Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(2.1.13) В этом случае отсутствует сила тяги и, следовательно, нет изменения массы, так что уравнения (2.1.11) упрощаются и принимают вид -срзи 2 — срзи 2 х= созд, у = а(п  — я, (2.1.14) 2т 2т который показывает, что в такой упрошенной модели при заданных начальной скорости и угле запуска траектория зависит только от сопротивления воздуха и силы земного притяжения. Теперь наша задача заключается в решении уравнений (2.1.11) с начальными условиями (2.1.5) и (2.1.13). Мы в дальнейшембудемиспользовать условия (2.1.13), поскольку они как частный спучай ио = О включают условия (2.1.12). В том тривиальном случае, когда отсутствуют как сила тяги, так и сопротивление воздуха, эти уравнения допускают явное решение (упражнение 2.1.3), Однако при любом сколько-нибудь реальном задании плотности воздуха р и силы тяги такое решение оказывается невозможным и возникает необходимость в приближенном численном решении.
Для численного решения удобно преобразовать два уравнения второго порядка (2.1.11) в систему четырех уравнений первого порядка. Дифференцируя соотношения х= исоа 0, у = из(пд, (2.1.1 5) имеем х = й соз д — и д з1п д, у = и яп д + и В сот О. (2.1.16) Подставляя теперь (2.1.15) и (2.1.1б) в уравнения (2.1.11) и разрешая последние относительно й и д, получаем й = — Т вЂ” — ср зи'~ — я яп 0 — — и, т 2 т (2.1.17) (2.1.18) д В = — — сов О. и Уравнения (2.1.17) и (2.1.18) вместе с (2.1,15) составляют систему четырех уравнений первого порядка относительно функций х, у, и и 0 Начальные условия по-прежнему задаются соотношениями (2.1.5) и (2.1.13).
Мы вернемся к численному решению задачи хищник — жертва н задачи о траектории после того, как рассмотрим основные методы, используемые для решения задач такого типа. Дополнительные замечания и ссылки 2.1 К сожалению, нам не известно никакого аналитического представления нетривиальных решений задачи (2.1.3) — (2.1.4), поэтому мы вынуждены обратиться к приближенным методам решения этой задачи. Основной темой этой книги являются численные мегоаы, заменяющие непрерывную задачу дискретной, которая затем решается на ЭВМ. Но здесь мы продемонстрируем другой подход к решению задачи (2.1.3)— (2.1.4), основанный на теории возмуьценвй.
При этом подходе исходная непрерывная задача заменяется близкой к ней, но более простой непрерывной задачей, решение которой может быть найдено аналитически. Первый шаг состоит в опредепенни стационарных состояний (х, у ), называемых также точками равновесия. В нашем случае стжтионарные состояния определяются формулами х=х — = — у(6, у=у — = — а(Д, поскольку — = ха(а+ бух) = О, =у,(7+бх,) = О. (хюуз) (~ ~ (х,у ) Разлагая правые части (2.1.3) в ряд Тейлора в окрестности точки (х,, уз), получаем х (а + Ру) = Р хз (у.
— у ) +..., у (т + 6 х) = 6 у (х — хз) +... (х — х )' (у — у )' + =с, — бх 6у (2.1,20) где с — некоторая постоянная, определяемая начальными условиями. Соотношение (2.1.20) — зто уравнение эллипса с центром в точке (х ', уз), причем различные начапь. ные значения х(0) и у (0) задают разные эллипсы. На рис. 2.2 показано семейство Юу Рис. 2.2 подобных эллипсов с центрамн в точке (х, у ), причем стрелки указывают направление, соответствующее возрастанию времейи.
Видно, что изменение популяций носит циклический характер: через определенное время популяции возвращаются к первоначальному уровню. Такой анализ на основе теории возмущений может дать полезную информацию о поведение решений (2.1.3) в окрестности стационарной точки. Поскольку уравнения (2.1.3) аппроксимнруются уравнениями (2,1.19), можно ожидать, что решения уравнений (2,1.3) будут близки к эллипсам, являющимся решениями уравнений (2.1.19) .
Это действительно подтверждается результатами численных расчетов, описываемых в последующих разделах этой главы. Дальнейшую информацию о проблеме хищник — жертва н о других задачах математической биологии можно найти в книге [71[. Подробное изложение теории движения ракет имеется, например, в книге[67) . 31 Следовательно, в окрестности этой точки можем аппроксимировать исходные уравнения (2.1.3) линейными х = 6хз(У вЂ” Уз), У = 6Уз(х — хз).
(2Л.19) С помощью некоторых основных идей, используемых прн решении дифференциальных уравнений, можно показать, по решения системы (2,1.19) удовлетворяют соотношению УПРАЖНЕНИЯ 2.1 2 1.1. при каком соотношении коэффициентов а, в, т и ь и каких уровнях популяций х и у в (2.1.3) будет обеспечена стабильность популяций (т.е. хп + Ы) = хр) и у(т+ ьг) =у 9) при всех М > 0)2 2.1.2. Выведите формулы (2.1.6) . 2.1З.
Покажите, что решение системы уравнений х= О, у = — тх с начальными условиями х(0) =у (0) = О, с(0) = и„в(0) = в, выражается формулами хО) = = (и,созв,)т, У(() = — ив~*(2+ (с ылв ) т. 2.2. Численное решение: одношаговые методы В предыдущем разделе мы привели два примера задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теперь рассмотрим такие задачи в общем постановке: с(у; — =Ях,у1(х),...,у„(х)), (=1,...,п, ач: х< Ь, Ых (2.2.1) У((а) = У1. (2.2.2) л здесь |1 — заданные функции, х — независимая переменная, у1 — заданные начальные условия. Надо найти функции у(, являющиеся решением задачи (2.2.1.) — (2.2.2) на отрезке а < х < Ь. Как мы видели в предыдущем разделе, задача хищник — жертва приводит к двум, а задача о траектории — к четырем уравнениям первого порядка (см. упражнение 2.2.1).
В приложении 2 показано, что как одно уравнение высшего порядка, так и система уравнений высшего порядка могут быть сведены к системе уравнений первого порядка, так что задача (2.2.1) — (2.2.2) является весьма общей. Дпя простоты изложения в дальнейшем ограничимся одним уравнением ау — =((ху), аК х4 Ь, (2.2.3) Ых с одной неизвестной функцией у и начальным условием у(а).=у.
(2.2.4) Далее, в конце раздела, покажем, что рассмотренные методы легко рас- пространяются на системы вида (2.2.1) . Рис. 2.3. Разбиение отрезка [а, Ь1 32 Хотя решение некоторых задача Коши может быть найдено аналитически, во многих случаях, в том числе для большинства задач, представляющих практический интерес, такой путь оказывается невозможным. Цель настоящей главы состоит в описании способов построения приближенного решения задачи Коши с помощью численных методов, в частности конечно-разностных методов. Первый шаг на пути численного решения состоит в разбиении отрезка 1а, Ь] на конечное число частей введением узловых точек а = хо < х ~ (... ...< х,„= Ь так, как зто показано на рис. 2.3. Хотя неравномерное разбиение отрезка не ведет к каким-либо особым трудностям, для простоты изложения и анализа будем предполагать, что узловые точки делят отрезок на равные отрезки.
Если обозначить через Ь расстояние между узлами (шаг сетки), то Ь = (Ь вЂ” а) /Л и х» = а + М, (й = О, 1, ..., Ж), где Ф вЂ” (целое) число отрезков разбиения. В дальнейшем будем. через у(х») обозначать значение точного решения (2.2.3) в точке хр„а через у» — соответствующее приближенное значение, построенное с помощью рассматриваемого численного метода.
У»+1 Рис. 2.4. Один шаг метода Энвера у» Вероятно, простейшей численной схемой является метад Эйлера, который определяется формулами уе =у у»+1 =у» +Ь|(х„, у»), й = О, 1,..., Ф вЂ” 1. (2.2.5) Вывод метода Эйлера очевиден. Из разложения Тейлора (см. приложение 1) функции у в окрестности точки х„имеем л' у (х»+1) = у (ха) + Й у'(ха) + — у (га) = 2 йт =у(х„)+л|(х„,у(х„))+ — у (га), (2.2.б) 2 где г» лежит внутри отрезка ~ха, х»+1~. Мы всегда будем считать, что все выписываемые пооизводные действительно существуют.
Если производная у ограничена, а шаг Ь мал, то можем отбросить последний член и, используя обозначение = в смысле "приближенно равно", написать у (ха+1) = у(х») + И~(х»,у»). Это и служит основой для (2.25). Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [х„, х„+1) отрезком касателыюй, проведенной к графику решения в точке х» (рис.
2.4) . Метод Эйлера очень прост для реализации на ЭВМ: на шаге я вычисляется значение ~(х», у»), которое затем подставляется в (2.2.5) . Таким образом, все необходимые операции, по существу, сводятся к вычислению ~(х„, у„) . Приведем теперь простой пример использования этого метода. Рассмотрим задачу у (х) =у (х) + 2х — х», у(О) О. (2.2.7) Легко проверить, что точным решением этой задачи является функция у(х) = х . Здесь |(х, у) =у' + 2х — х4 и, следовательно, формулы метода 3. Дж.
Ортега 33 Эйлера для (2.2.7) с учетом того, что х» = )сй, принимают вид у„, =у„+71(у»+2/сЬ вЂ” 7с~й~), А =О, 1,..., уе =О. (2.2.8) В табл. 2.1 приведены некоторые значения, вычисленные по формулам (2.2.8) при л = О, 1, и соответствующие значения точного решения. Таблица 2.1 Вычисленное но методу Эйлера н точное решения эадечн 12.2.7) 0,1 0,2 0,3 0,00 0,02 0,06 0,01 0,04 0,09 0,12 0,20 0,30 0,16 0,25 0,36 0,4 0,5 0,6 Как видно из табл. 2.1, численное решение сильно отличается от точного и главный вопрос при использовании метода Эйлера или любого другого численного метода состоит в оценке точности приближенных значений у».
Вообще говоря, существуют два источника погрешности этих приближений: (1) ошибка дискретизации, возникающая в результате замены дифференциального уравнения (2.2.3) разностной аппроксимапией (2.2.5); (2) ощибка округления, накопившаяся при выполнении арифметических операций по формулам (2.2.5~, Мы расс~4отрим ошибки округления позднее, а сейчас будем считать, что знаненияу» в (2.2.5) вычисляются точно, так что погрешности обусловлены только ошибкой дискретизации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
