Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Можно находить и интегралы с бесконечными пределами, как показывает пример операции 1]х[ТЕОКАТЕ(1/(Х['2 + 5) 7 (3/2). Х, О, 1ХР), вы исляюшей значение интеграла ез е/Х, о (Хз +5)з/2 которое равно 1/5. В сочетании с командой ПЧТЕСКАТЕ часто используются операции типа ЕХРА[х[0. Б1МРЫГУ и ГАСТОК. В этом разделе мы кратко рассмотрели некоторые области информатики, оказывающие все возрастающее влияние на научное программирование и, в частности, на решение дифференциальных уравнений. В последующем изложении мы в разных местах будем отмечать, где соответствующая методология может быть с выгодой использована, хотя детальное освехцение этих вопросов выходит за рамки книги.
Дополнительные замечания и ссылки 1,4 Хорошее введение в принципы машинной графики содержится в книге [50]. Для дополнительного чтения можно рекомендовать книги [10, 66; 86, 99], а также статью [97]. Первые системы символьных вычислений появились в середине 1960-х годов, но только в начале 1970-х годов несколько таких различных систем стали доступ. ными для широкого круга пользователей.
Основным мотивом для разработки первых систем послужили естественно научные (главным образом физические) и математические приложения. В настоящее время тратятся значительные усилия на усовершенствование сушествуюших и разработку новых систем. Общим слабым местом символьных систем является их сильная зависимость от конкретной ЭВМ. Каждая система обычно работает только на одном типе ЭВМ и перевод системы с одной ЭВМ на другую связан с серьезными трудностями. другой недостаток заключается в сложности реализации непосредственной связи символьной системы с универсальными языками программирования, такими как фортран или паскаль. Перечислим несколько наиболее широко известных систем символьных вычислений: Аитап ]5], Готшас [791, Масзута ]111], Кеапсе [93] и Зста1слраб [19].Обзор использования систем символьных вычислений в научном программировании можно найти в статье [94], где рассматривается пример, совершенно аналогичный приведенному в зтом разделе, но вместо полиномов Чебышева используются полнномы Лежандра.
Собрание обзорных статей о различных аспектах воздействия информатики на научное программирование можно найти в книге [53]. Глава 2 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. Примеры задачи Коши В этом разделе мы построим две математические модели, представляющие собой задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; одну 'модель — из области экологии, другую — из области аэронавтнки.
Модель типа хищник — жертва Давайте рассмотрим динамику популяции двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник — жертва. При этом предполагается,' что жертва может найти достаточно пищи для пропитания, но при каждой встрече с хищником последний убивает жертву. Примеры таких межвидовых взаимоотношений дают волки и кролики; паразиты и некоторые организмы, на которых они паразитируют. Наша цель — исследовать изменение во времени популяций хищников и жертв. Изучению взаимоотношений типа хищник — жертва в последнее время уделяли значительное внимание как экологи, так и математики. Обозначим соответственно через х=х(() и у =уЯ количество жертв и хищников в момент времени г.
Чтобы получить математические уравнения, которые приближенно описывают динамику популяций, мы сделаем несколько упрощающих предположений. Во-первых, предположим, что норма рождаемости жертв хь и норма естественной смертности (т.е. без учета уничтожения хищниками) ха являются константами, причем хь > ха. Таким образом, в отсутствие хищников популяция жертв будет расти со скоростью (хь — ха) х. Во-вторых, предположим, что число случаев, когда хищник убивает жертву, зависит от вероятности их встречи и, следовательно, пропорционально произведению ху.
Объединяя эти два предположения, получаем, что популяция жертв подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению дх — = ах+ 11ху, (2.1.1) сй -де а = хь — ха > О, а р ( О. Чтобы вывести уравнение, описывающее популяцию хищников, предположим, что при отсутствии жертв число хищников по естественным причинам убывает, что задается членом ту. В то же время в результате встреч с жертвами число хищников увеличивается, что ведет к уравнению ау — = ту+ бху (2.1.2) сй с Т < О и Ь ) О. Таким образом, мы пришли к нелинейной системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений дх — =ах+рху, — = уу+бху, (2.1.3) й а~1 где а) О, р < О, Т< 0 и о ) О.
Эти уравнения были впервые выведены в 1925 г. и известны как уравнении Потки — Вольтерра. Однако задача пока сформулирована не полностью; мы должны начать процесс в некоторый момент времени (например, при 1 = 0) с заданными значениями начальных популяций х(0) и у (0) . Таким образом, дополняем дифференциальные уравнения двумя начальными условиями х(0) =хо, у(0) =у,. (2.1.4) Задача о траектории Предположим, что ракета запускается под заданным углом наклона к поверхности (угол запуска). На какую высоту поднимется ракета? Ответ на этот вопрос зависит от целого ряда факторов: характеристик ракеты и ее двигателя, сопротивления воздуха, гравитационных сил и т.д. Чтобы построить математическую модель этой задачи, мы должны сделать ряд упрощающих предположений.
Во-первых, ограничимся рассмотрением ракет, поднимающихся вверх и перемещающихся вдоль поверхности Земли на расстояния, не превышающие 100 км. В этом случае без существенной потери точности можем считать, что Земля плоская. Во-вторых, предположим, что вся траектория ракеты лежит в одной плоскости, т.е. предполагается отсутствие бокового ветра и т.д. Используя эти два предположения, выбираем двумерную систему координат с началом в месте старта.
Типичная траектория представлена на рис. 2.1. У Рис. 2.1. Типичная траектория Как видно из рис. 2.1, функции х(г) и у(г) обозначают координаты х и у ракеты в момент времени г, причем считаем, что ракета стартует при г =О,так что х(0) =у(0) =О. (2,1.5) Если обозначить производные по времени как х=Их/й' и у =Ыу/сй, то вектор скорости ракеты в моментт представится в виде ч(1) = (х(г),у(г)). Будем обозначать величину вектора скорости через п(1), а его угол с горизонтом через д(г), как это показано на рис.
2.1. Этн величины тогда определятся выражениями п(т) = Нх(т))' + (у(г))']'1' й (1) = агс1я(у (1)/х (1)). (2.1.6) Основная математическая модель траектории выводится из второго закона Ньютона — (тч)= Г. сй (2.1.7) Здесь т (г) — масса ракеты, à — результирующая действующих на ракету сил, которая состоит из трех слагаемых: (1) силы тяги при работе двига- теля, Т(т): (2) силы сопротивления срго !2, (2.1.8) где с — козффнциент сопротивления, р — плотность воздуха и т — поперечное сечение ракеты; (3) силы гравитации тя, где я — ускорение свободного падения.
Чтобы записать уравнение (2 1.7) в переменных х ну, заметим, что сила тяги и сила сопротивления действуют вдоль оси ракеты. Если мы обозначим эту часть результирующей силы Г через Г,, то Е~ = Т вЂ” срлР/2. (2,1.9) Так как сила гравитации действует только в вертикальном направлении, уравнение (2.1.7) можно записать покоордннатно следующим образом: тх + тх = т", сов О. тпу + ту = т, яп 0 — тя. (2.1.10) Используя (2.1.9) и меняя порядок членов, перепишем уравнения (2.1.10) в виде 1( Р3 х = — ~Т вЂ” — срам') сов 0 — — х. т 2 т (2.1.1 1) у = — 1 Т вЂ” — срзи~/яп0 — — у — а.
т 2 т Это связанная система двух нелинейных (вспомните соотношения (2.1,6)) дифференциальных уравнений второго порядка. Мы предполагаем, что с и а — известные постоянные, р — известная функция у (т.е. высоты над поверхностью), Т и т (а следовательно, и и) — известные функции г. (Изменение массы обусловлено расходом топлива.) Решение системы (2.1.11) должно удовлетворять (2.1.5), что дает два из четырех необходимых начальных условий. Другие два условия даются соотношениями и(0) = 0, 0(0) = 0,.
(2.1.12) Таким образом, при заданных характеристиках ракеты имеется только один свободный параметр — угол запуска 0е, причем его изменение будет, очевидно, приводить к изменению траектории. Уравнения (2.1.11) могут служить математической моделью и для таких баллистических задач, как полет снаряда, выстреленного из артиллерийского орудия, или камня, запущенного из рогатки. В таком случае предпола-' гаем, что тело стартует с заданной скоростью ие, так что условия (2.1.12) заменяются на условия и(О) =ио 0(О) = до.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
