Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 54
Текст из файла (страница 54)
223 Было бы очень соблазнительно заключить из (7.2.8) и (7,2.9), что ошибка дискретизации приближенного решения и,полученного по формулам (7.2.5), стремится к нулю при стремлении к йулю Ы и Ьх. К сожалению, такой вывод будет не обоснован, поскольку (7.2.8) дает нам ошибку приближенного решения только для одного шага по времени. Доказательство того, что ошибка дискретизации стремится к нулю на всем отрезке 10, Т1, достаточно сложное н в общем случае требует дополнительных данных о характере стремления к нулю Ь г и Ьх. Соотношение типа (7.2.9), или, в более общем случае, утверждение о том, что при Ь| -~0 и Ьх ~О~ локальная ошибка дискретизации стремится к нулю, является по существу необходимым условием стремления к нулю глобальной ошибки дискретизации и называется условием согласованности раэностной схемы. То, что нз согласованности разностного метода не обязательно следует сходимость приближенного решения к точному, связано с проблемой устойчивости раэностных схем.
Некоторые аспекты этой проблемы мы сейчас обсудим на примере разностной схемы (7.2.5) . В предыдущем разделе мы с помощью метода разделения переменных и рядов Фурье нашли решение дифференциального уравнения и, =си„. Действуя совершенно аналогично, мы можем получить точное решение разностного уравнения (7.2.5), удовлетворяющее граничным и начальным условиям ие =и +1=0* т=1 2 (7.2.10) и~ — задано, у' = 1,...,и, Предположим, что решение и~ может быть представлено в виде и~ =с„,иу, ' у =1,...,и, и =0,1,...
(7.2,1 1) Эта формула дает пример разделения переменных для разностных уравнений. Подставляя (7.2.11) в (7.2.5) и группируя члены, получаем о„, + 1 — о,п и. +, — 2и~. + ю. у =1,...,п, т=0,1,... Ф~т МРу (7,2.12) о,п+1 — и,„= — Хдц„, т =О, 1,..., и~1 — 2ю +юу 1= — Ъи;, !=1,...,п, (7.2.13) где иэ граничных условий (7.2.10) имеем юе = н'„+ 1 = О. Уравнения (7.2.13) представляют собой задачу на собственные значения для трехдиагональной матрицы 2 — 1 — 1 2 (7.2,14) 2 — 1 — 1 2 224 Так как в этом равенстве левая часть не зависит от у, а правая — от т, то обе части должны равняться некоторой константе, скажем — Х.
Таким образом, (чтобы матрица имела именно такой вид, мы взяли константу Х со знаком "минус") . В разделе 3.5 мь1 показали (см, (3,5.26) ), что эта матрица имеет собственные значения уса Х» =2 — 2соа —, и+1 (7.2.15) Ус= 1,...,и, и соответствующие собственные векторы ю» = 1а1п(йяЬх), яп(2усяЬх),...,а1п(лусяЬх)1, й = 1,..., п, где Ьх= 1/(л+ 1). Таким образом, при каждом Х = Х» значения и~у = Яп(УУсЯЬх), У' = О, 1, ..., и + 1„ (7.2,16) удовлетворяют (7.2 13). В то же время очевидно, что (7.2.12) при любом Х имеет решение Ъ = (1 — Хус)м™се, и = О, 1, ..., так что соотношения иу = Х а»(1 — Х»и) я'п(у7сяУ1х), (7.2.17) т=0,1,..., у=0,1,...,л+1, есть решение (7.2.5) при любых значениях констант а», Если и» вычислить по формулам и и» = Х я(ху)а1п(УсяУЬх), Ус=1, ...,п, у=1 (7.2.18) то решение и будет удовлетворять начальному условию иу = у(ху), у = 1, ...,и.
(7.2.19) Давайте теперь посмотрим на представление (7,2.17) с другой стороны. Как мы видели в предыдущем разделе, уравнение иг = си„„с граничными условиями и(у, 0) = и(у, 1) = 0 является математической моделью задачи о распределении температуры в тонком изолированном стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре, Так как источники тепла отсутствуют, то мы ожидаем, что температура всех точек стержня будет стремиться к нулю, т.е. что и (с, х) -+О при с -+ . Как уже упоминалось в предыдущем разделе, к этому выводу можно прийти чисто математическим путем, если рассмотреть представление решения в виде разложений (7.1,23) или „(7.1.25) и учесть, что все экспоненциальные множители стремятся к нулю. 15. Дж.
Ортега 225 ч~у =(1 — Х»ус) Яп(уусяЬх), л1 = О, 1, ..., у = О, 1... л + 1, при каждом Ус определяют решение (7,2.5), Как и в случае дифференциаль- ных уравнений, линейная комбинация этих решений также является реше. пнем. Следовательно, Т в б я и ц а 7.1. Неустойвевое поведевве 0,4 о,з 0,2 0,1 С/х 0,81 0,49 0,29 0,18 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 0,04 -0,77 18,7 0,95 0,57 0,35 0,21 0,13 0,08 0,05 0,03 0,02 -0,14 3,20 -62,0 0,7 0,9 о,в 0,6 о,в й/х Поэтому естественно потребовать, чтобы и конечно-разностные аппроксимации и~~ стремились к нулю при т -+ .
Из (7.2.17) видно, что при произвольных начальных условиях это будет иметь место в том и только том случае, если (7.2.20) !1 — д7~ь~ < 1, Так как д н все Х1, положительны, (7,2.20) будет выполняться в том и только том случае, если -(1 дЛ„) <1, или если 2 1' хи '1 / я д < пап — = ~1 — сов — ( = ~1+ савв "1/ п+1) (7.2.21) 226 0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 0,40 0,44 0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 0,40 0,44 0,31 0,19 0,11 0,07 0,04 0,026 0,016 0,009 0,006 0,004 -0,007 0,537 1,0 0,61 0,37 0,23 0,14 0,08 0,05 0,03 -0,01 0,53 — 9,13 152,9 0,59 0,36 0,22 0,13 0,08 0,05 0,03 0,02 0,01 0,005 0,12 — 3,97 0,95 0,58 0,35 0,21 0,13 0,08 0,05 0,02 0,09 — 1,22 19,0 -286,9 0,81 0,49 0,29 0,18 0,11 0,07 0,04 0,03 -0,13 2,09 -29,3 409 0,59 0,36 0,22 0,13 0,08 0,05 0,03 0,004 0,20 — 2,43 32,2 -428 0,31 0,19 0,11 0,07 0,04 0,03 0,01 0,02 -0,13 1,70 — 21,6 279 Мы здесь использовали то, что наибольшим из 1ь» является 1ь„.
Так как р = сЬт/(Ьх)1, из (7.2.21) получаем Ьг < (Ьх)~ с 1+соа— (7.2.22) из которого (7.2.22) всегда следует, Условие (7.2.23) называют условием устойчивости разностной схемы (7.2.5) . Мы пришли к этому условию, рассмотрев поведение и~ при гл ~ при фиксированных Ьт и Ьх. Но это 7 условие относится также и к вопросу о стремлении к нулю ошибки дискретизации при стремлении к нулю Ы и Ьх. На самомделе, хотя доказательство этого факта выходит за рамки настоящей книги, можно показать, что если Ь| и Ьх будут стремиться к нулю так, что будет выполняться (7.2.23), то соответствующие приближенные решения будут сходиться к точному, Это — частный случай более общего принципа, известного как теорема эквивалентности Лакса, который для весьма широкого класса дифференциальных уравнений н согласованных раэностных схем утверждает, что глобальная ошибка дискретизации будет стремиться к нулю в том и только том случае, если используемый разностный метод устойчив, При уменьшении шага ло пространству Ьх условие (7.2.23) налагает все более жесткие ограничения на величину шага по времени (см.
табл, 7,2, Таблица 7,2 Максимум шагов по времени дли заданного ох и с = 1 Ьх ы Ьх йг 0,5 10 ' 0,01 0,5 1О и 0,001 0,5 10"' 0,1 где с = 1), Это может привести к тому, что нам придется двигаться по времени со значительно меньшим шагом, чем это обусловлено зависимостью от времени решения самого дифференциального уравнения. Хотя проведен ный нами анализ был ограничен простейшим дифференциальным уравне нием и простейшей разностной схемой, требование малости шага по време ни представляет собой общую проблему, возникающую при решении пара- 15* 227 Условие (7.2.22) дает ограничение на соотношение шагов Ьт и Ьх.
Если это условие не будет выполнено, то в общем случае полученное по разностной схеме (7.2.5) приближенное решение и будет расходиться при т — и, как легко видеть, будет все хуже и хуже аппроксимировать стремящееся к нулю решение дифференциального уравнения. В табл. 7.1 приведены данные. которые демонстрируют возникновение неустойчивости на примере той же самой задачи, которая представлена на рис, 7.4, но при шагах Ьх = 0,1 и Ь| = 0,04, при которых условие (7.2.22) не выполняется. Обратите внимание на то, что неустойчивость начинает проявляться при г =' 0,32 и затем стремительно нарастает. Мы можс м заменить (7.2.22) несколько более сильным условием Ьт < (Ьх)~ Я2с), (7.2.23) (7.2.24) О < х < 1, г > О, с ихх с начальными и граничными условиями и(0, х) = 1'(х), ис(0, х) = я(х), и (г, 0) = а, и(т, 1) = 8.
(7.2.25) Как мы видели в предыдущем разделе, задача (7.2.24) — (7,2,25) является математической моделью колеблющейся струны. Вероятно, самой простой разностной схемой для (7.2.24) будет т+1 т юл — т иу — 2и~ + ит с , (и~~~, — 2и,"'+и~~,). (7.2.26) (Ь г)2 (Ьх)2 +1 Чтобы выписать эту схему, мы дпя аппроксимации и„„и ии воспользова- лись той же обычной формулой центральных разностей„которую мы испольэовали дпя аппроксимации и„„в (7.2,4) . Обратите внимание на то, что схема (7.2,26) связывает теперь значения на трех уровнях времени, и 123 т — 1 чтобы перейти на уровень ж + 1„необходимо знать как и~, так и и .
Хотя, в противоположность методу (7.2.5) для уравнения и, = си„„, нам т — 1 приходится вьщелять дополнительную память для хране~птя и, все это является естественным следствием того, что дифференциальное уравнение содержит вторую производную по времени. Чтобы приступить к вычислео ниям, нам необходимо задать значения и~ и и~, которые можно получить иэ начальных условий (7.2.25): и~ = ~'(х ), и~ = ~(х~)+Ь|фх~), у=1,...,п. (7.2.27) Вторая формула здесь возникла в результате аппроксимации начального ус- ловия и,(0, х) = 8(х) разностиым отношением [и(Ь|, х) — и(0, х) '1(Ы = = я(х) . Из граничных условий мы имеем и =а, и™+, =Р, к=0,1,... (7.2.28) Таким образом, значения приближенного решения на (т+ 1).м временном слое можно найти по формуле и~~ = 2 и~~ — и~~ + д(и~~ — 2 и~~ + и~~ ~ ), (7.2.29) где и = с(Ьг) /(Ьх)'.
Легко показать, что локальная ошибка дискретизации схемы (7.2.26) есть 01(Ьг) ~ + (Ьх) ~~, т,е, эта раэностная схема имеет второй порядок точности как по пространственной переменной, так и по времени (упражнение 7,2,4), Дпя анализа устойчивости мы можем опять воспользоваться 22В болических и подобных им уравнений с помощью явных конечно-разностных методов, Это же требование является основным побудительным мотивом дпя использования так называемых неявных методов, которые будут рассматриваться в следующем разделе, Мы теперь перейдем к гиперболическим уравнениям и рассмотрим волновое уравнение методом разделения переменных, предполагая, что значения а и Р в граничных условиях равны нулю.
Пусть и~ = ц„,и7, Подставляя зто представление в (7.2.26), получаем от+1 — 2ищ «-сд, т = — Лдищ, т = 1,2,..., (7,2.30) и~~+т — 2и~~+игу т = — Ли7, у = 1,...,п. (7.2.31) Уравнения (7.2.31) совпадают с (7.2.13), так что их решения определяются выражениями (7.2.15)-(7,2,16), Уравнения (7,2,30) внешне имеют ту же форму, что и (7.2.31), но, по существу, представляют собой разностный аналог задачи Коши, где значения па и и, считаются заданными. В разделе 2.5 мы показали (см. (2,5,11) — (2,5.14)), что решение (7,2.30) записывается в виде ц„=7~Л, +7 Л™п, т =0,1,..., где и, — корни характеристического уравнения г~~+ (Лд -2) л+1 = 0, т.е, л = — (2 — Лд + Л',и' — 4Лд), 1 а коэффициенты у т можно определить по заданным начальным условиям с е и и ~ .
Таким образом, решение (7.2.26) может быть представлено в виде а и = 2: и„(7„,л„+ 7„зл™, )ии01~л~х), (7.2.32) В=1 где индекс Й указывает, что соответствующие 7 и ц вычисляются при Л = Ль, Чтобы значения и~ оставались ограниченными при произвольных аь и любых начальных условиях, необходимо и достаточно, чтобы 1л„, ~ ~1, Как легко проверить, если 1 (7.2.33) Лир — 4<0, то ~ л, ) =1, а если Лад — 4) О, то л„< — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
