Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши (2007) (1095469), страница 7
Текст из файла (страница 7)
3.7).Рис. 3.71) −x + t < −π ∨ −x − t > π. Тогда отрезок интегрирования[x − t, x + t] располагается либо целиком левее отрезка [−π, π], либо целиком правее, следовательно, u(2) (x, t) равна нулю;572) −x − t < −π ∧ −π < −x + t < π. Эта ситуация частичного перекрытия отрезков изображена на рис. 3.7. Тогда u(2) (x, t) =1= (−x + t + π);23) −π < −x − t ∧ −x + t < π.
Отрезок интегрирования целиком1лежит внутри [−π, π] и тогда u(2) (x, t) = (−x + t + x + t) = t;21 Rπ4) −x − t < −π ∧ −x + t > π. Тогда u(2) (x, t) =dξ = π;2 −π5) −π < −x − t < π ∧ π < −x + t. Здесь также имеет место1частичное перекрытие отрезков u(2) (x, t) = (π + x + t). Таким2образом, второе слагаемое u(2) (x, t) является кусочно-линейнойфункцией двух переменных, график которой в моменты времениπt1 = , t2 = π и t3 > π приведен на рис. 3.8.2Рис. 3.8Решение задачи представляет собой сумму u(x, t) = u(1) (x, t) ++ u(2) (x, t).583.4. Решение задачи Коши в обобщенной постановкедля уравнения теплопроводности.Примеры решения задачРассмотрим теперь уравнение теплопроводности (диффузии)Lтепл u = f (x, t),(3..19)u|t=0 = u0 (x),(3..20)Lтепл ũ(x, t) = f˜(x, t) + u0 (x)δ(t).(3..21)∂∂2∂где Lтепл = −a2 2 −b −c.
Последние два слагаемых, отвеча∂x∂t∂xющих за конвективный перенос в движущейся среде и охлаждение(подогрев) с боковой поверхности, естественно, могут отсутствовать. Считаем также, что f ∈ C(t > 0), u0 ∈ C(R).Предположим, что существует классическое решение u(x, t)этой задачи, т.
е. u ∈ C 2 (t > 0) ∩ C(t > 0) удовлетворяет уравнению (3.19) при t > 0 и начальному условию (3.20) при t → +0.Если продолжить функции u и f на множество t < 0, положивũ(x, t) = u(x, t)θ(t), f˜(x, t) = f (x, t)θ(t), то совершенно аналогично рассуждением предыдущего параграфа можно показать, чтоũ удовлетворяет в обобщенном смысле уравнениюНачальное возмущение u0 для функции ũ(x, t) играет рольмгновенно действующего источника u0 (x)δ(t) типа простого слояна прямой t = 0. Аналогично заключаем, что классические решения задачи Коши (3.19)—(3.20) содержатся среди тех решенийуравнения (3.21), которые обращаются в нуль при t < 0.
Это даетоснование ввести следующее определение.Определение 3.2. Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводностиLтепл ũ = F (x, t)(3..22)с источником F ∈ D0 (R2 ) называется задача о нахождении обобщенной функции ũ ∈ D0 (R2 ), удовлетворяющей этому уравнениюв обобщенном смысле и обращающейся в нуль на t < 0.59Необходимым условием разрешимости обобщенной задачи Коши является равенство F = 0 на множестве t < 0.Правая часть вида F (x, t) = f˜(x, t) + u0 (x)δ(t) этому условию удовлетворяет. Значит, существует свертка этой функции с фундаментальным решением оператора теплопроводности E(x, t) =2θ(t) ct− (bt+x)2t4a√ e=, которая, согласно изложенному в разд.
3.1,2a πtявляется решением (3.22).Найдем сначала свертку с f˜(x, t):u(1) = E(x, t) ∗ f (x, t)θ(t) =ZZ(b(t−τ)+x−ξ)2θ(t − τ)c(t−τ)−4a2 (t−τ)pef (ξ, τ)θ(τ)dτdξ ==2a π (t − τ)+∞Zt Z(b(t−τ)+x−ξ)2f (ξ, τ)c(t−τ)−4a2 (t−τ)p=edξdτ.2a π (t − τ)0 −∞Теперь свернем E(x, t) с u0 (x)δ(t):u(2) = E(x, t) ∗ u0 (x)δ(t) = E(x, t) ∗ u0 (x) =+∞Z2θ(t) ct− (bt+x−ξ)4a2 t√ e=u0 (ξ)dξ =2a πt−∞θ(t)= √ ect2a πt+∞Z(bt+x−ξ)2u0 (ξ)e− 4a2 t dξ.−∞Суммируя u(1) и u(2) , получаем известную формулу Пуассонаθ(t)u(x, t) = √ ect2a πt++∞Zt Z0 −∞60+∞Z(bt+x−ξ)2u0 (ξ)e− 4a2 t dξ+−∞(b(t−τ)+x−ξ)f (ξ, τ)c(t−τ)−4a2 (t−τ)pedξdτ.
(3..23)2a π (t − τ)2Приведем без доказательства соответствующую теорему.Теорема 3.4. Пусть F (x, t) = f˜(x, t) + u0 (x)δ(t), где функция u0 = u0 (x) ограничена, а f˜ = f (x, t)θ(t) принадлежит классуфункций, обращающихся в нуль на t < 0 и ограниченных в полосахвида 0 6 t 6 T . Тогда в этом классе существует единственное решение обобщенной задачи Коши (3.22), представляемое формулой(3.23) и непрерывно зависящее от u0 и f . Если же f ∈ C 2 (t > 0)и все ее производные до второго порядка ограничены на каждойполосе 0 6 t 6 T , а u0 ∈ C(R), то решение (3.23) является классическим.Рассмотрим несколько примеров.Пример 3.7. Найдем решение обобщенной задачи Коши ũ0t == a2 ũ00xx + θ(x)δ(t).(x−ξ)2Rθ(t) +∞Согласно (3.23) ũ(x, t) = √θ(ξ)e− 4a2 t dξ =2a πt −∞θ(t)= √2a πtθ(t)=√2π+∞Z− √xa 2t+∞Z(ξ−x)2ξ−x−24at√ = η,edξ =a 2t02e− η2dη = θ(t) 1 − Φ−x√a 2tdξ√ = dηa 2t= θ(t)Φ=x√a 2t,1 Rx − η2где введено стандартное обозначение Φ(x) = √e 2 dη для2π −∞функции распределения гауссовской случайной величины.
Иногда вместо Φ(x) используют так называемую функцию ошибок2 Rx −η2erf(x) = √edη, связанную с Φ(x) соотношением Φ(x) =π01x1 + erf √=.22В этом примере для построения графика u = u(x, t) при конкретных значенияхt > 0 достаточно растянуть стандартный гра√фик Φ(x) в a 2t раз вдоль оси x.
На рис. 3.9 изображены графики1u = u(x, 0) и u = u(x, 2) для a = . При этом u = u(x, 2) = Φ(x).261Рис. 3.9Эта задача имеет простую физическую интерпретацию: функция u = u(x, t) есть распределение температур в бесконечномстержне в момент времени t. Начальное распределение u(x, 0) == θ(x) реализуется при стыковке двух кусков, имеющих разнуютемпературу (рис. 3.9, а).
Но при t > 0 распределение температурпредставляет собой уже гладкую функцию (см. рис. 3.9, б). Интересно отметить, что для волнового уравнения с тем же начальнымпрофилем u(x, 0) = θ(x) разрыв со временем не исчезает, а перемещается вправо и влево со скоростью a (см. рис. 3.4).Пример 3.8. Найдем решение обобщенной задачи Кошиθ(t − 1)2ũ0t = a2 ũ00xx − bũ0x + √+ e−x δ(t).t−1∂∂2Фундаментальным решением оператора L(∂) =− a2 2 +∂x∂t∂является, согласно параграфу 2.4, функция E(x, t) =+ b∂x(x−bt)2θ(t)= √ e− 4a2 t .2a πtВычислим первое слагаемое в формуле Пуассона:θ(t − 1)u(1) (x, t) = E(x, t) ∗ √=t−1=Z∞ Z∞−∞ −∞622(−b(t−τ)+x−ξ)θ(t − τ)θ(τ − 1)−4a2 (t−τ)p√dξdτ =eτ−12a π (t − τ)=×+∞Z−∞2apθ(t − τ)θ(τ − 1)√×τ−11π (t − τ)= θ(t − 1)Zt+∞Z(−b(t−τ)+x−ξ)2−4a2 (t−τ)edξ dτ =−∞√√dτ= 2θ(t − 1) t − 1.τ−1Интеграл в скобках равен единице из вероятностных соображений,поскольку2ap1π (t − τ)e−1(ξ−x−b(t−τ))24a2 (t−τ)=√(ξ−x−b(t−τ))1−4a2 (t−τ)pe2πa 2(t − τ)2есть плотность нормально распределенной случайной величины сpпараметрами −x + b(t − τ), a 2(t − τ) .Для вычисления второго слагаемого (с учетом (1.10))22u(2) (x, t) = E(x, t) ∗ e−x δ(t) = E(x, t) ∗ e−x =θ(t)= √2a πt+∞Z(−bt+x−ξ)22e−ξ e− 4a2 t dξвыделим сначала полный квадрат в показателе подынтегральнойфункции.
Получимi1 h− 2 4a2 tξ2 + (ξ − x + bt)2 =4a t"#ξ (x − bt) (x − bt)24a2 t + 1 2ξ −2 2=+ 2=−4a2 t4a t + 14a t + 1−∞"#4a2 t (x − bt)2(x − bt)24a2 t + 1 2ξ (x − bt)ξ −2 2+=+=−4a2 t4a t + 1(4a2 t + 1)2(4a2 t + 1)2634a2 t + 1(x − bt) 2(x − bt)2=−ξ−−.4a2 t4a2 t + 1(4a2 t + 1)Далее, вновь выделяя под интегралом плотность нормального!√(x − bt)a 2tраспределения (на этот раз с параметрами,,√4a2 t + 1 4a2 t + 1находим:2u(2)θ(t) − (x−bt)(x, t) = √ e (4a2 t+1)2a πt+∞hiZ2(x−bt) 2− 4a t+1ξ− 224a t+1e 4a tdξ =−∞+∞√hiZ2(x−bt)2(x−bt) 2−− 4a t+1ξ− 2θ(t)4a2 t + 14a2 t+1)2(2a2 t)4a t+1(√√=√eedξ =2πa 2t4a2 t + 1−∞2(x−bt)−θ(t)e (4a2 t+1) .=√4a2 t + 1Рис. 3.1064√Окончательно получаем ответ u(x, t) = 2θ(t − 1) t − 1 +(x−bt)2−θ(t)(e 4a2 t+1) .
График функции в моменты времени t =+ √24a t + 1= 0, 1, 2 показан на рис. 3.10 для значений параметров a = b = 1.Анализируя полученный ответ и графики, мы видим, что вкладвторого слагаемого со временем уменьшается (происходит выравнивание температуры), в то время как первое отвечает за равномерное нарастание√ температуры всего стержня, начиная с моментаt = 1, по закону t − 1.ПриложениеВарианты типового расчета по теме«Фундаментальное решение линейногодифференциального оператора и задача Коши»Задача 1.
Найти фундаментальное решение E(t) указанногоddдифференциального оператора L(d) = a1 + b1 a2 + b2 ×dtdtd× a3 + b3 . С помощью свертки найти решение обыкновенноdtго дифференциального уравнения L(d)u = θ(t − t0 )f (t), описывающего поведение линейной динамической системы при включении в момент времени t0 внешнего воздействия, характеризуемогофункцией f (t).
Проверить полученные результаты и построить совмещенные графики функций E(t), θ(t − t0 )f (t) и u(t).№ варианта1b1a2b2a3b3f (t)010122θ(2 − t)et–2sin t0θ(1 − t)–1cos t0θ(π − t)−π1θ(2 − t)et0−t201120130,51010140111125110122611210170,5101118011011e−t−2t–1−πsin 2te911021010010110θ(π−t) sin t−t1110101112101i1−i1366a0111000e–2π0cos tπ/2−2t1e№ вариантаa0b1a2b2a3b3f (t)t014101111cos t15111111161011/π + i1170111/π + i11/π − iθ(2 − t)−π/218011i11910,51112011/π1i1–2sin t01/π − icos t−π/22θ(2 − t)−i−isin tθ(5 − t)π–21Задача 2. С помощью свертки найти решение обобщенной задачи Коши для уравнения L(∂)ũ = θ(t)f (x, t) + u0 (x)δ(t) (уравнениетеплопроводности) или L(∂)ũ = θ(t)f (x, t)+u0 (x)δ0 (t)+u1 (x)δ(t)(волновое уравнение).Проверить полученный результат и приняв, если это не задано, a = 1, построить совмещенные графики функций u = u (x, 0)и u = u (x, 1).
Дать физическую интерпретацию математическоймодели и полученного решения.№ вариантаL(∂)f (x, t)u0 (x)u1 (x)1∂2∂2− a2 22∂t∂xcos(x + at)02x22∂22 ∂−a∂t2∂x2t ln t3x03∂2∂2− a2 22∂t∂xx+tex042∂22 ∂−a∂t2∂x2x2cos xcos x5∂∂2∂− a2 2 − 2−1∂t∂x∂x11–67№ вариантаL(∂)f (x, t)u0 (x)u1 (x)6∂∂2−1−∂t ∂x2etcos x–7∂∂2− a2 2∂x∂txx–8∂∂2− a2 2∂x∂tx2x2–9∂∂2−2 2 −2∂x∂tetcos x–10∂∂2−∂t ∂x2√tex–11∂∂2− a2 2∂x∂t√tshx–12∂∂2− a2 2∂x∂t1√txex–132∂22 ∂−a∂t2∂x2sin t011 + x214∂∂2−∂t ∂x2x cos xx cos x–15∂∂2∂− a2 2 −−1∂x∂t∂xθ(t − 1)θ(x)–16∂∂2∂− a2 2 − 2∂x∂t∂xθ(t − 1)θ(1 − x)–17∂∂2∂− a2 2 −+2∂x∂t∂xθ(t − 1)et θ(1−|x|)–18∂∂2∂− a2 2 − 3−1∂x∂t∂xθ(t − 1)etθ(x)ex–19∂2∂2− a2 22∂t∂xet11 + x20202∂22 ∂−a∂t2∂x20ln(1+ex )e−x682СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука,1981.2. Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математическойфизики. М.: Физматлит, 2001.3. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравненияматематической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.4. Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Интегральные преобразования иоперационное исчисление. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.ОГЛАВЛЕНИЕ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
