Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Давайте рассмотрим многошаговый метод уи+1 = уи-1 + 2Мп, (2.5.6) у(х) = е ". Предположим теперь, что мы изменили первое начальное условие на малую величину е, так что начальные условия примут вид у(0) = 1 + е, у'(0) = — 1. который напоминает метод Эйлера, но, как легко проверить (см. упражнение 2.5.3), имеет второй порядок точности. Применим теперь метоц (2.5.6) к задаче у' = — гу+1, у(о) = 1, точное решение которой имеет вид у(х) = 0,5е ~" + 0,5. (2.5.8.) Зто решение является устойчивым.
действительно, если заменить начальное условие нау (О) = 1 + е, то решение примет вид у(х) = (0,5 + е)е ~" + 0,5, и, следовательно, изменится только на ее ~ ". В применении к задаче (2.5.?) метод (2.5.6) определяется формулой (2.5.9) у„„=у„, + гц — гу„+1), у, =1, (2.5.12) уп+ ! =атун + ° ° +а!уч — е+ ! ° По аналогии с дифференциальными уравнениями попытаемся найти для уравнения (2.5.12) решения экспоненциального типа, только в этом случае в качестве экспоненты будем брать выражение уа = Л" с некоторой неизвестной постоянной Л. Можно видеть, что если Л удовлетворяет уравнению Л~ — а Л~ ' —...— а! =О, (2.5.13) которое представляет собой характеристическое уравнение цля (2.5.12), то у» = Л действительно является решением (2.5.12).
Если предположить, Ф что все т корней Л!,..., Л,„уравнения (25.13) различны, то последовательности Л !,..., Л,„образуют фундаментальную систему решений и ь ь общее решение уравнения (2.5.12) можно записать в виде уь= Х с Л~, й=О 1,..., г= ! (2.5.14) где в качестве уе берется начальное условие. Однако, поскольку метод (2.5.6) является многошаговым, чтобы начать счет, необходимо задать значение у!. В качествеу! возьмем значение точного решения (2.5.8) при х =й, т.е.
у, =05е ™ +05 (2.5.10) Поведение порождаемой формулой (2.5.9) последовательности (у„) можно сравнительно легко проанализировать. Чтобы проделать это, будем рассматривать (2.5.9) как разностное уравнение. Теория разностных уравнений имеет много параллелей с теорией дифференциальных уравнений, и мы кратко обрисуем основные элементы этой теории в случае линейных разностных уравнений порядка и! с постоянными коэффициентами. Такие уравнения имеют форму ун+ ! = а,„у„+... + а! у„,„+ ! + ае, и = т — 1, тп, т + 1,..., (2.5.11) где ае, а!,...,а — заданные постоянные. Однородная часть уравнения (2.5.11) имеет вид где с~ — произвольные постоянные. Если 1 — а„, — а,„т —... — ат Ф О, то, как легко проверить, частное реыение (2.5.11) выражается формулой Уь =ао/(1 — аг —... — а~).
(2.5.15) Следовательно, общее решение уравнения (2.5.11) есть сумма (2.5.14) и (2.5.15): »23 ао у» = Х сЛ~~+, й=01,... (2.5.16) 1 — а~ —... — а Как и в случае дифференциальных уравнений, произвольные постоянные в (2.5.16) определяются из дополнительных условий, накладываемых на решение. Так, если заданы начальные значения (2.5.17) Уо»ут»»у»22 — 1» то из (2.5.16) следуют условия т ао Х с;Л,.
+ (2.5.18) 1 — а2 —...— а,„ представляющие собой систему т линейных уравнений относительно и неизвестных с»,...,с,„, которую можно использовать для определения значений е». Применим зту теорию к разностному уравнению (2.5.9), которое перепишем следующим образом: уо+т = — 4ЬУ +ул-~ +26* уо =1» у) = 05е ~~+ 05. (2.5.19) =уь, 1=0,1,...,т — 1, Соответствующее характеристическое уравнение Лг +4ЬЛ вЂ” 1 = 0 имеет корни 2, = — 24»Д»44», 2, = — 24 — »»»1+44». (2.5.20) Разрешая тогда относительно с1 и сг условия (2.5.18), которые в этом случае принимают вид 1 1 с2 + сг + — =Уо = 1, с»Л1 + сгЛг + — =У, = 0,5е + 0,5, -241 находим 1 У» — — +и 1 2 С2 = — + 4 2»11 +4Й~ 1 у,— — +л 1 2 4 2~/~ » 44~ (2.5,21) Таким образом, мы для решения уравнения (2.5.19) получили представление 2„=4,4-24»~~»44 2" +44-24-,/~»44'2»»»1.
(21222 61 Хотя такое представление решения может показаться несколько громоздким, оно позволяет легко определить поведение у„лри л — о . Действительно, при любой фиксированной величине шага Л ) 0 очевидно, что О( — 24»ъ»Г+4Р(1, 24+»~~»4Ь~ >1. Следовательно, при п~' первый член в (2.5.22) стремится к нулю, а второй член, осциллнруя, стремится к бесконечности. Так как точное решение (2.5.8) задачи (2.5.7) стремится к О,5 прях -~, ясно„что погрешность приближенного решения(у„) стремится к бесконечности и метод (2.5.9) в применении к задаче (2.5.7) оказывается неустойчивым. Подчеркнем, что этот рост йогрешности никак не связан с ошибками округления, так как формула (2.5.22) является точным математическим представлением для у„, и если бы последовательность (2.5.19) вычислялась в точной арифметике, получаемые значения полностью бы совпали со значениями, даваемыми формулой (2.5.22) .
Приведенный пример ясно показывает, насколько важно, чтобы метод был в определенном смысле устойчивым. Наиболее фундаментальное определение устойчивости можно сформулировать в терминах общего метода (2.4.21): уд+ ! 2' !"!ун + ! — ! 1!Ф(Фл+ ! хл+ ! — т уп+ !» уп+ ! — гп)' (2.5.23) Метод (2.5.23) являетсяусгойчивым, если все нули Л; полинома р(Х) Л а!Л ... й~ (2.5.24) удовлетворяют условию ! Х; ! ~= 1 и любой нуль такой, что! Л; ! = 1, является простым. Если, в дополнение к этому, т — 1 нулей полинома (2.5.24) таковы, что 3 Х;! < 1, метод (2.5.23) является строго устойчивым.
Любой метод, имеющий по крайней мере первый порядок точности, РП должен удовлетворять условию Х а! = 1 и, следовательно, 1 должно быть г= 1 нулем соответствующего попииома (2.5.24). В этом случае для любого строго устойчивого метода полипом (2.5.24) будет иметь один нуль, равный 1, а все остачьные нули по абсолютной величине будут строго меньше, чем 1. Так как методы Рунге — Кутта являются одношаговыми, то для них р(Л) = Л вЂ” 1. Этот полипом не имеет никаких других нулей, кроме Л = 1, и, следовательно, методы Рунге — Кутта всегда строго устойчивы.
В случае т-шагового метода Адамса р(Л) = Х вЂ” Х"' ', так что остальные т — 1 нулей (2.5.24) равны нулю, н такие методы также строго устойчивы. Для метода (2.5.19) полипом (2.5.24) принимает вид р(Х) = Л~ — 1 и имеет два нуля: + 1 и — 1. Следовательно, этот метод устойчив, но не строго устойчив. Именно отсутствие строгой устойчивости и приводит к неустойчивому поведению последовательности(уь ), порождаемой формулой(2.5.19) . Это можно пояснить следующим образом. Разностное уравнение (2.5.19) имеет второй порядок (так как в него входят у„+ !, у„и у„,) и, следовательно, имеет два фундаментальных решения Х! и Л~, где Х! и Лэ — корни характеристического уравнения, определяемые формулами (2.5.20) .
Последовательность(уь), получаемая по методу (2.5.19), строится с целью аппроксимации решения дифференциального уравнения первого порядка (2.5.7), которое имеет одно фундаментальное решение. Это фундаментальное решение аппроксимируется последовательностью Х",; последовательность же Лэ~ является "паразитной" и должна быстро стремиться к нулю. (2.5.25) Точным решением этой задачи является функция 1) -1оох + 1 (2.5.26) Очевидно, что это решение устойчиво. Действительно, если мы заменим начальное условие науе + е, то решение изменится на ее '~~". Метод Эйле- ра в применении к задаче (2.5.25) принимает вид у„, =у„+Ь( — 100у„+ 100) =(1 — 100Ь)у„+ 1006, (2.5.27) и точное решение этого разностного уравнения первого порядка выражает- ся формулой у„= (уе — 1)(1 — 1006)" + 1.
(2.5.28) Предположим для конкретности, что уе = 2. Тогда точные решения (2.5.26) и (2.5.28) примут вид у(х) е — 100х + 1 (2.5.29) (2.5.30) у„= (1 — 1006)" + 1. Функция у(х) очень быстро убывает от уе = 2 до своего предельного значения 1. Так, например, у(0,1) = 1+ 5 10 5. Поэтому на начальном этапе мы, естественно, ожидаем, что для точного вычисления решения потребуется считать с малым шагом Ь . Однако после, скажем, х = 0,1 решение изменяется медленно и, по существу, равно 1, так что интуитивно кажется, Однако ~ Лт ~ > 1 при любому > Он,следовательно, Л~2 стремится к бесконечности, а не к нулю; именно это и вызывает неустойчивость. Заметим теперь, что при Ь -+0 значения Л1 и Лэ стремятся к нулям полинома устойчивости (2.5.24) .
Действительно, этот полипом является предельным при л О для характеристического полинома Ла + 46 Л вЂ” 1 уравнения (25.19) . Понятие строгой устойчивости теперь становится более очевидным. Если все, за исключением одного, нули полинома устойчивости по абсолютной величине меньше единицы, то при достаточно малом Ь все, кроме одного, корни характеристического уравнения рассматриваемого метода будут по абсолютной величине меньше единицы. Следовательно, степени этих корней, являющиеся "паразитными" фундаментальными решениями разностного уравнения, будут стремиться к нулю и не приводить к возникновению неустойчивости. Теория устойчивости, которую мы только что обсудили, касается, по существу, устойчивости в пределе при й О. Приведенный выше пример неустойчивости ~показывает, что может происходить при сколь угодно малом й, если метод является устойчивым, но не строго устойчивым.
Однако даже строго устойчивые методы могут вести себя неустойчиво, если и слишком велико. И хотя, в принципе, эту трудность можно преодолеть за счет уменьшения величины Й, это может привести к недопустимо большим затратам машинного времени. Такая ситуация возникает при решении дифференциальных уравнений, которые называют жесткими, и мы закончим этот раздел кратким обсуждением такого рода проблем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
