Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это сводится к преобразованию всей базы данных или ее части. Преобразования по своей природе могут быть алгебраическими или тригонометрическими, как, например, поворот против часовой стрелки на угол 0 вокруг начала координат, отражение, которое может интерпретироваться как поворот на 180 вокруг некоторой оси, масштабирование, изменяющее величины координат, или перенос начала координат. Эти преобразования могут быть как двумерными, так и трехмерными.
Большая часть преобразований реализуется в виде матричных операций. Системы программного обеспечения машинной графики состоят из двух основных частей. Одну часть составляют программы, обрабатывающие базу данных и осуществляющие такие уже упомянутые операции, как поворот и масштабирование. Эти операции являются математическими и не зависят обычно от конкретных устройств. Другая основная часть системы программного обеспечения предназначена для управления графическим устройством. Эта часть обеспечивает передачу информации графическому устройству для перемещения курсора, проведения линии, нанесения точек и т.д.
На самом низком уровне это программное обеспечение зависит от конкретного используемого устройства, поскольку, например, координаты точки должны выражаться в форме, совместимой с аппаратными инструкциями. На один уровень выше — перемещение курсора в некоторую точку, проведение линии — это программное обеспечение уже может не зависеть от конкретного графического устройства. Стиль программирования, используемый при работе с машинной графикой, совершенно отличен от программирования численных методов.
Однако при этом преследуется та же самая цель — передать ЭВМ инструкции, 21 которые она должна выполнить. При работе с электронно-лучевым диалоговым дисплеем команды низкого уровня могут иметь примерно следующий вид: ВКЛ1ЭЧИТЬ КУРСОР УСТАНОВИТЬ РЕЖИМ АБСОЛЮТНЫХ КООРДИНАТ ПЕРЕМЕСТИТЬ КУРСОР В ТОЧКУ (23.1, — 1б.4) ВЫКЛЮЧИТЬ КУРСОР Команды графопостроителя обычно представляют собой обращения к подпрограммам. Мы теперь переходим к последней теме этого раздела — символьным вычислениям. Под этим имеется в виду возможность работать с математическими выражениями в символьной форме (а не только с числами) во многом аналогично тому, как это делается с помощью карандаша и бумаги. Системы символьных вычислений могут, например, складыватъ„умножать и делить многочлены и рациональные выражения, дифференцировать функции, находить интегралы от многих функций, которые допускают интегрирование в замкнутой форме, и т.д.
Этн возможности являются многообещающими как средство избавления от утомительных преобразований длинных алгебраических выражений, что нередко оказывается необходимой предварительной работой. перед проведением численных расчетов. Некоторые системы символьных вычислений уже сейчас широко используются в научном мире; эффективность и возможности этих систем постоянно увеличиваются, и в будущем следует ожидать их еще более широкого использования. Наверно, лучше всего различие между численным и символьным вы-. числением можно понять на простом примере.
В качестве такого примера мы рассмотрим вычисление полиномов Чебышева первого рода. Эти поли- номы определяются формулой Т„(х) = соа(л агссозх), — 1< х~ 1, хотя большее практическое значение имеют двучленные рекуррентные соотношения То(х) = 1, Т, (х) = х, Т+, (х)= 2хТ;(х) — Т; 1(х), у = 1,2,... Программа вычисления первых 20 полиномов Чебышева на псевдофортране может выглядеть примерно следующим образом: ЫМЕ)ЧБ101Ч Т(20) 1)ЧР()Т Х Т(1) = 1. 22 т(г)= х РО 10 1=2,19 Т(У + 1) = 2.
~ Х ь Т(Я) — Т(3 — 1) 10 СОМТРИЗЕ 01Л'Р1.1Т Т Этот фрагмент программы вычисляет значения полиномов Чебышева для заданного значения Х. Если, например, Х= 0,6, то результатом работы программы будет Т(1) = 1. Т(2) = 0.6 Т(3) = — 0.28 Т(4) = — 0.936 Подчеркнем, что эта ориентированная иа численные расчеты программа на фортране вычисляет значения полиномов при конкретном значении Х.
Если нужно вычислить значения полиномов при другом значении Х, го эта программа должна быть выполнена еще раз с этим новым значением Х. В противоположность этому в системе символьных вычислений переменная Х может быть представлена в виде символа и все предписываемые в цикле операции могут быть выполнены при незаданном значении Х. Результат работы системы символьных вычислений мог бы иметь вид Т(1) = 1 Т(2)= Х Т(3)= 2 ь Х э*2 — 1 Т(4)=4*Хая 3 — 3 ь Х Этот пример наглядно демонстрирует одно из основных различий между численным вычислением с использованием численно ориентированного языка, такого как фортран, и символьным вычислением: в символьной системе переменные и выражения имеют символьные (или алгебраические), а не числовые значения. Другое важное отличие состоит в том, что символьное представление является точным, а не приближенным.
В настоящее время имеется несколько различных символьных систем. В тех из них, которые обладают синтаксисом, подобным фортрану или алголу, программа вычисления полиномов Чебышева будет выглядеть примерно так же, как приведенный выше фрагмент программы на фортране. Отличаться будет только результат. В то же время многие символьные системы имеют синтаксис, совершенно отличный от фортрана. В качестве 23 примера можно привести одну из наиболее широко используемых систем Масзугпа, разработанную в Массачусетсском технологическом институте. Широко используемые системы символьных вычислений обладают ботьшим диапазоном возможностей. Здесь мы опишем только некоторые иэ них, наиболее существенные дпя научных приложений.
Аналогично фортрану символьные системы имеют (символьные) выражения и олерации. Например, мы можем определить выражение как Е ХРК: Х Т 2 + (Ъ' — 6) ь Х, и это выражение будет выводиться как (У 6)Х+Х2 Можно сделать символьные подстановки ЕХРК, Х = ЯИ(А), У = 1.ОС(А), которые лают (1.ОС(А) — 6) Х + Я)ЧзА, Можно использовать и символьные матрицы; запись М: МАТК1Х([А,В,С], [1,2,3], [1.7,Х,У]) определяет построчно матрицу А В С М= 1 2 3 1,7 Х У Могут быль также определены и символьные операции над матрицами, такие как М и М '.
Из-за сложности вычислений операция М ' обычно может быть выполнена только для матриц небольшого размера. Существует много символьных операций, которые можно применять к выражениям. Давайте переопределим выражение ЕХРК как ЕХРК: (Х+ 3) е (Х + 7) Т 4 — Х Т 3 е (Х + 2) Т 2. Тогда оно может быть выведено как (Х + 3) (Х + 7) ~ — Х (Х + 2) з . Операция раскрытия скобок ЕХРАХ0(ЕХРК) преобразует зто выражение к виду 27Х +374Хз +2254Х +6517Х+7203 Чтобы продемонстрировать некоторые другие возможности символьных систем, положим т' равным 2 1 Х Х+ 2 Х+ 1 (Х+ 1)' Команда упрошения выражений,У: Б1МРТЛРУ(У), может сгенерировать выражение Х Хз + 4Хз + 5Х+ 2 Разложение этого выражения на элементарные дроби, %: РАКЕКАСТ(У), 2 — 2Х вЂ” 1 — + Х+ 2 (Х+ 1) может быть затем преобразовано с помощью операции разложения на множители, 2: ГАСТОК (%): Х (Х+ 1)'(Х+ 2) Вместе с операцией г АСТОК обычно используется функция решения уравнений БО1ХЕ.
Так, Б01.УЕ(7=0, Х) дает Х=О. Другой класс составляют функции, вычисляющие суммы и произведе,ния, Б(5М и РКООИСТ. Так, например, сумма от 1 до, Б11М (Г",1= 1, 1ХГ1Х1Тт), может быть выражена либо как формальная сумма 1ХР х 4 э 1 либо можно потреоовать фактического вычисления суммы. В последнем случае выход системы будет иметь вид (Р1) . 90 Аналогичным образом можно представлять и вычислять произведения. Символьные системы включают многие операции математического анализа.
Если, например, выражение т' имеет вид Х 5/2 1ОС (Х + 1) ТАХ (Х ~ ) то операция 1.1М1Т (У, Х - О) дает 1, а 1.1М1Т (Х «?.О6(Х), Х -э0') дает О. Для демонстрации операций дифференцирования и интегрирования положим Х У вЂ”вЂ” Х~+1 Тогда 7. = 11ЧТЕСКАТЕ(У, Х) дает (2Х вЂ” 1 АКСТАФА 1.00(Х' Х+ 1) 1, АКТ(3)/ 1.ОС(Х+ 1) 6 БОКТ(3) 3 Ответ можно проверить, выполнив операцию ШРРЕКЕХТ1АТЕ(Е).
Чтобы результат принял исходную форму, может потребоваться выполнение операции упрощения выражений. Как другой пример, команда 1ХТЕСЖАТЕ (Т12 «Б1Х(Т)т 12 «СОБ(Т)1'8, Т, — Р1, Р1) просит систему вычислить интеграл / Т'СО8а(т) Я[Ч1з(Т) ат. — л Система может выдать ответ либо в виде точного представления 77Р1 з 45261359 Р 393216 23781703800 либо преобразовать результат к виду 5 4737758 Š— 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
