Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. Под ред. А.А.Абрамова (1986) (1095855), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для проблем, которые в настоящее время представляют интерес, редко удается получить решение в замкнутой форме; оно должно быть каким-то образом найдено приближенно (аппрокснмировано) . Методы аппроксимации решений, которые будут рассмотрены в этой книге, представляют собой численные методы, удобные для реализации на ЭВМ; они почти полностью вытеснили из практики другие классические методы аппроксимации.

В следующем разделе мы в общем виде обсудим те шаги, которые следует предпринять для получения численного решения, и остальнаячастькнигн будет посвящена детальному рассмотрению этих шагов для целого ряда различных задач. Если мы в состоянии находить решения модели, то следующим шагом обычно является обоснование модели. Под этим мы понимаем подтвер. жденне того, что полученное рещение является достаточно точным для тех целей, ради которых данная модель разрабатывалась.

Имеются два главных источника возможных ошибок. Во-первых, это неизбежные ошибки численного решения. Общая природа этих ошибок обсуждается в следующем разделе, и одним из главных предметов последующего изложения будет более глубокое изучение происхождения этих ошибок и то, как их конт. ролнровать. С другой стороны, также неизбежны погрешности самой моде ли. Как уже отмечалось, моделирование обязательно включает в себя сле 1 дующий элемент: разработчик модели пытается учесть все действующие в реальной задаче факторы, но затем, чтобы с моделью можно было работать, он отбрасывает или аппроксимирует те из них, которые, на его взгляд, мало влияют на решение.

Вопрос заключается в том, действительно ли оправдано пренебрежение этими факторами, Первая проверка обоснованности модели состоит в том, является ли найденное решение приемлемым хотя бы в общих чертах, Если, например, проблема заключается в расчете траектории ракеты, ожидаемая максимальная высота подъема которой равна 100 км„а вычисленное решение дает высоты порядка 200 км, то очевидно, что где-то допущена грубая ошибка. После того как такие большие ошибки исключены, что обычно бывает несложной задачей, начинается следующий этап проверки, состоящий в сравнении, когда это возможно, результатов расчетов с имеющимися экспериментальными данными нли результатами наблюдений.

Зачастую это оказывается весьма тонким мероприятием, так как, хотя экспериментальные данные могут быть получены в контролируемых условиях, физика эксперимента может отличаться от математической модели. Например, в математической модели расчета потока воздуха вокруг крььча летательного аппарата обычно предполагается, что идеализированный летательный аппарат движется в бесконечной атмосфере, в то время как экспериментальные результаты получают в аэродинамической трубе, где имеется влияние стенок трубы, (Подчеркнем, что ни эксперимент, ни математическая модель не отражают подлинной ситуации, где самолет летит в атмосфере, имеющей конечные размеры.) Требуется опыт и интуиция исследователя, чтобы сделать здравое заключение о том, достаточно ли хорошо согласуются расчеты математической модели с результатами наблюдений. В начальной стадии исследования очень часто полученные результаты не согласуются и модель приходится модифицировать.

Обычно это сводится к включению в модель некоторых дополнительных членов, которыми, казалось, можно бьшо пренебречь. Но иногда требуется полный пересмотр модели и подход к изучению физической ситуации с совершенно других позиций. В любом случае, как только модель модифицирована, весь цикл начинается сначала: новое численное решение, новое обоснование, 12 Гатова дяя предсказания рос, 1.2.

Математическое моделирование и процесс решения дополнительные модификации и т.д. Это процесс схематично изображен на рис. 1.2. Если в результате процесса обоснования и модификации модель будет признана адекватной, то она готова к использованию для предсказания. В этом, конечно, и состоит цель работы. Теперь мы должны быть в состоянии ответить на вопросы, которые дали толчок к разработке модели: "На какую высоту поднимется ракета?", "Съедят ли волки всех кроликов?" и тд. Конечно, мы всегда должны относиться к получаемым ответам со здравым скептицизмом.

Просто окружающий нас физический мир слишком сложен, а наши знания о нем слишком ограничены, чтобы мы могли предсказывать будущее с абсолютной точностью. Все же надеемся, что полученные с помощью ЭВМ решения дадут нам возможность глубже проникнуть в суть изучаемой проблемы, будь то физическое явление или техническая разработка. 1.3.

Процесс численного решения В этом разделе мы обсудим общие вопросы, которые возникают при нахождении решений математических моделей с помощью ЭВМ. В последующих главах зти вопросы рассмотрены более конкретно. Когда математическая модель уже построена, первой нашей мыслью обычно является мысль о том, нельзя ли попытаться найти решение в явной замкнутой форме. Однако такое решение обычно возможно только прн определенном (часто весьма радикальном) упрощении проблемы. Такие упрощенные постановки с известными решениями могут оказаться чрезвычайно полезными как контрольные варианты для более общей исходной задачи.

Убедившись в невозможности построения явного решения, мы обращаемся к разработке численного метода дпя его нахождения. Прн выборе численного метода нахождения решения мы сначала подсознательно, а потом, по ходу разработки, все более явно учитываем те вычислительные средства и программное обеспечение, которые имеются в нашем распоряжении. Подход в случае мини-ЭВМ может быть совершенно отличен от подхода в случае очень большой ЭВМ, Но обычно эти отличия в подходе касаются размера модели, а не ее типа, и определенные общие вопросы должны быть рассмотрены независимо от того, какую ЭВМ мы собираемся использовать. Может быть, наиболее важным фактором в научном программировании является то, что компьютеры имеют дело с конечным числом цифр и символов.

В силу этого мы, вообще говоря, не можем выполнять арифметические действия в классе вещественных чисел так, как привыкли в чистой математике. Арифметические операции, выполняемые ЭВМ, ограничены конечным числом разрядов, в то время как численное представление большинства вещественных чисел требует бесконечного числа разрядов. Например, численное представление таких фундаментальных констант, как я и е, требует бескоыечного числа цифр и никогда не может быть введено в ЭВМ абсолютно точно. Более того, даже если наши исходные данные допускают точное численное представление в ЭВМ, в результате выполнения арифметических операций мы в конце концов допустим некоторьге погрешности. Например, для численного представления частного от деления 13 двух четырехзначных чисел может потребоваться бесконечное число цифр.

И даже произведение двух четырехзначных чисел в общем случае требует для представления восьми цифр, так что после нескольких умножений число разрядов, необходимых для точного запоминания результата, быстро выйдет из разумных пределов. Если, наример, предположить, что на ЭВМ реализована четырехразридная десятичная арифметика, то результат операции 0,8132 0,6135 = 0,49889820 будет, в зависимости от компьютера, представлен либо как 0,4988, либо как 0,4989.

Следовательно, нужно с самого начала примириться с тем фактом, что мы не в состоянии выполнять арифметические действия на ЭВМ абсолютно точно. Прн выполнении почти всех арифметических операций будем делать небольшие ошибки, называемые оиибками округления, и наша задача — обеспечить, чтобы зти небольшие ошибки не накапливались так сильно, чтобы полностью исказить результаты вычислений. Более точно, каждая вычислительная машина характеризуется длиной слова, т.е. количеством двоичных разрядов, составляющих каждое слово памяти.

Эта длина слова и определяет число цифр, с которыми в машине выполняются обычные арифметические действия, называемые арифметикой с одинарной точностью. В большинстве используемых для научных расчетов ЭВМ это число эквивалентно от 7 до 14 десятичным знакам, Возможна также реализация арифметики более высокой точности. На многих машинах арифметика сдвойной точностью,в которой, по существу, удваивается количество цифр, реализуется аппаратурно.

В этом случае выполнение программ, использующих арифметику с двойной точностью, если и увеличивает время счета по сравнению с вариантами одинарной точности, то весьма умеренно, и только в редких случаях время счета увеличивается вдвое. К счастью, большинство современных крупных ЭВМ с короткими длинами слов имеют очень эффективную арифметику двойной точности. В то же время на некоторых машинах арифметика двойной точности реализована с помощью программного обеспечения и в несколько раз увеличивает время счета по сравнению с вариантами одинарной точности.

Арифметика более высокой точности, чем двойная, реализуется только с помощью программного обеспечения и с увеличением порядка точности становится все более и более неэффективной. В практических задачах арифметика высокой точности используется редко. Ошиокн округления могут по-разному влиять на окончательный результат вычислений. Во-первых, при выполнении миллионов операций, каждая из которых вносит небольшую ошибку, существует опасность, что эти маленькие ошибки накопятся так, что поглотят значительную часть точности вычисленного результата.

Характеристики

Список файлов книги