Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Сравните ваши результаты с результатами, полученными в упражнении 6,4.1. Глава 7 ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 7.1. Уравнения в частных производных В предьщущих главах мы рассматривали обыкновенные дифференциальные уравнения, т.е. уравнения с одной независимой переменной. Эта независимая переменная была либо временем, как в случае задачи о траектории или модели хищник — жертва гл. 2, либо пространственной переменной, как в задаче из гл. 3.
Мы теперь перейдем к изучению вопросов численного решения дифференциальных уравнений с двумя и более независимыми переменными — дифференциальных уравнений в частных производных. В этой главе двумя независимыми переменными будут время и одна пространственная переменная, а в следующей главе мы обсудим задачи с более чем одной пространственной переменной. В качестве примеров мы будем рассматривать уравнения и, =си„,, и„= си,,, известные как соответственно уравнение теплопроводности (нли уравнение диффузии) и волновое уравнение. Уравнение теплопроводности (7.1.1) является прототипом параболического уравнения, а уравнение (7.1.2) служит классическим примером гиперболического уравнения. Третий стандартный тип уравнений в частных производных составляют эллиптические уравнения.
Простейший пример этого типа дает уравнение Лапласа (или уравнение потенциала) и„„+и, =О, (7.1.3) с которым мы будем иметь дело в гл. 8. Рис. 7.1 Мы сначала кратко покажем, как уравнение (7.!.1) возникает в качестве математической модели распространения тепла. Давайте рассмотрим тонкий стержень, вытянутый вдоль оси х, как показано на рис. 7.1, Мы предполагаем, что стержень полностью теплоизолирован, за исключением, может быль, концов, и поток тепла может распространяться только в направлении оси х. Пусть и(г, х) — температура стержня (в кельвинах) в точке х в момент времени Г и а — площадь поперечного сечения стержня. Из элементарной физики известно, что количество тепла, которое проте- 215 кает в единицу времени через сечение, перпендикулярное оси стержня, есть — Ааи„, где к > 0 — коэффициент теплопроводности.
Таким образом, если градиент температуры и„в данном сечении отрицателен, т.е. температура слева выше, чем справа, то в полном соответствии с интуитивными представлениями тепло через это сечение будет 'течь слева направо, Следовательно, если мы рассмотрим элемент стержня длины Ьх, то в единицу времени в этот элемент через сечение х втекает количество тепла, равное ( — Йаи„)!„, и вытекает через сечение х+ Ьх количество тепла, равное (-Йаи„) !„+д„, т.е. количество тепла в элементе изменяется на ( — Ваи.,)! — ( — ]чаи.,)! +д . (7.1.4) С другой стороны, из элементарной физики также известно, что количество тепла, которым обладает элемент, пропорционально массе элемента и его температуре; более точно, оно равно ЫЬхри, где з — удельная теплоемкость материала, а Р— его плотность (масса в единице объема).
Следовательно, производная по времени от количества тепла в элементе равна (7.1.4), т.е. заЬхри,= Дсаи„)!„+д„— (исаи„)!„. Переходя здесь к пределу при Ьх-+О, получаем 1 и = — (Уси„)„. зР (7.1.5) где а и Р— заданные константы, Соотношения (7.1.6) являются гранич- ными условиями по пространственной переменной х.
В качестве началь- ного условия мы используем заданное начальное распределение тем- пературы и(О,х)=а(х), О< х< 1. (7.1.7) Таким образом, приходим к следующей физической формулировке задачи. Имеется стержень, концы которого поддерживаются при фиксированных температурах а и Д. Считая начальное распределение температуры вдоль стержня известным, требуется найти температуру любой точки стержня х в произвольный момент времени г > О.
Математической ги Если 1 не зависит от х, то это уравнение сводится к (7.1.1), где с = й/(яр). Следовательно, производная от температуры по времени в таком тонком стержне пропорциональна второй производной от температуры по пространственной переменной. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, для вьщеления решения .уравнения в частных производных необходимо задать некоторые начальные и(или) граничные условия. Давайте посмотрим, какие условия мы можем наложить на решение уравнения теплопроводности в задаче о стержне. Пусть в начальный момент времени с = 0 нам известно распределение а(х) температуры в стержне; мы здесь считаем, что длина стержня равна 1, причем его левый конец находится в точке х=О.
Предположим также, что концы стержня поддерживаются при постоянной температуре, т.е. и(с,О)=а, и(с,1)=р, моделъю этой проблемы служит дифференциальное уравнение в частньсх производных и,=сия„, с=)с/(юр), 0 = х< 1, (7.1,8) с граничными условиями (7.1.6) и начапъным условием (7.1.7) . Некоторые вариации этой постановки задачи можно моделировать, изменяя граничные условия или само уравнение. Если, например, правый конец стержня будет, подобно его боковой поверхности, абсолютно Рис. 7.2 Колеблющаяся струна изолирован, то через этот конец тепло терятъся не будет, поток обратится в нуль и граничные условия (7.1.6) примут вид и (г, 0) = а, и„(г, 1) = О.
(7,1.9) Другой вариант постановки связан с отказом от молчаливого предположения об однородности стержня. Если, например, стержень сделан из сплава, состав которого является медленно изменяющейся функцией х, то плотность, теплопроводность и теплоемкость стержня тоже, вообще говоря, будут функциями от х. Следовательно, задача теперь будет описываться уравнением (7.1.5), где р= р(х), я =з(х) и 7с =/с(х). Это уже уравнение не с постоянными, а с переменными коэффициентами. Идя еще дальше, можно учесть, что в общем случае коэффициент теплопроводности зависит не только от материала, но и от температуры. Во многих задачах эта зависимость настолько слаба, что ею можно пренебречь. Но бывают ситуации, когда этого сделать нельзя, т.е. приходится считать, что 1с = 1с (и), и уравнение (7,1.5) становится нелинейным. Отметим, что уравнение теплопроводности служит математической моделью и для целого ряда других физических явлений, как, например, диффузия газа.
Давайте теперь обратимся к волновому уравнению (7.1.2): и,с = си Это уравнение, а также его обобщения, моделирует широкий круг вопросов, связанных с распространением волн, например, задачи акустики. Мы сейчас кратко обсудим одну классическую задачу, которая моделируется этим уравнением, — задачу о колебании струны (это может быть, например, скрипичная струна) . Рассмотрим упругую струну, которая натянута вдоль оси хи закреплена в точках х= Ои х=А (рис. 7.2). Если струну оттянуть и отпустить, то она начнет колебаться, как показано на рисунке.
Будем считать струну "идеальной", т.е. предположим, что струна абсолютно гибкая и что натяжение Т постоянно по длине струны, не зависит ' от г и велико по сравнению с весом струны. Обозначим отклонение струны в точке х в момент г через и(г, х) и будем предполагать, что изучаемъ~е нами отклонения и малы по сравнению с длиной струны Е.
Кроме того, предположим, что в любой точке тангенс угла наклона изогнутой струны много меньше единицы и что горизонтальное смещение точек струнъ~ 217 пренебрежимо мало по сравнению с вертикальным (вертикальное смещение иногда называют поперечным). Мы также предполагаем, что струна колеблется в одной плоскости. На основании второго закона Ньютона — сила равна произведению массы на ускорение — можно с помощью довольно элементарных рассуждений показать, что отклонение струны удовлетворяет уравнению и»» = с и„„, с = Т»т, (7.1.10) где пг — удельная масса материала (масса единицы длины). Чтобы полностью сформулировать задачу, мы еще должны задать необходимые начальные и граничные условия.
Так как концы струны закреплены в точках х= 0 и х = Л, граничные условия имеют вид и(», 0) =О, и(»,Л)=0. (7.1.11) В качестве начальных условий мы должны задать начальное отклонение и начальную скорость точек струны; в данном случае и(О,х) =»(х), и,(О,х) =О. т.е, в виде произведения функции, которая зависит только от», на функцию, зависящую только от х; отсюда происходит термин разделение переменных. Подставляя (7.1.13) в (7.1.1), мы получаем и (») и (х) = с о(») и (х), (7.1.14) или, считая, что значения о и и отличны от нуля, о (») и (х) — =с о (») ю (х) (7.1.15) Так как левая часть (7.1.15) есть функция только от», а правая часть функция только от х, заключаем, что обе части должны равняться некоторой константе, скажем р.
Тогда и (») = Р и(»), с ю (х) = ди (х) . (7.1.16) Общее решение первого уравнения (7.1.16) имеет вид о(») = с ен» (7.1.17) 2!8 Таким образом„дифференциальное уравнение (7.1.10), граничные условия (7.1.11) и начальные условия (7.1.12) полностью определяют математическую модель задачи. Цель этой книги, разумеется, состоит в изучении методов численного решения задач. Тем не менее здесь уместно напомнить один классический способ получения аналитического представления решений уравнений (7.1,1) и (7.1.2) с помощью рядов Фурье. Хотя соответствующая техника применима только при весьма ограничительных предположениях, уравнение теплопроводности и волновое уравнение вместе с рассмотренными нами типами начальных и граничных условий позволяют ее использовап.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
