Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши (2007) (1095469), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рассмотрим в качестве примера также функцию1f (t) = . С ее помощью можно определить функционал, действуtющий по правилу−∞1, ϕt=VpZϕ(t)dt ≡ limε→0t Z−ε+−∞+∞ Zεϕ(t)dt.tЭтот функционал, очевидно, линеен в силу соответствующе+∞Z−εZϕ(t)ϕ(t)dt иdt, которые на самомго свойства интеграловttделе берутся по конечному промежутку из-за финитности ϕ. Можно показать, что он также и непрерывен [1]. В предположенииsupp ϕ ⊂ [−R, R] также можно записать!Z1ϕ(t), ϕ = limdt =ε→0tt−∞εR>|t|>ε= limε→0ZR>|t|>ε8ϕ(t) − ϕ(0)dt +tZR>|t|>εϕ(0)dtt!== limε→0Zϕ(t) − ϕ(0)dttR>|t|>ε!=ZRϕ(t) − ϕ(0)dt =t−R=VpZϕ(t)dt.tОписанный здесь процесс называется регуляризацией функционала.Далее в подробностях в основном будем рассматривать одномерный случай, хотя все определения и факты можно обобщить и намногомерный.
В качестве примера многомерной сингулярной функции в R3 рассмотрим простой слой на поверхности.Пример 1.2 (простой слой на поверхности). Рассмотрим кусочно-гладкую поверхность S ⊂ R3 . Определим обобщенную функцию μδS , действующую по правилуZZ(μδS (x), ϕ(x)) =μδS (x)ϕ(x)dx =μ(x)ϕ(x)dS,R3где ϕ ∈ D(R3 ), а μ — непрерывная в R3функция. Этот функционал ставит в соответствие основной функции ϕ результат ее интегрирования по поверхности Sс весовой функцией μ.Такого рода функционалы используются для описания распределения массили зарядов на поверхности (рис. 1.3).Другие примеры обобщенных функций можно найти, например, в [2].
В [3]изложен другой подход к определениюдельта-функции (как слабого пределафункциональной последовательности).SРис. 1.31.3. Простейшие операции с обобщенными функциями1. Смещение. Выясним смысл смещенной дельта-функцииδ(t − a). Для этого рассмотрим вначале регулярную обобщенную9функциюf (t) и ее смещение f (t − a).
По определению регулярногоZ∞функционала (f (t − a), ϕ(t)) =f (t − a)ϕ(t)dt. Выполним винтеграле линейную замену t − a = u, а затем вновь обозначимпеременную интегрирования буквой t:−∞Z∞−∞= t−a=uf (t − a)ϕ(t)dt = t = u + a dt = duZ∞f (u)ϕ(u + a)du =−∞Z∞=f (t)ϕ(t + a)dt = (f (t), ϕ(t + a)) .−∞Таким образом, результат действия регулярного функционалаf (t − a) на функцию ϕ(t) совпадает с результатом действия f (t)на ϕ(t + a):(f (t − a), ϕ(t)) = (f (t), ϕ(t + a)) .(1..2)Будем считать (1.2) определением смещенной обобщеннойфункции. Тогда (δ(t − a), ϕ(t)) = (δ(t), ϕ(t + a)) = ϕ(a), т. е.функционал δ(t − a) ставит в соответствие функции ее значение вточке a.
Но тогда и интегральная запись(δ(t − a), ϕ(t)) ==Z∞−∞Z∞−∞δ(t − a)ϕ(t)dt =δ(u)ϕ(u + a)du = (δ(u), ϕ(u + a)) = ϕ(a)не содержит никакого противоречия, и для удобства ее также можноиспользовать.Равенство (1.2) можно интерпретировать как перенесение действия (в данном случае сдвига аргумента) с обобщенной функции10на основную. Этот же принцип используется и для определениядругих действий с обобщенными функциями.2. Умножение на число. Умножение обобщенной функции f (t)на действительное число α определяется так: (αf (t), ϕ(t)) == α (f (t), ϕ(t)) = (f (t), αϕ(t)).
В частности, функционал αδ(t)будет ставить в соответствие ∀ϕ ∈ D произведение αϕ(0).3. Умножение на функцию. Обобщенные функции можноумножать на бесконечно дифференцируемые функции. А именно,если функция a(t) — бесконечно дифференцируема, то произведение a(t)f (t) — это функционал, действующий на ∀ϕ ∈ D так:(a(t)f (t), ϕ(t)) =Z∞−∞Z∞=[a(t)f (t)] ϕ(t)dt =f (t) [a(t)ϕ(t)] dt = (f (t), a(t)ϕ(t)) . (1..3)−∞Равенство (1.3), очевидно, верно для регулярных функционалов, поскольку финитная и бесконечно дифференцируемая функцияaϕ ∈ D.
Значит, (1.3) можно считать определением и для сингулярных f (t). Так, произведение a(t)δ(t) ставит в соответствие ∀ϕ ∈ Dзначение a(0)ϕ(0), поскольку(a(t)δ(t), ϕ(t)) = (δ(t), a(t)ϕ(t)) =Z∞=δ(t) [a(t)ϕ(t)] dt = a(0)ϕ(0).−∞Следовательно, в обобщенном смысле a(t)δ(t) = a(0)δ(t), поскольку обе функции действуют на ϕ одинаково. Например, действие tδ(t) на ∀ϕ ∈ D совпадает с действием тождественного нуля.Значит, в пространстве обобщенных функций tδ(t) ≡ 0.4. Линейная замена аргумента.
Рассмотрим линейную заменуаргумента, т. е. выясним, как действует функционал f (at + b). Еслиf (t) регулярный функционал, то, произведя замену переменной винтеграле, получим11 at + b = u∞u−bZ t=a(f (at + b), ϕ(t)) =f (at + b)ϕ(t)dt = −∞ dt = dua=Z∞f (u)ϕ−∞u−badu=|a|f (t),1ϕ|a|=t−ba.(Знак модуля поставлен потому, что если a < 0, то при замене переменных нижний и верхний пределы интегрирования меняются местами.)Итак, положим по определению1t−b.(f (at + b), ϕ(t)) = f (t),ϕ(1..4)|a|aСогласно (1.4), действие функционала δ(−t) совпадает с действием δ(t), поскольку (δ(−t), f (t)) = (δ(t), f (−t)) = f (0), т.
е.δ(−t) = δ(t).Заметим также, что формула (1.2) является частным случаем (1.4).1.4. Дифференцирование обобщенных функцийПерейдем к определению производной обобщенной функции.Если считать, что регулярный функционал задается дифференцируемой функцией f (t), то, принимая во внимание финитность ϕ ∈ D,имеемf (t), ϕ(t) =0Z∞0f (t)ϕ(t)dt =−∞−∞ϕ(t)df (t) =∞Z∞−f (t)ϕ0 (t)dt = f (t), −ϕ0 (t) .= ϕ(t)f (t)−∞12Z∞−∞Опуская промежуточные этапы, получаем определениеf 0 (t), ϕ(t) = f (t), −ϕ0 (t) .(1..5)Пример 1.3. Найдем δ0 (t). Производнаядельта-функции, согласно (1.5), действует так: δ0 (t), ϕ(t) = (δ(t), −ϕ0 (t)) = −ϕ0 (0).Например,Z∞−∞t=∞Z∞δ (t) arctg(t)dt = δ(t) arctg(t)−δ(t) arctg0 (t)dt =0t=−∞=−Z∞−∞−∞11 δ(t)dt = −= −1.1 + t21 + t2 t=0Замечание 1.3.
На самом деле ϕ(t) = arctg(t), конечно, не является основной функцией, но произведение arctg(t)δ(t) вобобщенном смысле является тождественным нулем, а поэтомуt=∞= 0. Подобно тому, как δ(t) определена на мноδ(t) arctg(t)жестве всех непрерывных функций, так и δ0 (t) может действоватьна любые непрерывно дифференцируемые функции.Выясним физический смысл δ0 (t). Составим формально разδ(t + ε) − δ(t)ностьи подействуем ею на дифференцируемуюεфункцию ϕ(t).
Получимt=−∞δ(t + ε) − δ(t), ϕ(t)ε=−=ϕ(−ε) − ϕ(0)=εϕ(−ε) − ϕ(0)−−−→ −ϕ0 (0) = δ0 (t), ϕ(t) . (1..6)ε→0−εНо если ограничиться положительными значениями ε, тоδ(t + ε) − δ(t)можно рассматривать как плотность зарядов диεполя с электрическим моментом (−1) в точке t = 0 на прямой13(рис. 1.4, а). Тогда соотношение (1.6) означает, что в пределе искомая плотность равна δ0 (t). Графическая иллюстрация δ0 (t) дана нарис.
1.4, б. При этом полный заряд диполя равен нулю, посколькуZ∞−∞δ0 (t)dt = δ0 (t), 1 = δ(t), −10 = 0,а его момент, естественно, равенZ∞−∞δ0 (t)tdt = δ0 (t), t = δ(t), −t0 = −1.Рис. 1.4Пример 1.4. Функция Хевисайда θ(t) =1, t > 0также0, t < 0может рассматриваться как обобщенная, действующая на ϕ ∈ DZ∞Z∞естественным образом: (θ(t), ϕ(t)) =θ(t)ϕ(t)dt =ϕ(t)dt.−∞140Найдем ее обобщенную производную: (θ0 (t), ϕ(t)) = (θ(t),Z∞0−ϕ (t)) = − ϕ0 (t)dt = −ϕ(+∞) + ϕ(0) = ϕ(0) = (δ(t), ϕ(t)).Таким образом, в пространстве обобщенных функций θ0 (t) = δ(t).При этом θ(t) по определению считается обобщенной первообразной для δ(t).Заметим, что θ(t) можно определить на более широком, чем D,Z∞множестве. Достаточно, чтобыϕ(t)dt был определен и обладал0свойствами линейности и непрерывности.Аналогично можно легко установить, что θ0 (t − a) = δ(t − a).Пример 1.5.
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую наR\ {t0 } функцию f (t). Таким образом, t0 — точка разрыва 1-го рода, обозначим f+ (t0 ) − f− (t0 ) = C. Обозначим также через {f 0 (t)}ее обычную производную, которая, естественно, не определена в t0 .Вычислим ее обобщенную производную f 0 (t). Имеем следующуюцепочку:0Z∞(f (t), ϕ(t)) = −(f (t), ϕ (t)) = −00f (t)ϕ0 (t)dt =−∞=−Zt0−∞= lim −ε→0++∞Zf (t)ϕ (t)dt −f (t)ϕ0 (t)dt =0t0tZ0 −ε−∞0f (t)ϕ (t)dt −t0 −ε= lim −f (t)ϕ(t)+ε→0+−∞Z∞0f (t)ϕ (t)dt =t0 +εtZ0 −ε−∞0{f (t)}ϕ(t)dt ++∞+∞Z0+ lim −f (t)ϕ(t)+{f (t)}ϕ(t)dt =ε→0+t0 +εt0 +ε15= lim (−f (t0 − ε)ϕ(t0 − ε) + f (t0 + ε)ϕ(t0 + ε))+ε→0++Z∞−∞{f 0 (t)}ϕ(t)dt = (f+ (t0 ) − f− (t0 ))ϕ(t0 ) + ({f 0 (t)}, ϕ(t)) == C ϕ(t0 ) + ({f 0 (t)}, ϕ(t)) = C(δ(t − t0 ), ϕ(t)) + ({f 0 (t)}, ϕ(t)) == (C δ(t − t0 ) + {f 0 (t)}, ϕ(t)).Таким образом, обобщенная производная функции, имеющей вточке t0 скачок, равнаf 0 (t) = (f+ (t0 ) − f− (t0 )) δ(t − t0 ) + f 0 (t) .(1..7)Пример 1.6.
Пусть u(t) — частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения u00 + a1 u0 + a2 u = f (t) сначальными условиями u(0) = u0 , u0 (0) = u1 . Покажем, что тогдапроизведение ũ(t) = θ(t)u(t) удовлетворяет в обобщенном смыслеуравнениюũ00 + a1 ũ0 + a2 ũ = θ(t)f (t) + (u1 + a1 u0 )δ(t) + u0 δ0 (t).В самом деле, согласно (1.7),(θ(t)u(t))0 = θ(t)u0 (t) + u0 δ(t) (функция θ(t)u(t) имеет в нулескачок u0 ),(θ(t)u0 (t))0 = θ(t)u00 (t)+u1 δ(t) (функция θ(t)u0 (t) имеет в нулескачок u1 ).Но тогда (θ(t)u(t))00 = θ(t)u00 (t) + u1 δ(t) + u0 δ0 (t), поскольку(u0 δ(t))0 = u0 δ0 (t).
Следовательно,(θ(t)u(t))00 + a1 (θ(t)u(t))0 + a2 (θ(t)u(t)) == θ(t) u00 (t) + a1 u0 (t) + a2 u(t) + u1 δ(t) + u0 a1 δ(t) + u0 δ0 (t) == θ(t)f (t) + (u1 + u0 a1 ) δ(t) + u0 δ0 (t).Далее заметим, что, поскольку ∀ϕ ∈ D имеет производные любого порядка, все обобщенные функции имеют производные любого16порядка, которые также являются обобщенными функциями. Аналогично формуле (1.5) можно определить ∀ϕ ∈ D (1..8)f (n) (t), ϕ(t) = f (t), (−1)n ϕ(n) (t) .Рассмотрим также обобщение δ0 (t).Пример 1.7 (двойной слой на поверхности). Пусть S — кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, n — нормаль к S, а ν(x) —3обобщеннуюнепрерывная функция.
Определим в R∂∂функцию(νδS ), действующую по правилу(νδS ) , ϕ =∂n∂nZ∂ ϕ(x)dS.= − ν(x)∂nЭта обобщенная функция называется двойным слоем на поверхности S с плотностью ν(x), ориентированным по нормали n. Онаописывает плотность зарядов, соответствующую распределениюдиполей на поверхности S с поверхностной плотностью моментаν(x) и ориентированных вдоль заданного направления нормали.S1.5. Свертка обобщенных функцийРассмотрим вначале две регулярные локально интегрируемыеобобщенные Zфункции h и g.
Тогда по определению свертки имеем(h ∗ g) (t) = h (t − y) g(y)dy. Следовательно, ∀ϕ ∈ D:((h ∗ g) (t), ϕ(t)) ===Z ZZZ(h ∗ g) (t)ϕ(t)dt =h(y)g(t − y)dy ϕ(t)dt =h(y)ZZg(x)ϕ(x + y)dx dy =h(y)ZZZZ(g ∗ h)(t)ϕ(t)dt =g(t − y)ϕ(t)dt dy =h(y)g(x)ϕ(x + y)dxdy.Таким образом, по общему принципу свертку обобщенныхфункций нужно определять как функционал, действующий по правилу(h ∗ g, ϕ) = (h(x)g(y), ϕ(x + y)) .(1..9)17Сложность заключается в том, что ϕ(x + y)не обязательно принадлежит пространству основных функций на R2 , и свертка существует не для всех основных функций.Пример 1.8. Свертка любой обобщенной функции f с дельтафункцией существует и равнаZ Z самой функции f .
Действительно,f (y)δ(x)ϕ(x + y)dxdy внутреннийесли в двойном интегралеинтеграл брать по переменной x, то согласно формуле (1.9),(f ∗ δ, ϕ) =ZZf (y)δ(x)ϕ(x + y)dxdy =Zf (y)ϕ(y)dy = (f, ϕ),т. е. в обобщенном смысле f = f ∗ δ, или в интегральной формеf (t) =Zf (ξ)δ(t − ξ)dξ.(1..10)Математически формула (1.10) представляет разложение обобщенной функции по дельта-функциям. Физически эту формулуможно интерпретировать как возможность разложения всякой субстанции на атомарные части.Приведем без доказательства два достаточных условия существования свертки.I.
Если одна из двух обобщенных функций финитная (т. е. вобобщенном смысле совпадает с тождественным нулем вне некоторого ограниченного множества), то их свертка существует.II. Если обе обобщенные функции обращаются в нуль при t < 0,то их свертка существует.Перечислим основные свойства свертки.1. Линейность (αf + βg) ∗ h = α (f ∗ h) + β (g ∗ h).2. Коммутативность f ∗ g = g ∗ f .3. Дифференцирование (f ∗ g)0 = f 0 ∗ g = f ∗ g 0 .Свойства 1 и 2 сразу следуют из определения, а справедливостьсвойства 3 доказывает следующая цепочка расссуждений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
