Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ (1988) (1095425), страница 17
Текст из файла (страница 17)
аггее ~л Соотношение (3.8а) аналогично обычному закону Ома для двухполюсиика в виде и=21', где входное сопротивление 2 играет роль матрицы Х. Из уравнений (3.8а), проделывая мысленно опыты холостого хода иа всех входах, кроме возбуждаемого, легко установить смысл элементов матрицы Е. При возбуждении л-г~) входа идеальным источником тока с нормированной величиной~с„и при холостом ходе иа остальных входах получим все эле иты столбца а матрицы У: и,„ 1~ г юх д-их...,лч тел. г Не следует забывать, что комплексные нормированные напряжения и возбуждающие нормированные токи в (3.9) должны быть определены в плоскостях отсчета фаз миогополюсника.
Недиагоиальиые элементы матрицы Х представляют собой так иазываемые взаимные сопротивления входов т и л многополюсника. Первый индекс т в обозначении г „указывает номер строки матрицы и одновременно номер входа, иа котором определяется реакция в виде нормированного напряжения холостого хода. Второй индекс л означает номер столбца матрицы 'Х и одновременно помер входа, к которому прикладывается воздействие в виде нормированного тока. Диагональным элементам матрицы Х соответствует случай гп=л в (3.9). Диагональные элементы являются собственными солротивлеииями каждого входа многополюсиика при размыкаиии всех других входов.
Поскольку нормированные токи и напряжения имеют одинаковую размерность УВт, все элементы матрицы сопротивлений получаются безразмериыми. Перейдем к определению нормированной матрицы проводимостей. Здесь воздействие иа входах 2И-полюсника выбирается в виде набора Ф нормированных напряжений, а соответствующая реакция задается набором Ф нормированных токов. Характеризующая мат- рицу пр водимостей У система линейных алгебраических уравнений имс т вид )>=Уи>, или более подробно а', у„ у,а ... у, и, У Уаз -.
У к иа (к Улч Улъ - ° Укк Из этой системы уравнений, проделывая мысленно опыты короткого замыкания входов (кроме возбужденного), получаем определение элементов матрицы проводимостей: )т у иа ~к=о;а на,...,к;а-,а. 1 а Недиагональные элементы матрицы У представляют комплексные взаимные проводимости в виде отношений выходных нормированных токов короткого замыкания к нормированному напряжению на возбуждаемом входе. Диагональные элементы матрицы г' являются собсавенными проводимостями каждого входа при условии короткогоЪамыкания всех других входов. Как и в случае матрицы сопротив)~еиий, нормированные токи и напряжении должны определяться в1заранее зафиксированных плоскостях отсчета фаз.
Так же как в ь)атрице Х, все элементы матрицы а' являются безразмерными. Сравнивая определения матриц сопротивлений и проводимостей одного и того же 2)у-полюсника, легко установить, что эти матрицы взаимно обратны: Х=У-', 1'=2,'— '. Матрицы сопротивлений и проводимостей наиболее часто применяются в расчетах многоэлементных антенн для учета взапмного влияния отдельных излучателей друг на друга. Отметим, что для некоторых пассивных многополюсников либо матрица сопротивлений, либо матрица проводимостей, либо обе они могут оказаться неопределенными (содержащимн бесконечно большие элементы). $ ЗаК СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ МНОГОПОЛЮСНИКА Любая матрица параметров многополюсника является его волной внешней характеристикой.
Выбор той илн иной матрицы диктуется удобством проведения расчетов элементов матриц или принятой методикой экспериментального определения параметров многополюсника. Все матрицы одного и того же многополюсника однозначно связаны между собой. Поэтому, зная одну из них, можно вычислить и остальные. Наиболее простая связь, как отмечалось, существует между матрицами сопротивлений и проводимостей — эти матрицы обратны одна по отношению к другой. Чтобы установить взаимосвязь между матрицей рассеяния и матрицей сопротивлений (или проводимостей) и вообще между лю- быми двумя произвольными матрицами многополюсникр, нужно использовать соотношения (3.1) между напряжениями ~адающих и отраженных волн во входных линиях передачи, с одно стороны, и нормированными напряжениями и токами — с другой.
~мея в виду, что соотношении (3.1) справедливы для всех входных линий многополюсиика, их можно представить в объединенной матричной форме относительно столбцов напряжений и токов: 2п„) =и)+!), 2п,") =и) — 1). (3.10) Подставляя столбцы и,> н и,> из (3.10) в систему уравнений (3 2), определяющую матрицу рассеяния, получаем (и> — 1>) =8(п>+1>). Группируя в левой части равенства слагаемые с множителем и>, можно записать (Š— 8)п>=(Е+8)1>, где Š— единичная матрица порядка )Ч.
Умножая это уравнение слева на матрицу (Š— 8)-', приходим к соотношению н) =(Е 8)-1(Е+8) !), из сопоставления которого с определяющей системрй уравнений (3.8) для матрицы сопротивлений следует искомая формула связи матриц Х и 8: Х=(Š— 8)- (Е+8). ( (3.! !) Из соотношения (3.11) следует, что матрица сг)противлений существует не всегда — она оказываетси неопределенной при обращении в нуль определителя матрицы, подлежащей обращению, т. е. при бе( (Š— 8) =О. Для матрицы проводимостей т' тем же путем, что и для матрицы Х, можно получить выражение, связывающее ее с матрицей рассеяния: Т =(Е+ 8)-' (Š— 8).
(3.12) Из этого соотношения следует, что если определитель де! (Е+ + 8) =О, то матрица проводимостей т' для многополюсника отсутствует. Например, непосредственной проверкой можно установить, что обращаются в нуль бе! (Š— 8) и бе! (Е+8) для шестиполюсника в виде параллельного разветвления трех линий передачи (см. рис. 3.2). Это указывает на одновременное отсутствие матриц У.
и т' для такого шестиполюсника. Матричные соотношения (3.11) и (3.12) напоминают известные соотношения в линии передачи, связывающие нормированное сопротивление г (или нормированную проводимость у) и коэффициент отражения: я =(1+ Ф(! — р), И =(1 — р)/(1+ р), что вполне естественно, поскольку последние соотношения можно рассматривать как частный случай (3.11) и (3.12) для минимального многополюсника с одним входом.
Итак, для получения соотношения между любыми двумя нормированными матрицами многополюсника достаточно использовать системы уравнений, определяющие эти матрицы, и соотношения типа (3.10), связывающие нормированные напряжения и токи и напряжения падающих и отраженных волн. Например, можно установить (читателям рекомендуется сделать это самостоятельно), что матрица рассеяния выражается через матрицы сопротивлений и проводимостей с помощью формул $=(Х вЂ” Е)(Х+Е) — '=(Š— г)(Е+У) ', (3.13) аналогичных известным соотношениям в линии передачи Р=(х — 1)/(к+ 1) =(1 — уй!+ у).
Заметим, что матричные сомяожители в грорлулах связи матриц (3.11) — (3.13) перестановочны между собой, что легко проверяется с помощью тождественных преобразований. Такая возможность изменения порядка сомножителей позволяет упрощать многие выкладки при анализе устройств СВЧ. Зависимость матриц миогополюсников от нумерации входов. Любая матрица многополюсника имеет смысл только при установленном порядке нумерации входов. При изменении нумерации получаются другие матрицы: числовые значения элементов, конечно, остаются теми же самымн, но расположение элементов матрицы изменяется.
Для получения расчетных соотношений введем специальную квадратную матрицу перенумерации б по следующему правилу. В каждую строку матрицы б запишем Ж вЂ” 1 нулей и одну единицу в ту позицию, номер которой соответствует новому номеру входа, прежний номер которого равен номеру этой строки.
Например, если третий вход стал седьмым, то в третьей строке в седьмом столбце записывается единица, а все остальные элементы этой строки полагаются равными нулю. На конкретных примерах можно убедиться, что матрица перенумерацин оказывается ортогональной, т. е. удовлетворяет соотношению СС~=Е, где Š— единичная матрица порядка Ж. Если обозначить через и„> и и,'>, и,> и и,'> распределения напряжений падающих н отраженных волн соответственно при старой н новой нумерациях, то эти распределения будут связаны между собой с помощью матрицы перенумерации следующим образом: и >= =бн„'>, пь —— бп,'>.
Подставим теперь столбцы и,> и н > в определяющую систему уравнений (3.2) для матрицы рассеяния: бп,'>=Ьбн„'>. Умножая это равенство слева на матрицу б — ' (вследствие ортогональности б '=ба получим и,'>=С~Збн '>, откуда следует, что новая матрица рассеяния Яв для многополюсника с перенумерованными входами связана с исходной матрицей рассеяния соотношением (3.14) которое является частным случаем известного в математике преобразования подобия. Таким же образом можно получить аналогичные (3.14) выражения матриц сопротивлений н проводимостей для перенумерованного многополюсника: Ха=б~Х6, то=б, тб. С помощью перенумерации входов удается приводить матрицы устройств к стандартной форме, принятой для многополюсннков того илн иного вида.
Сдвиг плоскостей отсчета фаз на входах многополюсннка. В ряде случаев необходимо преобразовывать матрицы многополюсника к новым (сдвинутым относительно первоначальных) плоскостям отсчета фаз. Наиболее просто эта задача решается для матриц рассеяния. Прн отодвигании плоскостей отсчета от многополюсника в элементы матрицы рассеяния вносятся дополнительные запаздывающие фазовые сдвиги из-за удлинения путей прохождения сигналов. Кроме того, нз-за затухания волн в подводящих линиях происходит уменьшение модулей элементов матриц рассеяния.
В результате любой элемент матрицы рассеяния, определяемой по отодвинутым плоскостям отсчета, имеет вид з „=з„ехр( — гу 1 — уу„1„), где 1 и 1 †удлинен т-й и и-й входных линий; у„=р,„ †)а и Т = р †)п„ вЂ” коэффициенты распространения в этих линиях. Сдвиг плоокостей отсчета приводит также к изменению элементов матриц сопротивлений н проводимостей. Однако расчет измененных матриц Х н Т по первоначальным матрицам не столь прост, как для матрицы рассеяния, и должен производиться путем перехода от этих матриц к матрице рассеяния и обратно. Нормированные матрицы многополюсннков. Остановимся кратко на взаимосвязи нормированных и ненормированных матриц сопротивлений и проводимостей, Ненормированные матрицы имеют ограниченное распространение при описании устройств СВЧ с подводящими линиями, канализнрующими Т-волны. Для таких линий соотношения нормировки напряжений и токов имеют вид и=() Д У,, ) =! УЛ,, где т — номер входа (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
