (7.2.7) и воспользоваться тем, что и, = си„„(так как и — точное решение дифференциального уравнения), то мы получим е = 0(Ь1) + 0 [(Ьх) ] . (7.2.9) Тот факт, что в выражение для локальной ошибки дискретизации Ь1входит в первой степени, а Ьх — во второй степени, обычно формулируют в виде утверждения, что конечно-разностный метод (7.2.4) имеет первый порядок точности по времени и второй порядок точности по пространственной переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
