Лошкарев А.И., Облакова Т.В. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача Коши (2007) (1095469), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

. + an u = f (t),1dtndtn−1u(k) (0) = uk , k = 0, 1, . . . , n − 1,Ln u = a0t > 0,(3..9)(3..10)где функция f ∈ C(t > 0).Пусть u(t) — решение задачи Коши (3.9), (3.10). Доопределимфункции u(t) и f (t) нулем на t < 0 и обозначим полученные функции через ũ(t) = θ(t)u(t) и f˜(t) = θ(t)f (t) соответственно.46Найдем обобщенные производные ũ:ũ0 (t) = u0 (t) + u0 δ(t),ũ00 (t) = u00 (t) + u1 δ(t) + u0 δ0 (t),..............................,noũ(n) (t) = u(n) (t) + un−1 δ(t) + .

. . + u1 δ(n−2) (t) + u0 δ(n−1) (t).Подставим их в уравнение (3.9):nou (t) + un−1 δ(t) + . . . + u1 δ(n−2) (t)+no(n−1)(t) + a1u(n−1) (t) + un−2 δ(t) + . . . + u1 δ(n−3) (t)++ u0 δ(n−2)+ u0 δ(t) + . . . + an−1 u0 (t) + u0 δ(t) + an ũ =Ln ũ = a0(n)= Ln {ũ(t)} +n−1Xck δ(k) (t) = f˜(t) +k=0n−1Xck δ(k) (t),k=0где c0 = a0 un−1 + a1 un−2 + . . . + an−1 u0 , . . . , cn−2 = a0 u1 + a1 u0 ,cn−1 = a0 u0 .Таким образом, функция ũ в обобщенном смысле удовлетворяетуравнениюn−1X˜Ln ũ = f (t) +ck δ(k) (t).(3..11)Заметим, что частный случай уравнения (3.9) уже был рассмотрен в примере 1.6.Далее, фундаментальное решение оператора Ln , как мы выяснили в предыдущей главе, имеет вид E(t) = θ(t)y(t), где y — частноерешение однородного дифференциального уравнения Ln y(t) = 0,удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y 0 (0) = 0, . .

. ,1. Следовательно, уравнение (3.11)y (n−2) (0) = 0, y (n−1) (0) =a0имеет единственное обобщенное решениеk=047ũ = E ∗=+∞Z−∞f˜ +n−1Xck δ(k)k=0!= E ∗ f˜ +n−1Xk=0θ(t − τ)y(t − τ)θ(τ)f (τ)dτ += θ(t)Zt0ck E ∗ δ(k) =n−1Xk=0y(t − τ)f (τ)dτ + θ(t)ck E (k) ∗ δ =n−1Xck y (k) (t). (3..12)k=0Здесь последнее равенствоместо, поскольку с учетом на имеет(k)(k)чальных условий E ∗ δ = E (t) = (θ(t)ỹ(t))(k) = θ(t)ỹ (k) (t).Поскольку при t > 0 функция ũ совпадает с искомым решением uзадачи Коши (3.9), (3.10), получаемu(t) =Zt0y(t − τ)f (τ)dτ +n−1Xk=0ck y (k) (t).(3..13)Формула (3.13) по сути выражает решение произвольной задачиКоши u через фиксированное частное решение y.Уравнения, рассмотренные в примерах 3.1 и 3.2, являются частными случаями (3.9) и, следовательно, (3.13) обобщает формулы(3.7) и (3.8).Пример 3.3.

С помощью свертки найдем решение обыкновенного дифференциального уравнения u00 + u0 = f (t)θ(t − t0 ), описывающего поведение линейной динамической системы при включении в момент времени t0 = −1 внешнего воздействия, характеризуемого функцией f (t) = θ(1 − t).d21. Найдем фундаментальное решение E оператора L2 = 2 +dtdd2 EdE+ , т.

е. решим уравнение+= δ(t). Для изображенияdtdt2dt__E , согласно свойствам преобразования Лапласа, получим p2 E +__111+p E = 1, откуда E (p) = 2. Восстанавливаем= −p + ppp+1оригинал: E(t) = θ(t) 1 − e−t .482. Правая часть θ(1 − t)θ(t + 1) уравнения финитна, следовательно, существует ее свертка с E. Тогда по формуле (3.3) получаемискомое решениеu(t) =+∞Z−∞1 − e−(t−τ) θ(t − τ)θ(1 − τ)θ(τ + 1)dτ.Произведение тэта-функций, стоящее под знаком интеграла, отлично от нуля только если выполнены условия: τ > −1, τ < 1,τ < t.

Следовательно, при t < −1 получаем u(t) = 0.При −1 < t < 1u(t) =Zt −1t1 − e−(t−τ) dτ = τ − e−(t−τ) −1== t − 1 + 1 + e−1−t = t + e−1−t .При t > 1 (на [1, t] подынтегральная функция равна нулю)u(t) =Z1 −111 − e−(t−τ) dτ = τ − e−(t−τ) =−1= 1 − e1−t + 1 + e−1−t = 2 − 2e−t sh1.Объединяя все три случая, получаемu(t) =0,t+e−1−t ,2 − 2e−t sh1,t < −1,−1 < t < 1,t > 1.Графики функций E(t) и u(t) приведены на рис.

3.3, а и б.49Рис. 3.33.3. Решение задачи Коши в обобщенной постановкедля волнового уравнения. Примеры решения задачСхема решения задачи Коши, изложенная в предыдущем параграфе для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, применяется и при решениизадачи Коши для волнового уравнения.Рассмотрим уравнение502∂2u2∂ u−a= f (x, t),∂t2∂x2∂u = u0 (x),= u1 (x).∂t t=0Lволн u =(3..14)u|t=0(3..15)Предположим, что f ∈ C(t > 0), u0 ∈ C 1 (R), u1 ∈ C(R) и существует классическое решение u(x, t) задачи Коши (3.14), (3.15),т.

е. функция из C 2 (t > 0) ∩ C 1 (t > 0), удовлетворяющая уравнению (3.14) при t > 0 и начальным условиям (3.15) при t → +0.Продолжим функции u и f на множество t < 0, положивũ(x, t) = u(x, t)θ(t), f˜(x, t) = f (x, t)θ(t), и покажем, что ũ удовлетворяет в обобщенном смысле уравнениюLволн ũ(x, t) = f˜(x, t) + u0 (x)δ0 (t) + u1 (x)δ(t).(3..16)Действительно, для любой основной функции ϕ ∈ D(R2 ) имеем следующую цепочку равенств:(Lволн ũ, ϕ) = (ũ, Lволн ϕ) =+∞ZZ0= limε→0ZRuR+∞Zε2∂2 ϕ2∂ ϕdxdt =−a∂t2∂x2∂2 ϕu 2 dtdx−a2∂t+∞ZZεR∂2 ϕu 2 dxdt∂x=(два раза интегрируем по частям во внутренних интегралах) +∞+∞+∞ ZZZZ2u∂ϕ∂u∂ϕ∂= lim   u −ϕ 2 dxdt =dtdx − a2ε→0∂t ε∂t ∂t∂xεε RR +∞+∞ ZZ2uϕ∂∂∂u= lim  −u(x, ε) (x, ε) −ϕ+ϕ 2 dtdx −ε→0∂t ε∂t∂tεR− a2+∞ZZεϕRZ ∂2u∂ϕdxdt=− u(x, 0) (x, 0)+∂x2∂tR∂u+(x, 0)ϕ(x, 0) + limε→0∂t=ZRu0 (x)+∞ZZε+∞ZRϕ2∂2u2∂ u−a∂t2∂x2dxdt =ϕ(x, t)δ0 (t)dt+−∞51+ZRu1 (x)+ limε→0=+∞Z−∞ZR+∞Z−∞+∞Z Zϕ(x, t)δ(t)dtdx+ϕ(x, t)f (x, t)dxdt =εRu0 (x)δ0 (t) + u1 (x)δ(t) ϕ(x, t)dxdt+++∞ZZf˜(x, t)ϕ(x, t)dxdt =−∞ R= f˜(x, t) + u0 (x)δ0 (t) + u1 (x)δ(t), ϕ(x, t) .Доказанное равенство (3.16) означает, что начальные возмущения u0 и u1 для функции ũ(x, t) играют роль источника u0 (x)δ0 (t)++ u1 (x)δ(t), действующего мгновенно при t = 0.

При этом начальному возмущению u0 соответствует двойной слой u0 (x)δ0 (t), а начальному возмущению u1 — простой слой на прямой t = 0.Заметим теперь, что классические решения задачи Коши(3.14), (3.15) содержатся среди тех решений уравнения (3.16), которые обращаются в нуль при t < 0.Определение 3.1. Обобщенной задачей Коши для волновогоуравненияLволн ũ = F (x, t), F ∈ D0 (R2 ),(3..17)называется задача о нахождении такой обобщенной функции ũ == ũ(x, t) из D0 (R2 ), которая удовлетворяет этому уравнению вобобщенном смысле и обращается в нуль на t < 0. Приведем бездоказательства следующую теорему.Теорема 3.2. Необходимым и достаточным условием существования и единственности решения обобщенной задачи Кошидля волнового уравнения является равенство F (x, t) = 0 на t < 0.При этих условиях решение выражается сверткой ũ = E ∗ F инепрерывно зависит от F .52Пример 3.4.

Найдем обобщенное решение задачи Коши дляуравнения ũ00tt = a2 ũ00xx + θ(x)δ0 (t).Согласно теореме, u(x, t) = E(x, t) ∗ θ(x)δ0 (t). Учтем, что11(θ(x + at) − θ(x − at)), и выполE(x, t) =θ(at − |x|) =2a2aним сначала свертку по переменной t, а затем по переменной x.С учетом свойств дифференцирования свертки (см.

с. 18) получим:∂E(x, t)ũ(x, t) = E(x, t) ∗ θ(x)δ0 (t) =∗ θ(x)δ(t) =∂t∂E(x, t)11δ(x + at) + δ(x − at) ∗ θ(x) ==∗ θ(x) =∂t221= (θ(x + at) + θ(x − at)) .2С учетом равенства (3.16) функцию θ(x) можно интерпретировать как u(x, 0). Графики функций u(x, 0) и u(x, t) показаны нарис. 3.4, а и б.Рис. 3.4Пример 3.5. Найдем обобщенное решение задачи Коши дляуравненияũ00tt = a2 ũ00xx + θ(x)δ(t).Аналогично предыдущему примеруũ(x, t) = E(x, t) ∗ θ(x)δ(t) = E(x, t) ∗ θ(x) =+∞Z=θ(at − |ξ|)θ(x − ξ)dξ.−∞53Далее рассмотрим отдельно три случая:1) x 6 −at.

Произведение под интегралом равно нулю, а значити ũ(x, t) = 0;2) −at < x < at. Подынтегральная функция равна нулю внеRxdξ = x + at;интервала [−at, x]. Следовательно, ũ(x, t) =3) x > at. Тогда θ(at − |ξ|)θ(x − ξ) = θ(at − |ξ|) и ũ(x, t) =Rat=dξ = 2at.−atОкончательно получаем0,x 6 −at,x + at, −at < x < at,ũ(x, t) =2at,t > at.−atВ рассмотренном уравнении, согласно (3.16), θ(x) = u1 (x) =∂u(x, 0), что можно интерпретировать как обретение правой ча=∂tстью струны x > 0 в начальный момент единичной скорости. Тогдав момент времени t форма струны совпадает с графиком функцииu(x, t) (рис.

3.5, а и б).Рис. 3.5Заметим теперь, что F (x, t) = f˜(x, t) + u0 (x)δ0 (t) + u1 (x)δ(t)удовлетворяет условиям теоремы. Следовательно, можно вычислить ũ = E ∗ F и получить на t > 0 решение классической задачиКоши.Обозначим через u(1) , u(2) и u(3) свертки фундаментального решения с соответствующим слагаемым в правой части.54Найдем сначалаu(3) = E(x, t) ∗ u1 (x)δ(t) =ZZ1=θ (a(t − τ) − |x − ξ|) u1 (ξ)δ(τ)dτdξ =2ax+atZZ11=θ (at − |x − ξ|) u1 (ξ)dξ =u1 (ξ)dξ.2a2ax−atПри вычислениисначала осуществим свертку по переменной t, а затем по переменной x:u(2)u(2) = E(x, t) ∗ u0 (x)δ0 (t) =ZZ1=θ (a(t − τ) − |x − ξ|) u0 (ξ)δ0 (τ)dτdξ =2aθ [a (t − τ) − |x − ξ|] = = θ [x − ξ + a (t − τ)] − θ [x − ξ − a (t − τ)] 0 θ τ [a (t − τ) − |x − ξ|] == −aδ [x − ξ + a (t − τ)] − aδ [x − ξ − a (t − τ)]+∞Z1=(δ(x − ξ + at) + δ(x − ξ − at))u0 (ξ)dξ =2−∞1(u0 (x − at) + u0 (x − at)) .2=При вычисленииu(1) = E(x, t) ∗ f (x, t)θ(t) =ZZ1=θ (a(t − τ) − |x − ξ|) f (ξ, τ)θ(τ)dτdξ2aзаметим, что подынтегральная функция отлична от нуля только вобласти, изображенной на рис.

3.6. Следовательно, двойной интеграл сводится к повторному:(1)u=Ztx+a(t−τ)Zf (ξ, τ)dξdτ.0 x−a(t−τ)55Суммируя u(1) , u(2)бераu(x, t) =Рис. 3.6и u(3) , получаем известную формулу Далам-1(u0 (x − at) + u0 (x − at)) +2x+atZZt x+a(t−τ)Z1u1 (ξ)dξ +f (ξ, τ)dξdτ. (3..18)+2ax−at0 x−a(t−τ)Приведем формулировку соответствующей теоремы.Теорема 3.3. Если в классической задаче Коши (3.14), (3.15)f ∈ C 1 (t > 0), u0 ∈ C 2 (R), u1 ∈ C 1 (R), то она имеет единственноерешение, определяемое формулой (3.18), непрерывно зависящее отначальных условий u0 , u1 и правой части f .Таким образом, и решение классической задачи можно находитьпри помощи свертки.Пример 3.6. С помощью свертки решим обобщенную задачуКоши для волнового уравнения:ũ00tt = ũ00xx + sin2 x ∙ δ0 (t) + θ(π − |x|) ∙ δ(t).56Здесь свертку с фундаментального решения с первым слагаемымнайти легко:∂E(x, t) ∗ sin2 x ∙ δ(t) =u(1) (x, t) = E(x, t) ∗ sin2 x ∙ δ0 (t) =∂t11δ(x + t) + δ(x − t) ∗ sin2 x ==221=sin2 (x + t) + sin2 (x − t) .2Затем вычислимu(2) (x, t) = E(x, t) ∗ θ(π − |x|)δ(t) = E(x, t) ∗ θ(π − |x|) =1=2+∞Z−∞1θ(t − |ξ|)θ(π − |x − ξ|)dξ =2Zx+tx−tθ(π − |η|)dη.Дальнейшие вычисления лучше проводить с учетом значенийпараметров, входящих в интеграл (рис.

Характеристики

Список файлов книги