Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2.10. Рис. 2.10. Кусочно-квадратичная функ- ция О 1/6 1/31/2 2/Э з/в 1 Рассмотрим теперь ошибку аппроксимации функции / функцией я нз (2.3.8) . Пусть М вЂ” оценка сверху абсолютной величины третьей производной от /' на всем отрезке [О, 1] . Тогда на каждой из его частей [О, 1/3], [1/3, 2/3] и [2/3, 1] можно применить оценку ошибки (2.3.7); здесь Ь = 1/6 и и = 2. Поэтому 1/'(х) — я(х) ! < Ь'М я М/6, 0 я х ~ 1. (2.3.9) Без дальнейшей информации относительно М эта оценка мало что дает в количественном отношении. Но она, тем не менее, показывает, как влияет 47 где М = шах 1/1ч+ '1(г) ], ко ~-~яч Оценку (2.3.7) по-прежнему трудно использовать из-за входящей в нее величины М,но она оказывается полезной в следующем смысле. Предположим, что мы хотим аппроксимировать функцию Х на заданном отрезке [а, Ь] посредством кусочных полиномов, т.е.
функций, являющихся полиномами на заданных подотрезках [а, Ь]. Если, например, а = уо < у, <... ... < ур < 7р+, = Ь вЂ” некоторое разбиение отрезка [а, Ь] и я — некоторая функция, непрерывная на [а, Ь] н являющаяся полиномом на каждом интервале (71,71+1) (/ = О, 1,...,р), то функцияя называетсякусочно-полиномиальной на [а, Ь]. Приведем пример кусочно-квадратичной функции. Предположим, что функция / на отрезке [О, 1] задана значениями на оценку погрешности шаг и между узлами интерполяции, Действительно, если разбить отрезок на шесть, а не на три части и составить кусочно-квадра- тичную функцию я нз квадратичных полиномов на этих шести отрезках, то шаг й будет равен 1/12 и оценка (2.3.9) примет вид 1~(х) — я(х) ~ < —, М 123 т.е.
величина оценки уменьшится в восемь раз по сравнению с оценкой в случае трех частей разбиения. Конечно, это не означает, что фактическая ошибка при этом уменьшается в восемь раз. Аналогичные рассмотрения можно провести и в случае использования кубичных полиномов и полиномов более высокого порядка. Хотя, как показывает теорема 2.3.1, интерполяционный полипом является единственным, имеется несколько других способов получения илн представления этого полинома, не опирающихся на полиномы Лагранжа. Вероятно, наиболее фундаментальный подход состоит в следующем.
Представим интерполяционный полипом р в виде р(х) =ао +а~х+ ... +а„х" и потребуем, чтобы выполнялись условия ао +а,х~+ ... +а„х~ = у~, 1=0,1, ...,п. (2.3.10) «'Так как величины х~ и уг известны, это просто система п + 1 линейных уравнений с л + 1 неизвестными ао, а,, ..., а„. Запишем эту систему в матричной форме: а ~у~ а1 у, хо хо 2 х, х, 2 л о х," (2.3.11) хп 2 хл хп ал уп Матрица коэффициентов системы (2.3.11), которую мы обозначим через 1', называетсяматрицейВандермондаи, если все ху различны между собой, является невырожденной. Последнее утверждение довольно легко доказать непосредственно, однако мы его уже установили косвенно с помощью теоремы 2.3.1, которая показывает существование и единственность интерполяпионного полинома. действительно, если бы матрица Р была вырожденной, то при данных узлах интерполяционный полипом либо вообще не существовал, либо таких полиномов было бы бесконечно много Подход на основе матрицы Вандермонда иногда полезен для теоретических рассмотрений, но для практического построения полинома он мало пригоден.
Для этих целей обычно лучше использовать полиномы Лагранжа, но и они оказываются неудобными, если к набору данных нужно добавить или удалить из него какой-либо узел. Если, например, мы хотим добавить к набору данных (х~, у~) (~' = О, 1„..., и) точку (х„~~, у„+1) и составить полипом степени и + 1, интерполирующий эти данные, то нам придется пересчитать все полиномы Лагранжа. Имеется, однако, другое представление 48 интерполяцнонного полинома, которое очень полезно именно в этом случае. Это представление Ньютона, к описанию которого мы теперь переходим.
Предположим, что точки х| расположены равномерно с шагом Ь. Определим разности данных у| как Ьу| = у|+ | — у|, а разности более высокого порядка как результат повторного применения этой операции: Ь'Уо = |~У| — |~уо =Уг — 2У| +Уо, ЬзУо = Ь У| — ~ Уо =Уз — 3уг+3У| — Уо* (2.3.12) /и1 /п~| ~"Уо =Ун — ~ ) У вЂ” | +~ У -г — '-+(-1)"Уо ~1) 1 2~ где, как обычно, биномиальные коэффициенты задаются формулой ~|/ и |~ и(и — 1) ... (и — |'+ 1) |! С помощью разностей (2.3,12) определим наш полипом степени и как (х — хо) (х — хо)(х — х|) Р„(х) = Уо + ЬУо + Ь 2йг ~ Уо+" ° (х — хо)(х — х,) ...
(х — х„|) ... + ~ у, . | йл (2.3.13) (хг -хо) Р (х|) Уо + Ь (У| Уо) У| (хг — хо) (хг — хо)(хг — х,) Ри(хг) =уо + й (У| — Уо) + 2й~ (Уг — 2У|+Уо) = = Уо + 2(У| — Уо) + (Уг — 2У| + Уо) = Уг ° Аналогичным образом можно убедиться,что р„(х|) = у| (| = 3, ..., и), хотя вычисления при этом становятся все более утомителып |ми. Интересно отметить, что вид полинома р„в (2.3.13) аналогичен первым и+ 1 членам разложения Тейлора в точке хо. Предположим теперь, что мы добавили к набору данных точку (х„+|, У„+|). Тогда полипом р„+,, удовлетворяющий условиям р„+| (х|) = у| (| = О, 1, ..., и+ 1), можно записать в виде (х-хо)(х-х,) ...
(х-х„) р.+|(х) — Мх) + Уо. + 1) ~ йл+| Именно выражаемое этой формулой свойство представления Ньютона для 4. Лж. Ортега 49 Очевидно, что р„(хо) = уо, так как все остальные члены в (2.3.13) обра- щаются в нуль. Подобным же образом имеем интерполяционного полннома делает в ряде случаев это представление" особенно полезным для практики. В следующем разделе воспользуемся интерполяционными полиномами для построения других методов решения дифференциальных уравнений. Они также окажутся полезньгми и в других частях этой книги Дополнительные замечания и ссылки 2.3 Приведем доказательство основной теоремы 2.3.2 об ошибке полиномиальной интерполяции.
Предположим, что х ~ х (/ = О, 1,, и). В противном случае обе э / части ( .3.6) равны нулю и результат тривиален. Зафиксируем теперь х и введем функцию е(г) =/(г) — р(г) — а(х)Ф(г), где р(г) (г ха)(г х1)" (5 хл) а(х) (Г(х) — р(х))/Ф(х).
Очевидно, что р (х() = 0 (/ = О, 1, ..., л) и Ч (х) = О. Таким образом, у имеет по крайней мере и + 2 различных нуля хр, х,, ..., хгн х, Тогда в результате последовательного применения теоремы Ровня получаем, что функция Ф имеет по крайней мере л+ 1 различный нуль, у — по крайней мере л различных нулей и т.д. В частности, (и+11 у имеет по крайней мере один нуль з на интервале, натянутом на точки х„х,, ..., хл, х. Но поскольку р — полипом степени л, а Ф вЂ” полипом степени и+ 1,то р (г) = Г( )(г) — р( )(г) — а(х)р( )(г) = =/' (г) — (л + 1) ! а(х). Следовательно, 0 ф (2) =/ (3) — (л + 1) 1д(х), Выражая отсюда а (х), приходим к (2.3.б) .
Более полное рассмотрение проблемы интерполяции можно найти, например, в книгж (100, 111(. УПРАЖНЕНИЯ 2.3 2.3.1. Постройте полипом р второй степени, удовлетворяющий условиям р(0) = О, р(1) = 1 и р(2) = О, с помощью всех трех методов, т.е. используя полиномы Лагранжа, матрицу Вандермонда и представление Ньютона. Убедитесь, что все три полинома оказываются одинаковыми. 2.3.2. Пусть Г(х) = Нп(чх/2) и пусть р — полипом из упражнения 2.3.1, совпадающий с Г в точках х = О, 1, 2.
Используйте (2.3.7) для получения оценки [Г(х) — р(х) [ на отрезке [О, 2]. Сравните эту оценку с фактической ошибкой в некоторых точках интервала и, в частности, при х = 1/4 и х = 3/4. 2.3.3. Найдите кусочно-линейную и кусочно-квадратичную функции, соответствующие следующим данным: Вычислите оценки ошибок для этих функций на отрезке [О, 1(, считая, что функция Г такова, что ! Г" (г) ! ~ 4, 1Г"'(г) [ < 10, 0 ~ г ~ 1. 2.3.4.
Пусть Г(х) = зшх и пусть р и а — два полинома третьей степени, удовлетво- ряющие условиям р ( х/3) = а(/г/3) = Г (/г/3), й = О, 1, 2, 3. Получите оценку для !' р( х)— — а(х) ~. справедливую на всем отрезке [О, 1). 50 2.4. Численное решение: многошаговые методы Мы вернемся теперь к задаче Коши у =г"(х,у), а<х<К у(а)=у. (2.4.1) В методах раздела 2.2 значение у»+1 зависело только от информации в предыдущей точке х». Кажется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках х», х» 1, ...
Именно так и поступают в многошаговых методах. Большой и важный класс многошаговых методов возникает на основе следующего подхода. Если подставить в (2.4.1) точное решение у(х) и проинтегрировать это уравнение на отрезке [х», х»,1 ], то получим х»+ 1 у(х»+г) — у(х») = ( у '(х) сХх = х»+1 х»~ 1 Г,Г(х, у(х)) сУх = / р(х) а~х, (2.4.2) где в последнем члене предполагаем, что р(х) — полипом, аппроксимирующий ~(х, у(х)). Чтобы построить этот полипом, предположим, как обычно, что у», у»,, ...,у» д — приближения к решению в точках х», х» 1, ..., х» ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
