Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши (2007) (1095469), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для произвольной ϕ ∈ D получаем18(f ∗ g)0 , ϕ = − f ∗ g, ϕ0 = − f (x)g(y), ϕ0 (x + y) =ZZ=−f (x)g(y)ϕ0 (x + y)dxdy =+∞+∞+∞ ZZg(y)dy f (x)ϕ(x + y)−f 0 (x)ϕ(x + y)dx ==−−∞−∞=ZZ−∞f 0 (x)g(y)ϕ(x + y)dxdy = f0 ∗ g , ϕ .+∞Здесь равенство f (x)ϕ(x + y)= 0 следует из финитностифункции ϕ(x + y) при фиксированном значении переменной y.Пример 1.9. Пусть f непрерывная на Rn \ {0} с интегрируемойособенностью в нуле, а μδS — простой слой на поверхности S. Тогда согласно условию I (μδS —Z финитная обобщенная функция) су−∞ществует свертка f ∗ μδS =гласно (1.9)Sμ(y)f (x − y)dSy .
В самом деле, со-(f ∗ μδS , ϕ) = (f (ξ)μδS (y), ϕ(ξ + y)) =ZZ=f (ξ)μδS (y)ϕ(ξ + y)dξdy =ZZZZ= μ(y) f (ξ)ϕ(ξ + y)dξdSy = μ(y) f (x − y)ϕ(x)dxdSy =S=Zϕ(x)ZSSμ(y)f (x − y)dSy dx =Z= μ(y)f (x − y)dSy , ϕ(x) .S191.6. Преобразование Фурье обобщенных функцийКак известно, преобразование Фурье (будем обозначать егоF [ϕ] ≡ ϕ̂) функции ϕ определяется по формуле+∞Zϕ̂(ξ) =e−iξx ϕ(x)dx,(1..11)−∞или, в многомерном случае при x = {x1 , . . . , xn }, ξ = {ξ1 , . .
. , ξn }Zϕ̂(ξ) = e−i(ξ,x) ϕ(x)dx.RnОчевидно, что для ϕ ∈ D ϕ̂ существует, поскольку интегралв формуле (1.11) определен. Но обычно преобразование Фурье рассматривают на более широком пространстве I, состоящем из бесконечно дифференцируемых функций, убывающих при |x| → ∞1вместе со своими производными быстрее любой степени.|x|Обозначим пространство линейных и непрерывных функционалов на I через I 0 . I 0 обычно называют пространством обобщенных функций медленного роста. (Интересно, что хотя D ⊂ I, ноI 0 ⊂ D0 .)На I 0 также можно определить преобразование Фурье ∀ϕ ∈ I:(1..12)fˆ, ϕ = (f, ϕ̂) .Определение (1.12) естественно, поскольку для регулярныхфункционалов имеет место цепочкаZZ Zf (x)e−iξx dxϕ(ξ)dξ =fˆ(ξ), ϕ(ξ) = fˆ(ξ)ϕ(ξ)dξ ==Zf (x)Z−iξxeϕ(ξ)dξdx =Zf (x) ϕ̂(x)dx = (f (x), ϕ̂(x)).Рассмотрим несколько примеров.20Пример 1.10.
Найдем преобразование Фурье от дельта-функции δ(t). Согласно формуле (1.12)δ̂, ϕ = (δ, ϕ̂) ==Z∞−∞ϕ(t) Z∞−∞Z∞eδ(ω) −iωt−∞Z∞−∞e−iωt ϕ(t)dt dω =δ(ω)dω dt =Z∞−∞1 ∙ ϕ(t)dt = (1, ϕ) .Значит, результатом действия функционала δ̂ на функцию ϕ ∈ IZ∞является значениеϕ(t)dt, т.
е. в обобщенном смысле δ̂(ω) = 1.Таким образом, преобразованием Фурье сингулярной функцииδ(t) является тождественная единица (регулярная функция!).Использование интегральных обозначений позволяет значительно сократить цепочку:−∞δ̂(ω) =Z∞δ(t)e−iωt dt = e−iω∙0 = 1.−∞Замечание 1.4. Использование интегральной записи здесь непротиворечит математической строгости. Можно доказать, что дляобобщенных функций f (t) с компактным носителем (в частности,для дельта-функции)их преобразование Фурье fˆ(ω) совпадает с−iωt.
Равенствоf (t), efˆ(ω) = f (t), e−iωtнадо понимать в обобщенном смысле, т. е. ∀ϕ ∈ Ifˆ(ω), ϕ(ω) = f (t), e−iωt , ϕ(ω) .(1..13)Доказательство этого факта можно найти в книге [1].21Замечание 1.5. Преобразование Фурье от дельта-функции можно найти также предельным переходом от преобразования Фурьепрямоугольных импульсов.В самом деле, рассмотрим семейство 1 , |t| < a,Тогда при a → 0 в смыслефункций fa (t) =2a 0, |t| > a.слабой сходимости fa (t) → δ(t), т.
е. для всех основных функцийϕ∈DZ∞−∞1fa (t)ϕ(t)dt =2aZa−aϕ(t)dt = ϕ(b) −−−→ ϕ(0) =a→0Z∞δ(t)ϕ(t)dt.−∞Здесь второе равенство имеет место в силу теоремы о среднем дляопределенного интеграла, при этом b ∈ [−a, a], а ϕ(b) → ϕ(0) всилу непрерывности ϕ ∈ D.Теперь, в силу замечания 1.4,fˆa (ω) =Za−a1 −iωt1dt =e−iωa − eiωa =e2a−2aωi=sin (ωa)→ 1 = δ̂(ω).ωaЗамечание 1.6. Основные свойства преобразования Фурье, такие, как преобразование Фурье сдвига, производной, свертки, возможность дифференцирования по параметру и другие, имеют место и для обобщенных функций [4].В частности, для преобразования Фурье обобщенной производной получаем 0 =F f 0 (t) = f 0 (t), e−iωt = f (t), − e−iωt= iω f (t), e−iωt = iωF [f (t)] .Также на множестве I 0 можно ввести обратное преобразование Фу 1 fˆ(−ω), ϕ(ω)рье F−1 [f ] = fˆ−1 по формуле fˆ−1 (ω), ϕ(ω) =2π22(для одномерного случая). В силу (1.13) можно также написать1 ˆ1fˆ−1 (ω) =f (−ω) =f (t), eiωt . При этом, естественно,2π2πприменение к обобщенной функции последовательно обоих пре−1образований −1 в любом порядке не меняет функции, т.
е. F [F [f ]] == F F [f ] = f .Пример 1.11. Найдем преобразование Фурье от смещеннойдельта-функции δ(t − a).F [δ(t − a)] = δ̂a (ω) =Z∞−∞e−iωt δ(t − a)dt = e−iωa .Пример 1.12. Найти преобразование Фурье от функции δ0 (t).0δ̂ (ω) =Z∞eδ (t)dt = − e−iωt 0−∞ −iωt 0 t=0= iωe−iωt= iω.t=0Заметим, что это есть частный пример применения общего свойства F f 0 = iω ∙ F [f ] .Пример 1.13. Найти преобразование Фурье от функции f (t) == θ(t).Рассмотрим семейство функций fa (t) = e−at θ(t), зависящее отпараметра a > 0. Тогдаfˆa (ω) =Z∞e−iωt e−at θ(t)dt =−∞=Z∞0e−(iω+a)t dt =e−(iω+a)t +∞1=.−(iω + a) 0iω + aПоточечный предел этого выражения при a → 0+ при всех1, т.
е. на множестве, не содержащем нуль, lim fˆa (ω)ω 6= 0 равенa→0iω23совпадает с1. Но чтобы получить обобщенную функцию θ̂(ω),iω+∞Zϕ(ω)нам нужно найти limdω. Предположив, что носительa→0+iω + aфункции ϕ находится внутри интервала [−R, R], получим следующую цепочку (см. также пример 1.1):−∞lim+∞Za→0+−∞ϕ(ω)dω = lima→0+iω + a= ϕ(0) ∙ lim+∞Za→0+−∞+∞Z−∞ϕ(0) + ϕ(ω) − ϕ(0)dω =iω + a(a − iω)dω + lima→0+a2 + ω2!Z∞−∞(ϕ(ω) − ϕ(0))dω =a + iωZRω +∞ϕ(ω) − ϕ(0)= ϕ(0) ∙ lim arctg +dω =a→0+a −∞iω−RZZZϕ(ω)1ϕ(ω)= πϕ(0)+V.pdω = π δ(ω)ϕ(ω)dω+ V.pdω =ωiωi1, ϕ(ω) .= πδ(ω) +iωИтак, θ̂(ω) = πδ(ω) +1.iω1.7. Преобразование Лапласа обобщенных функцийКак известно, преобразование Лапласа определяется для локально интегрируемых функций f (t), удовлетворяющих двум условиям:1) f (t) = 0 при t < 0,2) |f (t)| ≤ Aeat при t → +∞.+∞ZИзображением этой функции будет f (t) : F (p) =f (t)e−pt dt— функция комплексного переменного p = σ + iω, определенная и024аналитичная в полуплоскости σ > a.
С учетом условия 1 получаем,что+∞+∞ZZ−ptF (p) =e f (t)dt =e−iωt e−σt f (t)dt =00=+∞Z−∞f (t)e−σt e−iωt dt,т. е. преобразование Лапласа функции f (t) совпадает с преобразованием Фурье функции e−σt f (t). Это замечание лежит в основе определения преобразования Лапласа обобщенных функций.Наряду с пространством D0 обобщенных функций введем про0 , включив в него те функции из D 0 , которые обращаютстранство D+0 (a)ся в нуль на t < 0 в обобщенном смысле. Также определим D+0−σt— совокупность тех функций f (t) из D+ , для которых e f (t) ∈ I 0при всех σ > a, т. е. f (t)e−σt являются обобщенными функциямимедленного роста, и для них определено преобразование Фурье.Итак, преобразованием Лапласа обобщенной функции f (t) ∈0 (a) называется преобразование Фурье функции f (t)e−σt ∈ I 0 :∈ D+f (t) : F f (t)e−σt .(1..14)Рассмотрим несколько примеров.Пример 1.14. Найдем преобразование Лапласа от обобщеннойпроизводной.
Согласно определению (1.13), преобразованием Лапласа от f 0 (t) будетhi0f 0 (t) : F e−σt f 0 (t) = F f (t)e−σt + σf (t)e−σt == (σ + iω)F f (t)e−σt = pF (p),поскольку F [f 0 ] = iωF [f ]. В обобщенном смыслеf 0 (t) : pF (p).(1..15)25Применив формулу (1.15) n раз, получимf (n) (t) : pn F (p).Пример 1.15.
Найдем преобразование Лапласа от дельта-функции и ее производных.Используя определение (1.14) и замечая, что δ(t) ∙ e−σt = δ(t) ×−σ∙0= δ(t), находим преобразование Лапласа дельта-функции:×eδ(t) : F δ(t)e−σt = F [δ(t)] = 1.Аналогично для смещенной дельта-функции имеемδ(t − a) : F δ(t − a) ∙ e−σt = F δ(t − a) ∙ e−σa == e−iωa e−σa = e−pa .Далее, с учетом примера 1.14, находим изображения производных:δ0 (t) : pF δ(t) ∙ e−σt = p ∙ 1 = p,δ(n) (t) : pn F δ(t) ∙ e−σt = pn ∙ 1 = pn ,δ0 (t − a) : pF δ(t − a) ∙ e−σt = pe−pa ,δ(n) (t − a) : pn F δ(t − a) ∙ e−σt = pn e−pa .Замечание 1.7.
Преобразование Лапласа обычной и обобщенной производной, вообще говоря, не совпадают. Если рассмотреть0 (a), которая на t ≥ 0 непрерывно дифференцируема,такую f ∈ D+то согласно (1.7) ее обобщенная и обычная производная связаны соотношением f 0 (t) = f+ (0)δ(t) + {f 0 (t)}. Тогда 0 f (t) = f 0 (t) − f+ (0)δ(t) : pF (p) − f+ (0).0 (a) имеет на t ≥ 0 n непрерывных производЕсли же f ∈ D+ных, то аналогично26f 00 (t) = f 00 (t) − f+ (0)δ0 (t) − f+0 (0)δ(t) :: p2 F (p) − f+ (0)p − f+0 (0),nof (n) (t) = f (n) (t) − f+ (0)δ(n−1) (t) − f+0 (0)δ(n−2) (t) − .
. .. . . − f+ (n−1) (0)δ(t) : pn F (p) − f+ (0)pn−1 − f+0 (0)pn−2 − . . .. . . − f+ (n−1) (0).Замечание 1.8. Другие свойства преобразования Лапласа дляобычных функций переносятся без изменений на обобщенные [4].2. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА2.1. Определение фундаментального решенияУравнение в частных производных (так же, как и обыкновенноедифференциальное уравнение) может быть записано в общем виде:Lu(X) = f (X),(2..1)u(X) = L−1 f (X).(2..2)где X = (x1 , x2 , x3 , t), а L = L(X, D) — некоторый линейныйдифференциальный оператор, применяемый к неизвестной функции u(X); правая часть f (X) интерпретируется как внешнее воздействие на систему.∂u= a2 Δx u + f моНапример, уравнение теплопроводности∂tжет быть записано в виде (2.1) c использованиемтепло 2 оператора2∂∂∂∂2∂22проводности Lтепл =− a Δx =−a++,∂t∂t∂x21 ∂x22 ∂x23∂2uа волновое уравнение 2 = a2 Δx u + f — волнового оператора∂t∂2Lволн = 2 − a2 Δx .∂tИдея излагаемого метода состоит в следующем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
