Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши (2007) (1095469), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

То-гда для изображения Ê = Ê(ω, p) функции Ê = Ê(ω, t) получимуравнение______p Ê(ω, p) + a2 ω2 Ê(ω, p) − iωb Ê(ω, p) − c Ê(ω, p) = 1.Отсюда выражаем функцию Ê(ω, p) и восстанавливаем ее оригинал Ê(ω, t):__Ê(ω, p) =2 21: θ(t)e−(a ω −iωb−c)t = Ê(ω, t).p + (a2 ω2 − iωb − c)Последний этап решения — применение обратного преобразования Фурье:1E(x, t) =2π=+∞+∞ZZθ(t)2 2iωxctbE(ω,t)e dω =ee−a ω t+iωbt+iωx dω =2π−∞−∞ √bt + x 2bt + x 2√+ iωbt + iωx = − aω t − i √−2a t2a t=√dzbt + xbt + x√ =qaω t − i √ = z; dω = √ ;2a ta t2a t−a2 ω2 tθ(t) ct−√ e=2πa tbt+x√2a t2Задача свелась к вычислениюlim+RZ1 −iqR1 →+∞−R1 −iqlim+RR1 −iqR1 →+∞ −R −iq12e−z dz.e−z dz, т. е. к инте2грированию функции e−z вдоль прямой Imz = −q (рис.

2.3), приR= 1.этом limR→+∞ R1237Рис. 2.3Поскольку подынтегральная функция аналитична, значение интеграла по любому замкнутому контуру равно нулю. Рассмотримконтур, изображенный на рис. 2.3. Он состоит из отрезка действительной прямой [−R, R], двух дуг окружности радиуса R, заключенных между действительной прямой и прямой Imz = −q,и отрезка этой прямой, замыкающего контур.Поскольку в силу леммы Жордана интеграл по дугам окружности стремится к нулю при R → ∞, результат интегрирования вдоль+∞R −z 2√прямой Imz = −q совпадает сe dz = π при действительном z. Окончательно получаем следующий результат:−∞E(x, t) =2θ(t) ct− (bt+x)4a2 t .√ e2a πt(2..11)θ(t) − x22√ e 4a t .2a πt(2..12)В частном случае при отсутствии конвективного переноса и поглощения получаемE(x, t) =Эта обобщенная функция равна нулю при t < 0, совпадает с плотностью нормально распределенной случайной величины с параме38+∞√ Rтрами 0, a 2t при t > 0, так чтоE(x, t)dx = 1, а при t → 0+стремится к дельта-функции [4].

График этой функции изображенна рис. 2.4.−∞Рис. 2.42.5. Таблица фундаментальных решенийнекоторых операторовДля удобства сведем полученные фундаментальные решения(2.6), (2.7), (2.10), (2.11) и (2.12) в таблицу. Также приведем фундаментальные решения для некоторых других операторов без доказательства.39Таблица 1№п/пОператор LФундаментальное решение E1d+adtθ(t)e−at2d2+ a2dt2θ(t)3∂2∂2− a2 2∂t2∂x1θ(at − |x|)2a4∂2− a2∂t2∂2∂2+2∂x1∂x225∂2− a2∂t2∂2∂2∂2++∂x21∂x22∂x236∂∂2− a2 2∂x∂t7∂− a2∂t∂2∂2+2∂x1∂x228∂− a2∂t∂2∂2++2∂x1∂x229∂∂2∂− a2 2 − b−c∂t∂x∂x10∂2∂2+2∂x1∂x22−11, x = (x1 , x2 )ln2π |x|11∂2∂2∂2++22∂x1∂x2∂x23−1, x = (x1 , x2 , x3 )4π |x|40sin ata1 θ(at − |x|)q, x = (x1 , x2 )2πaa2 t2 − |x|2θ(t)δS (x), x = (x1 , x2 , x3 )4πa2 t at2θ(t)− x√e 4a2 t2a π ∙ tθ(t) − |x|22e 4a t , x = (x1 , x2 )4a2 πt∂2∂x23|x|2θ(t)−qe 4a2 t , x = (x1 , x2 , x3 )8a3 (πt)32θ(t) ct− (x+bt)4a2 t√ e2a πt3.

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙЗАДАЧИ КОШИ3.1. Обобщенные и классические решения линейныхдифференциальных уравненийРассмотрим линейное дифференциальное уравнение порядка mLu =mXa α (x)D α u = f (x),|α|=0f ∈ D0 ,(3..1)коэффициенты которого a α ∈ C ∞ (Rn ), а α = (α1 , α2 , . . . , αn ) —мультииндекс, т. е. |α| = α1 + α2 + . . . + αn — порядок смешан∂ |α|— соответствующийной производной, а D α =α1α2∂x1 ∂x2 . .

. ∂xnαnоператор дифференцирования.Обобщенным решением уравнения (3.1) в области G называетсявсякая обобщенная функция u ∈ D0 , удовлетворяющая этому уравнению в обобщенном смысле, т. е. ∀ϕ ∈ D, suppϕ ⊆ G,(Lu, ϕ) = (f, ϕ) .(3..2)Очевидно, что если правая часть f — регулярный функционал,задаваемый непрерывной функцией, то всякое классическое решение уравнения (3.1) является обобщенным.

Верно и обратное утверждение: если (регулярная) обобщенная функция f ∈ C(G) и обобщенное решение u уравнения (3.1) (также регулярное) принадлежит классу C m (G), то это решение является и классическим решением этого уравнения в G.Другими словами, введение обобщенных решений позволяетбез потерь перейти к рассмотрению более широкого класса задач,в которых правая часть (3.1) может быть не только разрывной, но идаже сингулярной обобщенной функцией.Обобщенное решение уравнения (3.1) можно построить с помощью фундаментального решения оператора L. Справедлива следующая теорема.41Теорема 3.1.

Пусть правая часть уравнения (3.1) такова, что существует свертка f с фундаментальным решением E оператора L.Тогда функцияu=E∗f(3..3)является обобщенным решением (3.1), единственным в классе техобобщенных функций, для которых существует свертка с E.Доказательство. Функция (3.3) действительно является решением, поскольку по правилу дифференцирования сверткиmmXXL (E ∗ f ) =a α D α (E ∗ f ) = a α D α E  ∗ f = δ ∗ f = f.|α|=0|α|=0Для доказательства единственности решения в классе тех обобщенных функций, для которых существует свертка E ∗ f , достаточно показать, что соответствующее однородное уравнение Lu = 0имеет только нулевое решение в этом классе. Действительно, еслифункция u удовлетворяет Lu = 0, то, используя свойство производной от свертки, получаемu = u ∗ δ = u ∗ L(E) = L(u) ∗ E = 0 ∗ E = 0.Теорема доказана.В этой главе рассматривается задача Коши для важных частныхслучаев уравнения вида (3.1). Обобщенная постановка позволяетсчитать начальные условия результатом действия мгновенных источников в нулевой момент времени.3.2.

Обобщенное решение задачи Коши дляобыкновенного дифференциального уравненияВ целях прояснения механизма мгновенных воздействий, создающих соответствующие начальные условия, рассмотрим примеры.Пример 3.1. Как известно, дифференциальное уравнение движения шарика в среде с линейным сопротивлением имеет видmu0 + au = f (t),42(3..4)где u(t) — скорость шарика; a = r/m, m— масса шарика; r —P (t)коэффициент сопротивления; f (t) =, P (t) — вынуждающаяmсила.Решение методом вариации произвольной постоянной классической задачи Коши для уравнения (3.4) с начальным условиемu(0) = u0 , предполагающей дифференцируемость u(t) и непрерывность f (t), приводит к следующему результату:−atu(t) = u0 e+Zte−a(t−τ) f (τ)dτ.(3..5)0Будем считать, что вплоть до начала отсчета времени (при t < 0) вынуждающая сила, действующая на шарик,равнялась нулю и он покоился.

Тогданачальное значение скорости u0 определяется воздействием сверхкороткого импульса силы Pимп (t) Δt = mu0 .Устремим Δt → 0. Тогда при фиксированном u0 величина Pимп должна увеличиваться обратно пропорциональноΔt, что соответствует сохранению площади прямоугольника, показанного нарис. 3.1. При этомfимп (t) =Pимп (t)→ u0 δ(t).mВ сделанных предположениях можРис.

3.1но с помощью нижеприведенного дифференциального уравнения универсальным образом описать движение шарика при −∞ < t < ∞, обозначив не только недифференцируемую, но даже разрывную (если u0 6= 0) скорость через ũ(t),считая ũ(t) = 0 при t < 0 (рис. 3.2):ũ0 + aũ = fимп (t) + θ(t)f (t) = u0 δ(t) + θ(t)f (t).(3..6)43Рис. 3.2Заметим, что начальные условия отсутствуют — они «переброшены» в правую часть уравнения (3.6), а с f (t) может быть снятоограничение непрерывности — необходимо только условие существования свертки.Тогда, в силу теоремы 3.1, при использовании для фундаментального решения E(t) выражения (2.6) получим обобщенное решениеũ(t) = E(t) ∗ (u0 δ(t) + θ(t)f (t)) =Z∞=θ(t − τ)e−a(t−τ) (u0 δ(t) + θ(τ)f (τ)d(τ) =−∞= θ(t)u0 e−at+ θ(t)Zt0e−a(t−τ) f (τ)dτ.

(3..7)Второй член в этом выражении, соответствующий сверткеE(t) ∗ θ(t)f (t), записан с учетом того, что θ(t − τ)θ(τ) = 1 6= 0лишь при 0 ≤ τ ≤ t и ũ(t) = 0 при t < 0.Сопоставление выражения (3.7) с (3.5) показывает, что ũ(t) == θ(t)u(t), если f (t) ∈ C.44Пример 3.2. Уравнение вынужденных колебаний шарика массой m, подвешенного на пружине с жесткостью k, под воздействием вынуждающей силы P (t) и без учета сил сопротивления имеетвидu00 + a2 u = f (t),где u(t) — смещение шарика от положения равновесия; a2 =k;mP (t)f (t) =.mРешение методом вариации произвольных постоянных классической задачи Коши с начальными условиями u(0) = u0 — начальное смещение, u0 (0) = u1 — начальная скорость, в предположенииu(t) ∈ C 2 , f (t) ∈ C, приводит к следующему результату:sin atu(t) = u0 cos at + u1+aZtsin a(t − τ)f (τ)d(τ).a(3..8)0Если, как в примере 3.1, считать, что движение шарика начинается из положения равновесия и состояния покоя, т.

е. ũ(t) = 0 приt < 0, то начальная скорость u1 определяется импульсным воздействием fимп.1 = u1 δ(t). Мгновенный переброс шарика из положения равновесия u = 0 в начальное положение u0 можно рассматривать как результат двух импульсных воздействий. Первое обеспечивает прохождение расстояния u0 за время Δt со скоростью u0 /Δt и,следовательно, равно (u0 /Δt)δ(t). Второе призвано погасить указанную скорость через t и, следовательно, равно −(u0 /Δt)δ(t−Δt).Суммарное импульсное воздействиеfимп.0 (t) = lim (u0 /Δt) [δ(t) − δ(t − Δt)] = u0 δ0 (t).Δt→0Дифференциальное уравнение для ũ(t) имеет видũ00 (t) + a2 ũ = fимп.0 (t) + fимп.1 (t) + θ(t)f (t),а его обобщенное решение при использовании для фундаментального решения выражения (2.7)45ũ(t) = E(t)∗ u0 δ0 (t) + u1 δ(t) + θ(t)f (t) ==Z∞−∞θ(t − τ)sin a(t − τ) u0 δ0 (τ) + u1 δ(τ) + θ(τ)f (τ) =fsin at+ θ(t)= θ(t)u0 cos at + θ(t)u1aZtsin a(t − τ)f (τ)d(τ).a0Сопоставление этого выражения с выражением (3.8) опять показывает, что ũ(t) = θ(t)u(t).При вычислении первого члена этой суммы было использованосвойство дифференцирования свертки (с.

18)E(t) ∗ u0 δ0 (t) = E 0 (t) ∗ u0 δ(t) =sin at∗ u0 δ(t),= θ(t) cos at + δ(t)aи, как это было показано на с. 11, в обобщенном смыслеsin at sin atδ(t) = δ(t) = 0.aa t=0Рассмотрим теперь произвольное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:dn udn−1 u+a+ . .

Характеристики

Список файлов книги