Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Мы по-прежнему считаем, что узлы х~ расположены равномерно с шагом Ь. Тогда,1'г — = ~ (хт, у~) (1 = 7с, Й вЂ” 1, ..., 1с — Ж) есть приближения к ~(х, у(х)) в точках х»> х» 1, ..., х» к, и мы в качестве р возьмем интерполяционный полипом для набора данных (х;, г)) (1 = 7с, й — 1, ..., й — У) . Таким образом, р — полипом степени У, удовлетворяющий условиям р(х;) = 11 (1 = lс, й — 1, .... й — М). В принципе, можем проинтегрирова ь этот полипом явно, что ведет к следующему методу: х»+1 у»+, =у» + ) р(х)Их. (2.4.3) х» В простейшем случае, когда У = О, полипом р есть константа, равная 1», и (2.4.3) превращается в обычный метод Эйлера.

Если У= 1, то р есть линейная функция, проходящая через точки (х» „~» 1) и (х», Д,), т.е. (х — х») (х — х» 1) р(х) = — г"» г + л Ь Интегрируя этот полипом от х» до х»+ ~, получаем следующий метод: Ь у»+1 =у» + — (З㻠— ~» 1), (2.4.4) который является дву~хшаговым, поскольку использует информацию в двух точках х» и х» ~ . Аналогично, если М = 2, то р есть квадратичный й у»,+, =у» + — (23Д» — 16Д»» + 5г» э), (2.4.5) Если /Ч = 3, то интерполяционный полином является кубическим, а соот- ветствующий метод определяется формулой у»+» = у» + — 4 (55Ь» — 59У»» + 37Л- э — 9А- з ).

(2.4.6) Отметим, что метод (2.4.5) является трехшаговым, а (2.4.6) — четырех- шаговым. Формулы (2.4.4) — (2.4.6) известны как методы Адамса — Башфорта, Как мы увидим в дальнейшем, метод (2.4.4) имеет второй порядок точности, поэтому его называют методом Адамса — Башфорта второго порядка, Аналогично, методы (2.45) и (2.4.6) называют соответственно методами Адамса — Башфорта третьего и четвертого порядков. Мы, в принципе, могли бы продолжить этот процесс и, используя все большее число предыдущих точек, а следовательно, и интерполяционный полипом р более высокой степени, получить методы Адамса — Башфорта сколь угодно высокого порядка.

Прн этом с ростом Л» формулы становятся все более громоздкими, но принцип остается тем же. Многошаговые ь1етоды порождают проблему, которая не возникала при использовании одношаговых методов. Эта проблема становится понятной, если, например, рассмотреть метод Адамса' — Башфорта четвертого порядка (2.4.6). Нам задано начальное значение уе, но при А = О для счета по формуле (2.4.6) необходима информация в точках х», х э и х э, которая, естественно, отсутствует. Сложность заключается в том, что многошаговые методы в начале работы нуждаются в помощи, Мы не можем использовать (2,4.6) при»г < 3 или (2.4.5) при 1г < 2.

Обычный выход из положения состоит в использовании какого-либо одношагового метода того же порядка точности, например метода Рунге — Кутта, до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода.

Или же можно на первом шаге использовать одношаговый метод, на втором — двухшаговый и так далее, пока не будет получено достаточно стартовых значений. При этом, однако, существенно, чтобы эти стартовые значения были вычислены с той же степенью точности, с какой будет работать окончательный метод. Так как стартовые методы обычно имеют более низкий порядок, вначале приходится считать с меньшим шагом и использовать больше промежуточных точек.

Методы Адамса — Башфорта используют уже сосчитанные значения в точке х» и в предыдуших точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома мы можем использовать и точки х»+», х»+2 и т.д. Простейший случай при этом состоит в использовании точек х»+,, х», ..., хк»ч и построении интерполяционного полинома степени А»+ 1, удовлетворяющего условиям р(х») = т» (» = lс + 1, Ф, ..., /с-А»).

Прн этом возникает класс методов, известных как методы Адамса — Моу»»то»»а, Если У = О, то р— линейная функция, проходящая через точки (х», Д) и (х»~», »»+») ° и полипом, интерполирующий данные (х» 2, ~»-з) ° (х»-»~ Л~-») и ' (х»,,т»), а соответствующий метод имеет вид соответствующий метод Ь У» ' 2 (~"" '~") (2.4.7) является методом Адамса — Моуятона второго порядка.

Если Ф = 2, то р — кубический полипом, построенный по точкам (х»~„Д»+~), (х», т»), (х» 1, )» ~) и (х» з, Л» 2),исоответствующий метод й У»+' У»+ 24(91»+~ + 19~~ — 5~» 1 +~» з) (2.4.8) является методом Адамса — Моултона четвертого порядка. Заметим теперь, что в формулах (2.4.7) и (2.4.8) значение Д„1 неизвестно. Дело в том, что для вычиеления )'(х»+(, у»+1) =~~+1 нужно знать значение у»+1, которое само пока является неизвестным. Следовательно, методы Адамса — Моултона определяют у»+ ~ только неявно.

Так, например, соотношение (2.4.7) действительно является уравнением й У»+1 =У»+ 2 Шх»+1,У»+1)+Ы (2.4.9) у „"), =у» + — (55~), — 59~» 1 + 37~к з — 9~~, з), (р) (р) /"»+ =)'(х»+г, у»+ ), (2.4.10) 24Я, +)96 — 56 +Ь (Р) Обратите внимание, что в целом этот метод является явным. Сначала по формуле Адамса — Башфорта вычисляется значение у»+,, являющееся (И 1% прогнозом для у»„.

Затем у„„используется для вычисления прибли(р) женного значения )»,1, которое в свою очередь используется в формуле Адамса — Моултона. Таким образом, формула Адамса — Моултона "корректирует" приближение, даваемое формулой Адамса — Башфорта. Вернемся теперь к вопросу об ошибке дискретизации и, чтобы не загромождать изложение, рассмотрим подробно только метод Адамса — Башфорта(2.4.4). Аналогичноформуле(2.2.23) для одношаговых относительно неизвестного значения у»+1. То же самое справедливо и относительно (2.4.8).

В силу этого методы Адамса — Моултона называются неявными. В то же время методы Адамса — Башфорта называют явными, поскольку они для нахождения значения у»+1 не требуют решения никаких уравнений. На практике обычно не решают непосредственно уравнение (2.4.9), а используют совместно явную и неявную формулы, что приводит к методу прогноза и коррекции. Одним из широко используемых методов прогноза и коррекции является объединение методов Адамсачетвертого порядка (2.4.6) и (2.4.8): методов, определим локальную ошибку дискретизации в точке х как А(х, Ь) = — у(х+Ы вЂ” у(х) — —, [З~(х, у(х)) — 3'(х — Ь, у(х — Ь))]], 1/ Л(х, Ь) = — у(х + Ь) — у(х) — —., [Зу'(х) — у'(х — й)] ) = 1]' — 1у~( .) + ~~(:) «, яч( ) «.

~ (4)( 6 — — „[Зу'(х) — у'(х) «-уу"(х) — — "'( ) «- ~ у(4)( йз й4 5 й2 ( )+и (4)( ) й (4)( ) 12 24 ' 12 (2.4.12) где г ~ и г2 — промежуточные точки, входящие в остаточные члены формулы Тейлора. Предполагая теперь, что четвертая производная решения ограничена (а следовательно, ограничены и все младшие производные), видим, что локальная ошибка дискретизации удовлетворяет соотношению Х,(й) = шах ~А(х, Ь)! = 0(Ь'), (2.4.13) а<х<ь — ь которое показывает, что данный метод имеет второй порядок точности.

Мы могли бы определить локальную ошибку дискретизации отдельно для каждого упомянутого в этом разделе метода. Однако все эти методы представляют собой частные случаи линейных многошаговых методов и описываются общей формулой И7 ~и У~с+1 = ~ о(у~с+1 — (+и ~ ФА+1 — с ~ ~' = 1 )= 0 (2,й.14) где, как обычно, ~, =,г(х;, у,), т — некоторое фиксированное целое. Методы (2.4.14) называют линейными, потому что уь+1 является линейной комбинацией значений ут и г(.

Если Де = О, то формула (2.4.14) определяет явный метод. Если же Ре Ф О, то метод оказывается неявным. Во всех методах Адамса а, = 1 и аг =О (1 ) 1); в методах Адамса — Башфорта Ре = О; в методах Адамса — Моултона ~3е Ф О. Для общего линейного многошагового метода (2.4.14) определим локальную ошибку дискретизации в точке х как А(х, и) = — „[у(х+Ь) — Х а;у(х — (1 — 1)й)]— 1 54 (2.4.11) где у(х) — точное решение дифференциального уравнения.

Так как У у (х) = Х(х, у. (х) ), можем переписать (2.4.11) в терминах у и у ' и затем разложить у и у' в ряд Тейлора в окрестности точки х. В результате получим — Х Д(Ях, у(х — (1 — 1)Ь)) = (=О 1 н1 т = — [у(х+ Ь) — Х а1у(х — (1 — 1)й)1 — Х рту'(х — (1' — 1)Ь) Л 1=1 1=0 (2.4.15) и локальную ошибку дискретизации как Ь(Ь) = птах !А(х, Ь)1.

(2.4.16) а«х«Ь — И Для любого конкретного метода, т.е, для любых заданных значений т и констант а1 и 81, можно с помощью разложений Тейлора для функций у и у' в точке х вычислить локальную ошибку дискретизации. В частности, при соответствующих предположениях о дифференцируемости решения можно показать, что методы Адамса — Башфорта (2.4.5) н (2.4.6) имеют третий и четвертый порядки соответственно, в то время как методы Адамса — Моултона (2.4,7) и (2.4,8) имеют второй и четвертый порядки, В упражнении 2.4,6 предлагается провести доказательство этих утверждений.

После того как локальная ошибка дискретизации найдена, возникает задача оценки глобальной ошибки дискретизации, которая, как и в случае одношаговых методов, определяется выражением Е(л) = птах !у(хк) — ук.!. В общем случае зта задача является до- 1«К«К статочно трудной, но при соответствующих предположениях относительно функции,1 и решения у можно показать, что для всех методов этого раздела Е(л) = 0(Ь"), если Ь(й) = 0(11"). Метод та 120 100 10 0 20 40 У(г) 0 20 40 у'(1) Рис. 2.Л.

Характеристики

Список файлов книги