Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Следовательно, (7.233) является необходимым и достаточным условием устойчивости. Так как собственные значения Ль заключены в интервале 0 < Ль < 4, то для выполнения (7,2.33) достаточно, чтобы д < 1, или Ьг < Ьх/~/с. (7.2.34) Это условие является, по существу, и необходимым, Дело в том, что Л„-» 4 при л-', так чтолюбое,болееслабое,чем (7.2.34), условие приведет при достаточно больших п к нарушению условия (7.2,33) . Условие устойчиво.
сти (7,2,34) налагает на Ьг гораздо менее жесткие ограничения, чем условие (7.2.23) в случае уравнения теплопроводности. Действительно, из (7,2.34) видно, что Ы следует уменьшать пропорционально Лх, а не квадрату Ьх, как в случае (7.2.23), Хотя мы в этом разделе имели дело только с простыми уравнениями, те же самые принципы построения конечно-разностных методов применимы и к более общим задачам, включающим как одно уравнение, так и системы 229 уравнений, Во всех этих случаях необходимо помнить о возможности возникновения неустойчивости, хотя такой простой анализ, который был проведен в этом разделе, для большинства случаев окажется невозможен, Дополнительные замечания и ссылки 7.2 Мы только слегка затронули конечно-разностиые методы для параболических и гиперболических уравнений.
В частности, мы рассмотрели только методы первого н второго порядков точности, хотя имеется множество методов более высокого порш~- ка. Более существенно то, что мы ограничились явными методами, а большинство аффективных методов для параболических уравнений являются неявными, Неявные методы будут изложены в следующем разделе. Обсуждение большого круга различных методов можно найти в книгах (46, 89, 107]. В работах [26, 65] разбираются многие методы и проводится строгий анализ ошибки дискретизации и критериев устойчивости.
На метод разделения переменных, приводяшнй к (7.2.17), можно взглянуть н с теоретико-матричных позиций. В матричной записи разностный метод (72.5) имеет вид и и — иАи т+1 т т т =0,1,..., гдеА-матрица (7.2.14), а ит — вектор с координатами ит,' .„, ит. Матрица Н = Х вЂ” и А имеет собственные значения 1 — и х«и собственные векторы юк, где Хк и жк есть соответственно собственные значения и собственные векторы матрицы А. Следовательно, если л и' = 2 с«и« к=1 есть разложение и~ по собственным векторам матрицы А, то и и =Ни =,. =Н и = 2' с«(1 — и«К) ю«, т т — 1 т о т «=1 чго совпадает с (7,2.17). УПРАЖНЕНИН 7.2 7,2.1.
Примените разностный метод (7,2.5) ддя аппроксимации решения уравнения иг = и„„с граничными условиями и(г, О) = О, и(~, 1) = 1 и начальным условием и(0, х) = в1п(чх) + х. Используйте разные значения Ы и ~х н проанализируйте получающиеся решения, При каких соотношениях ьг и пх ваше приближенное решение оказывается устойчивым7 7,2,2, Непосредственной подстановкой убедитесь, что (7,2.17) является решением (7.2.5). Проверьте также, что если коэффициенты ак вычисленъ~ по формулам (7.2.18), то удовлетворяется уровне (7,2.19), 7,2.3.
Повторите вычисления и убедитесь в верности данных, приведенных в табл, 7.1, 7.2,4. Используйте примененный в зтом разделе к уравнению теплопроводиостн подход для доказательства того, что метод (7.2.26) для волнового уравнения имеет второй порядок точности как по времени, так и по пространству. 7.2.5. Составьте программу для решения волнового уравнения (7.2,24) с началь. ными и граничными условиями (7.2,25) по ревностной схеме (7.2,26) . Используйте вашу программу для случая с = 1, у (х) = в1п(ех) и различных значений Ьг и дх. Убедитесь, в частности, что при выполнении (72,34) счет идет устойчиво. 230 7.3. Неявные методы Рассмотренный в предыдущем разделе конечно-разностный метод (7.2.5) называется явиым, потому что значения и~ на следующем временном т+1 слое вычисляются по явным формулам через значения на предыдущем слое.
В противоположность этому давайте рассмотрим для уравнения тепло- проводности иг = си„„, 0<х<1, т > О, (7.3.1) разно стную схему т+1 т — с ! / т+1 т+1 + ог+1 (~1 х)г г (.~~+, — 2и1 +и7 1 ), 7=1,...,п. (7.3.2) (7.3.3) /=1,...,п, или, в матрично-векторной форме, 1+2д 1+ 2д — и 1+2д т+1 и1 т+1 иг и,~ +да (7.3.4) и г т и„ и и По форме эта схема подобна (7.2,4), но здесь имеется существенное отличие, заключающееся в том, что значения иу в правой части теперь вычисляются на (т + 1) -м временном слое, а не на т-м слое, Если нам, зная значения и~ (у = 1, „., п), нужно вычислить и~ ™(у = 1, ..., и), то обнару.
жим, что значения всех переменных иу в правой части (7.3.2) нам неизвестны. Следовательно, мы должньг рассматривать (7.3.2) как систему уравнений, определяющую значения и~~ (/ = 1, ..., п). В этом и состоит одно из основных различий между явными и неявными методами: в явных методах мы имеем явные формулы, такие как (7.2.5), позволяющие выразить ~+1 и~ через значения и7 в предыдущие моменты времени, а в неявных методах для перехода на следующий временной слой нам приходится решать систему уравнений, Давайте проанализируем систему (7,3.2) более детально.
Если, как в предыдущем разделе, положить д = сЬ|~(йх), то (7.3.2) можно переписать как При выводе (7,3.4) мы использовали те же самые граничные условия и(г,О) = а, и(г,1) = Р, (7.3.5) что и в предьгдушем разделе, так что, как и раньше, и = а и и„+, = Р при lс а 1г = О, 1, ...; этн значения вошли в правые части первого и последнего уравнений (7.3.4) . Начальное условие мы считаем заданным в виде и(О,х) = ~(х), О К х < 1, (7.3.ь) л и'" = Х и„'у„'. "яп(/сяуЬх). ь =1 (7.3.7) Если (7.3.8) то (7.3.7) тождественно удовлетворяет разностным уравнениям (7,3.3) при любых значениях коэффициентов аь .
Если вычислить ау, по формулам а~, = Х 7 (х ) 51п (/сЯIЬх), 1=1 (7.3.9) то значения и, будут удовлетворять начальным условиям. Доказательство о этих утверждений вынесено в упражнение 7.3.2. Давайте теперь вспомним, что при обсуждении в предыдущем разделе мы пришли к выводу, что приближенное решение будет отражать поведение решения дифференциального уравнения только в том случае, если и';" -+ О при т -+ . Из (7.3.7) видно, что в общем случае это будет 232 так что и~~ = Ях.
),.у = 1, ..., л. Неявный метод (7.3.4) заключается теперь в определении и, по и,. с помощью решения на каждом шаге по времени системы линейных уравнений (7.3.4). Матрица системы (7.3.4) трехдиагональна и, так как с > О, а следовательно, н д ) О, является диагонально доминирующей (см.
раздел 3.2). Как мы видели в разделе 3.4, такую систему уравнений можно эффективно решить методом гауссова исключения без какого-либо упорядочивания. В данном конкретном случае мы можем вычислить множители А и Еу только один раз и использовать их на всех последующих шагах, но в задачах более общего вида зто может оказаться невозможным, Хотя система (7.3.4) может быть решена достаточно эффективно, этот метод требует больших затрат на один шаг ло времени, чем явный метод (7.2.5) .
Однако в. качестве компенсации за эти дополнительные затраты мы получаем существенный выигрыш в устойчивости метода, что во многих случаях позволяет нам использовать значительно больший шаг по времени, чем в явном методе, и тем самым сильно сократить необходимое машинное время. Мы сейчас кратко наметим схему анализа устойчивости неявного метода, следуя образцу предыдущего раздела.
Предположим, как и раньше, что а = р = О. Тогда разложению (7.2.17) соответствует представление иметь место тогда и только тогда, когда ! 7» ! < 1, 7с = 1, ..., и. Но, так как р >О, из (7.3.8) мы получаем (7.3.10) 0<7„<1, 7с=1,...,п, (7.3.11) так что (7.3.10) действительно выполняется. Наиболее существенным является то, что (7.3.11) выполняется при любом д > О. Так как д= сЬг((Ьх)~, отсюда следует, что (7З.11) выполняется при любом соотношении ЬГ и 4х. В таком случае говорят, что метод является безусловно устойчивым, понимая под этим устойчивость метода при любом отношении Ьг к Ьх. Тот факт, что метод (7.3.4) безусловно устойчив, отнюдь не означает, что мы будем получать хорошее приближенное решение при любом выборе Ь| и Ьх.
Как и всегда, они должны быть достаточно малыми, чтобы обеспечить малость ошибки дискретизации, Можно показать (см. упражнение 7.3.3), что метод (7.3.4), как и соответствующий явный метод(7.2.5), имеет первый порядок точности по времени и второй порядок точности по пространственной переменной, т. е. ошибку дискретизации можно представить в виде е(Ьг, Ьх) = О1(Ь|) + (Лх)' ~. Допустим, что а(Ьг, Ьх) = с, Ы+с~(Ьх)2. Тогда для соизмеримости вкладов в полную ошибку от дискретизации по времени и дискретизации по пространству мы должны потребовать, чтобы ~г = сэ(~х) т+1 т с~1г т+1 т+1 т+1 юп т ги и,'." ц~ — (и~+, — 2 и1 + и1 + и~+, — 2 и1 + и1, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
