Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Рассмотрим клетку, показанную на рис. 3.1, где мы допускаем идеализацию, считая клетку абсолютно сферической. Предположим, что некоторый элемент, например кислород, вступает в реакцию с другими веществами, содержащимися в клетке, в результате чего он перестает существовать как свободный кислород. Предположим далее, что клетка погружена в среду, в которой имеются свободные молекулы кислорода. Мы предполагаем, что эти молекулы могут проникать сквозь оболочку клетки и затем вступать в уже упомянутую реакцию.

Зная концентрацию кислорода в окружающей среде и скорость, с которой молекулы кислорода вступают в реакцию внутри клетки, образуя другие компоненты, мы бы хотели определить концентрацию кислорода в клетке в любой заданный момент времени и, в особенности, какова будет установившаяся концентрация. Если обозначить через и концентрацию кислорода в клетке как функцию времени и трех пространственных переменных, то можно показать, что функция и будет удовлетворять уравнению и, = Ьи+й(и), (3.1.7) где Ь вЂ” трехмерный оператор Лапласа, т.е.

Ьи = и„, + и, + и„. Здесь первый член моделирует диффузию кислорода сквозь клетку (предполагается, что коэффициент диффузии постоянен и нормирован на единицу), а второй член имеет внд 8(и) = — си~(и + с1), (3.1.8) где с и И вЂ” константы, зависящие от таких факторов, как скорость реакции, число присутствующих бактерий, концентрации веществ в клетке и т.д. Чтобы справиться с уравнением (3.1.7), сделаем некоторые дальнейшие упрощающие предположения.

В дополнение к сферичности поверхности клетки, будем считать, что сама клетка, диффузия и реакции являются сферически симметричными, т.е. предполагаем, что в показанных на рис.3.1 сферических координатах г, р и д скорость реакции и образующаяся кон- центрация зависят только от т. В этом случае оператор Лапласа Ь в сфе- рических координатах имеет вид (см. упражнение 3.1.2) .

Если теперь, чтобы прийти к стационарному урав- нению, положить и, = 0 в (3.1.7), то получим —, (т~ и ) + е(п) = О, или (тзп ) +та~(и) = О, (3.1.9) где и = п(т) — стационарная концентрация кислорода в клетке. Предполагаем, что концентрация кислорода вне клетки равна некоторой постоянной р и что проницаемость оболочки клетки бесконечна. Это цриводит к граничному условию р(1) = Р, (3.1.10) причем мы нормировали радиус клетки на единицу.

Чтобы получить другое граничное условие при г = 0 заметим, что из предположения о сферической симметрии следует и'(0) = О. (3.1.1! ) Обратите внимание, что условие (3.1.11) отличается от условий (3.1.5), где на обоих концах отрезка было задано значение функции. Мы могли бы с самого начала заменить (3.1.5) на более общие условия: 7~10(0) + Пз У (0) = й. 7йп(1) + 7зп(1) Рю (3.1.12) дополнительные замечания и ссылки Х1 Математическую теорию двухточечных краевых задач для об1якновенных дифференпиальиых уравнений, а также несколысо примеров таких задач, можно найти в книге 131. Наиболее важным является вопрос о существовании и единственности в которых на каждом конце отрезка задается линейная комбинация значений функции и ее производной. Тогда условия (3.1.10) и (3.1.11) будут являться частным случаем условий (3.1.12), когда и, = О, пз = 1, у, = 1 и 7, = О.

Задача, определяемая уравнением (3.1.9) и граничными условиями (3.1.10) — (3.1.11), представляет собой двухточечную краевую задачу. Такие задачи играют исключительно важную роль в научном программировании как сами по себе, так и в качестве моделей для краевых задач с несколькими переменными. Поскольку функция е в (3.1.8) нелинейна, уравнение (3.1.9) является нелинейным и дело обстоит так, что почти все возникающие в приложениях двухточечные краевые задачи оказываются нелинейными. Тем не менее в остальной части этой главы мы изложим важный метод решения линейных двухточечных краевых задач, а затем в следующей главе вернемся к нелинейным задачам. решения, особенно в случае нелинейных задач.

Одно из условий, достаточное как дпя существования, так и единственности решения простого уравнения в" = Г(с) с граничными условиями е (0) = а и е (1) = 1), состоит в том, что функция Х препполагается непрерывно дифференцируемой и /'(е) ~ 0 при ! и! < . Различные другие условия и распространение на более общие уравнения приводятся в упомянутой книге, а также в работе [30]. В этом разделе мы рассматривали только уравнения второго порядка с одной переменной. Для уравнений более высомбго порядка, таких как а,(х)и +а,(т)в +...+ал !(х)в(х)+ал(х)а(х) =а(х), (л) .

(л-1) в конечных точках отрезка [0,1] должны быть заданы л условий на функцию а и первые л — 1 ее производных. Можно подойти иначе и, как в гл. 2, свести уравнение высшего порядка к системе вида А(х)и~' = В(х)и +~(х), где в и 7' — векторы порядка л, а А(х) и В(х) — матрица размера л Х л. В этом случае в точках О и 1 должно быль задано л условий на координаты и', Дальнейшее обсуждение двухточечных краевых задач для систем уравнений смотрите в разделе 4.1 и в работе [30[. Изложение в этом разделе задачи из биофизики в основном следует работе «ЗО] (см, также [49) и «Зб) ). Полученная в результате двухточечная краевая задача (3.1.9) называется особенной, потому что коэффициент при в" в начале координат обращается в нуль.

Особая природа задачи становится более очевидной, если выполнить, дифференцирование в (3.1.9) и поделить все уравнение на г ', что приводит к эквивалентному дифференциальному уравнению 2 ьа+ — в'+я(е) =О. (3.1.! 3) г е ю + Дифференциальные уравнения, в которых старшая производная умножается на малую константу, называют сингулярио возмущенными. Дальнейшее рассмотрение проблем этого типа можно найти, например, в книге [33 ) . УПРАЖНЕНИЯ 3.! 3.1.1. Пусть и — решение на отрезке [а„Ь] краевой задачи (р (х) и' ) + 9 (х) и = а (и), и(а) =а, и(Ь) =!). Покажите, что функция и может быть получена в результате решения на отрезке [0,1) краевой задачи а /л аю1 — [ р(у) — +а(Г)в =8(и), е(0) =а, в(1) =(), ~) где р(у) =р(а+ (Ь вЂ” а)г), «(е) = (Ь вЂ” а)'Ь(и), су(у) = д(а + (Ь вЂ” а)у) (Ь вЂ” а)', если положить и(х) ли((х — а))(Ь вЂ” а)). 70 В этой форме коэффициент при в' при г = 0 обращается в бесконечность.

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями изложена, например, в работе [32). О недавних результатах по численному решению двухточечных краевых задач дпя уравнений второго порядка с особенностями первого рода смотрите работу [62]. В дополнение к особенности при г = О может оказаться, что коэффициент с в нелинейной функции я в (3.1.8) очень велик. Если же мы разделим уравнение (3.1.13! на с и положим е =с ', то оно приметвип 3.1.2. Оператор Лапласа о в сферических координатах г, 9 и у имеет вид 1 а (, ап'т 1 а 1 аи1 1 а'н ьп(г,д,~) = —, — г' — + —,, — Ипд — )+— г' аг ~ аг) г'а)пв ае ~ аа) г'а(п'в а,р' ' докажите, что если функция и сферичееки симметрична, тах и — функция только отг, то ° а(, ап~ (», 1 г' аг1 аг 3.1.3.

Найдите явное решение двухточечной краевой задачи о" + о' = 2е, о(0) = 1, и(1) = е. 32. Метод конечных разностей для линейных задач а(х)и + о(х)и'+с(х)и =с((х). О (х <1, (3.2.1) где а, К с и (1 — заданные функции х. Сначала рассмотрим граничные ус- ловия и(0) =(т, и(1) =Д, (3 2.2) а в дальнейшем будем иметь дело и с более общими граничными условиями, такими как (3.1.12), в которые входят производные от функции и в конечных точках. Особенно простой частный случай задачи (3.2.1) — (3.2.2) вида и" =с((х), и(0) =О, и(1) =О (3.2.3) окажется полезным при некоторых последующих рассмотрениях.

Соотношения (3.2.1) и (3.2.2) определяют линейную двухточечную краевую задачу относительно неизвестной функции и, и наша цель состоит в разработке алгоритмов получения приближенного решения этой задачи на ЭВМ. Будем предполагать, что рассматриваемая задача имеет единственное решение, которое по крайней мере дваждь( непрерывно дифференцируемо.

Пусть х, х + Ь и х — Ь вЂ” три точки на отрезке [0,1]. Тогда выражения и(х + н) — и(х) и'(х) = й (3.2.4) и(х + и) — 2и(х) + и(х — Уз) и (х)= 1 2 (3.2.5) называются конечно-разностной аппроксимацией соответствующих производных. Чтобы выяснить, насколько хорошо правые части (3.2.4) и (3.2.5) аппроксимируют производные, воспользуемся разложением Тейлора „(„+й),(„)+, (х)) + ( )йт +0(гз) (3.2.б) 2 где 0(й~), как и прежде, означает„что остаточный член разложения стре- 71 В этом разделе мы рассмотрим, вероятно, самый распространенный подход к решению краевых задач: метод конечных разностей. Ограничимся линейными уравнениями вида О мится к нулю при Й- О, как й~.

Из (3.2.6) немедленно получаем Г и(х+ й) — о(х) 1 1 е о (х) — ~ ~ = — — и" (х) й + О ()т ~ ), А ~ 2 (3.2.7) Отсюда видно, что при малых й погрешность аппроксимации (3.2.5) пропорциональна Ь' и четвертой производной. Соотношения (3.2.7) и (3.2.8) показывают, что выражения (3.2.4) и (3.2.5) действительно аппроксимируют соответствующие производные. Характер зависимости погрешности от й будет важен для нас позднее, при рассмотрении вопроса об ошибке нашего приближенного решения уравнения (3.2.1). Здесь только отметим, что отличие в зависимости погрешности приближений (3.2.4) и (3.2.5) от и характерно для аппроксимации односторонними разностями по сравнению с аппроксимацией центральными разностями.

Характеристики

Список файлов книги