Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Другим желательным свойством, которым может обладать матрица коэффициентов в (3.2.14), является симметричность. МатрицаА =.(а;;) на- 76 4У Как увидим гюзже, в разделе 3.4, одним из желательных свойств для матрицы коэффициентов разностной схемы (3.2.14) является диигональиое донинироеамие. Матрицу А = (ая) размера п Х и называют диагонально доминнрующей (по строкам), если !ап!> Х !а1!, 1=1,...,л, (3.2.21) 1Ф~ т.е.
если абсолютная величина диагонального элемента каждой строки больше или равна сумме абсолютных величин всех неднагональных элементов этой строки. Посмотрим, является ли матрица (3.2.14) диагонально доминирующей. Нам нумаю, чтобы !Р; ! > !гс ! + !Ч~ !, или, используя (3.2.13), чтобы ! 2~ц — с~й~ ! > !а~ — Ь|Ь12 ! + !ар+ Ь|Ь/2 !. (3.2.22) зывается симметричной, если (3.2.26) Ясно, что в общем случае эти соотношения не будут выполняться.
Однако во многих задачах уравнение (3.2.1) имеет вид 1а(х)о 1 =И(х). (3.2.27) (Напомним, что если отбросить нелинейный член, то именно такую форму а~,уа х2 ~~~ р в1+, Рис. З.З имело бы уравнение модельной задачи из предыдущего раздела; см. (3.1.б) .) В этом случае можно получить симметричную матрицу коэффициентов, если следующим образом осуществить замену производных разностными отношениями. Введем сначала посередине между точ$самн сетки х~ и хр+, вспомогательные узловые точки х~е,~т, как это показано на рис.
3.3. Используя этн вспомогательные узлы, заменим внешнюю производную в (ао') выражением 1 1а(х) о (хИ (а~+1~2о +1С2 — а -1!зог-1~э) Ь (3.2.28) где нижние индексы указывают те точки сетки, в которых проводятся выисления. Заменяя теперь первые производные центральными разностями 1 и~+~!ъ = -(о(+~ -од. Ь 1 и подставляя их в (3.2.28), получаем 1 [а(х) о (х) ) 1' ' т Ь~ю'+1/2 (Й+й Й) Й-1/2(Й~ Т-1)3 Ь2 1 — — 1а~,до~, — (а~+~р+ а~-)1Й)Т+а~+1дс1+11. (3.2.29) Таким образом, в этом случае соответствующая (3.2.14) система разностных уравнений принимает вид Ач=а, ац = ад, 1,! = 1,..., л, или, в матричных обозначениях, если А = А, где через А ~ обозначена транст понированная матрица (ад ) .
Чтобы матрица в (3.2.14) была симметричной, необходимо, чтобы а~ = т~+1, или, используя (3.2.13), побы 1 1 — а~ — — Ь! Ь = — а~+1 + — Ь!+ ~ Ь, 2 2 1= 1,...,л — 1. где аз/г + аг/г — аз/г — аэ/г аб/г аз/г аз/г А= — ап 1/г ао+1/г+ао ~/г (3.2.30) Ясно, что эта матрица является симметричной и диагоналыю доминирующей. Отметим также, что если а(х) ив з 1, то (3.2.30) превращается в матрицу (3.2.15) с элементами 2 и — 1. Если в левой части уравнения (3.2.27) будет присутствовать член с(х)и, то это приведет просто к тому, что из /-го диагонального элемента матрицы (3.2.30) будет вычитаться с; Ь . 2 Весь приведенный выше анализ проводился в предположении, что граничные условия имеют вид (3.22) .
В предыдущем разделе мы, однако, видели, что граничные условия могут накладываться не только на саму функцию, но и на ее производную, и теперь перейдем к рассмотрению тех модификаций, которые требуются в этом случае. Рассмотрим, например, вместо условий (3.2.2) граничные условия и'(0) = а, и(1) = /1, (3.2.31) т.е. зададим не и(0), а и'(0) .
Пусть по-прежнему производные в (3.2.1) аппроксимируются по формулам (3.2.10), что приводит к разностным уравнениям (3.2.12) . В первом из этих уравнений, т.е. при / = 1, значение ио уже не определяется из граничного условия при х = О. Вместо этого заменяем первое условие (3.2.31) односторонней разностью (3.2.4) при х = 0: и (0) = (и, — и~)/й = а.
(3.2.32) В результате к л уравнениям (3.2.12) добавляется еще одно уравнение и, — ио =ай и получаем я+ 1 уравнений сп+ 1 неизвестными ио,и„...,и„. Если же значение производной будет задано на правом конце, то используем одностороннюю разность и'(1) ~ (и„+1 — и„)/Ь = /3.
Чи(0)+Лги'(О) =а, Ъ и(1)+уги'(1) =Р. (3.2.33) Аппроксимируя эти условия аналогично предыдущему, получаем соотно- шения (и1 — ио) т/1ио +т/г =й, Ь (ио + 1 ип) 7, ~., 1 ~ 7* — = Р, п (3,2.34) которые вместе с л уравнениями (3.2.14) составляют систему л + 2 разностных уравнений с и + 2 неизвестными ио, и1, ..., и„„. Матричная форма В более общем случае в качестве граничных условий на обоих концах могут быть, как в (3.1.12), заданы линейные комбинации значений функции и ее производной; т.е. этой системы имеет вид сг//г — с/! /гт)1 т)2 т)2 т! Р! Ч! г/о тп Рп г/и У2 /г У! "' 'У2 (3.2.35) Какие бы разиостные аппроксимации мы ни использовали и какие бы граничные условия мы ни задавали, основной вычислительной проблемой остается решение полученной системы линейных алгебраических уравнений.
Этому вопросу мы и посвятим остальную часть этой главы. Дополнительные замечания и ссылки 3.2 В этом разделс мы рассмотрели только простейшие способы построения разностных схем, причем для довольно простых задач. Как мы видели, аппроксимжгия центральными разностями (3.2ЛО) приводит к схемам второго порядка, т.е. погрешность 'аппроксимации в этом слу ие пропорциональна й'. Чтобы достичь большей точности, можно, в принципе, испольэовать аппроксимации более высокого порядка; так, например, схема 1 ч"(х ) —, ( — еа 2+ 16гг/ ! — Зос/+ 16гг;+! — гг/+2) (3.2.36) с,, с,,...
нам неизвестны. Если мы имеем два приближения, при /г и А/2, то, объединяя их, можно получитьновое приближение Ь(Ь) = — ~4а ~ — ) — а(Ь) 3 ~ ~2) (3.2.38) которое, как легко проверить, удовлетворяет соотношению а — Ь(/г) = — с, 6 ! /6 +...
= 0(яг ) . Идею такой экстраполяции можно применить к двухточечным краевым задачам, решая данную задачу дважды, с шагом Ь и Ь/2, и комбинируя полученные приближения в каждом узле более редкой сетки по формулам типа (3.2.38) . В определенных случаях, например, когда в уравнении (3.2.1) отсутствует член с первой производной, разложение погрешности (3.2.37) содержит только четные степени /г, и однократное применение экстраполяционного принципа оказывается особенно эффективным, да- в случае достаточной гладкости функции ч является аппроксимацией четвертого порядка (ошибка пропорциональна Ь"). Одна из трудностей, которые воэникаютпри применении аппроксимаций такого типа к двухточечным краевым задачам, связана с приближением к граничным точкам. Если, например, мы воспользуемся схемой (3.2.36) в первом внутреннем узле х,, то нам понадобится значение функции гг не только в точке х,, но и в точке х г, которая лежит вне интервала.
Другой подход к построению приближений высокого порядка к решению, использующий при этом аппроксимацию производных только до второго порядка точности, называется экстраполяцией к пределу (или экстраполяцией по Ричардсону) . Это очень общий метод, который применим не только к краевым задачам, но и к численному интегрированию и дифференцированию, задачам Коши и т.д. В основе метода лежит л следуюшнй принцип. Пусть а — некоторая аппрок<згмируемая величина и а(/г)— приближение к а, которое зависит от параметра Ь (во многих приложениях этим параметром является расстояние между узлами сетки).
Предположим также, что ошибка аппроксимации представима в виде а — а(й) = с,/г' +с,Ь' +..., (3.2.37) аая сразу четвертый порядок точности. Обсуждение применения экстраполяции к численному интегрированию (квадрагуряые 1бормулы Ромберга) смотрите в дополнительных замечаниях к разделу 5.3. Подробное рассмотрение тем этого раздела имеется в книге [301; обзор более поздних результатов можно найти в статьях 137, 741. УПРАЖНЕНИЯ 3.2 3.2Л.
Предположим, что функция с(х) шесть раз дифференцируема. Разложив и(х + й) и и(х — 0) по формуле Тейлора, убедитесь в справедливости соотношения (3.2.8) . 3.2.2. Предполагая, что функция н(х) дважды дифференцируема, покажите, что ошибка при аппроксимации центральными разностями (3.2.9) пропорциональна Ь'. 3.2.3. Рассмотрите двухточечную краевую задачу (1 + х')с" + 2хс' — и = х', с (0) = =1, е(1) = 0; а) положите й = 1/4 и выпишите явно систему разиостных уравнений (3.2.12); б) перепишите систему уравнений пункта а в матричной форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
