Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Отметим, что Е, э Ез ~ Е,. Очевидно, что совокупность Ез совпадает со всем фазовым пространством системы. Выше (см. 2.3) доказана теорема о том, что для линейного объекта оптимальная по быстродействию траектория единственна. Это означает, что. оптимальные фазовые траектории, имеющие одну и ту же конечную точку, не пересекаются.
Но тогда траектории, входящие в совокупность Е',, не могут пересекаться с траекториями, входящими в совокупность Ез. Так как совокупность Ез = Ез ЦЕ", совпадает со всем фазовым пространством, то сказанное возможно лишь в том случае, если совокупность Е', лежит по одну сторону от поверхности Ез, а совокупность Ез — по другую сторону от Ез. Совокупность Ез характеризуется управлением и = А, а совокупность Е," — управлением и = -А, т.е. по разные стороны от поверхности Ез оптимальное управление имеет разные знаки. Таким образом, для системы третьего порядка Ез = 5. На рис. ЗА ОВСΠ— пример оптимальной траектории.
Рассмотрим теперь исходное уравнение (3.7). Для данного объекта указанным выше способом строятся совокупности Е„, Ез, Ез. Рассматривая четвертый участок движения (считая от конца), в полном соответствии с тем, как это делалось выше, строится совокупность Ея. Продолжая этот процесс, путем последовательного перехода от рассматриваемого участка к предыдущему получим совокупности Ез, Еь, ..., Е„,.
Совокупность Е„ ~ представляет собой поверхность в л-мерном фазовом пространстве. Аналогичным образом можно доказать, что Е„, =о". Отметим, что из приведенных выше рассмотрений следует, что поверхность переключения состоит из «особых» точек фазового пространства, т.е.
из таких точек, которые переводятся в начало координат с числом переключений управления, меньшим чем п-1. Глава 3. Оптимальные по быс одействию САУ 513 На первый взгляд кажется, что для реализации оптимального регулятора требуются не только основная перегородка — поверхность переключения, но и перегородки внутри самой поверхности переключения, чтобы реализовать переключение управления при переходе фазовой точки из многообразия Т. в многообразие Т» !. В действительности, это не так. В реальной оптимальной системе фазовая точка движется либо чуть выше, либо чуть ниже поверхности переключения, либо движение по поверхности переключения осуществляется в скользящем режиме.
Поэтому для реализации оптимальной системы требуется «построить» только одну перегородку — поверхность переключения. Пример 3.1. Рассмотрим объект, имеюший передаточную функцию И' (з) = /с (Тз + 1)з Такую передаточную функцию имеет, например, летательный аппарат по каналу крена на некоторых из режимов полета Движение объекта описывается уравнением т — + — =ли /т /с ю Будем предполагать, что на управляющий параметр н наложено ограничение (и)к л, а задающее воздействие у„= яо, здесь я„— произвольная константа Ошибка "=Ус У=ко У и уравнение (3 9) принимает вид с/х Их т — ь — = — ян с// са (3 10) с/"х „с/ х — = (-1)"— с/т с/С" Уравнение (3 !О) можно записать в виде с/ х а."г Т вЂ” — — = -/ш Нт' с/т Полапш и = соля!, найдем решение уравнения (3 11): сто /г — =Се +/а, Ит х = С Те /г + /шт + Сз Перейдем в уравнениях (3. !2) к производной по прямому времени — =С,е' +/сн, л!г яг Ит х=С,Те' +/сит+Со яг (3 11) (3 !2) (3 13) Так как в обратном времени траектории Ц и Е; исходят из начала координат, то постоянные интегриро- вания С, и С, наядам из условий.
Так как уравнение (3 9) имеет второй порядок, то 3 = /с, те поверхность переключения имеет ример- ность 1 и, следовательно, представляет собой линию на фюовой плоскости Для определения линии переключения /„ воспользуемся принципом «попятного движения» Фельд- баума. Введем обратное время с=с, -с, здесь с, — конечное время, с — текушее время Если в прямом времени траектория х(с) проходится от начала к концу, то в'обратном времени т (О < с < с, ) — от конца к началу Справедливы следующие соотношения с(т Ых сИ с/х с/т с/х с/с с/С И И с/С И 5!4 Методы тео ии оптимального и авления.
Часть! П ~,е=о,— ( =о Окончательно получим На рис 3 5 изображены линии Ц и 2,' . Рассмотрев первые участки оптимальной траекпзрии, легко установить, что выше линии (з оптимальное управление и = А, а ниже линии (з оптимальное управление и=-А. Рнс.3.5. Графики фазовых траекторий Обозначим х = е(х) — уравнение линии (з. Тогда оптимальное управление будет задаваться равенством и= Аз(ап(х-о(х)]. На рис.
3.6 представлена структурная схема оптимальной системы Рпс. 3.б. Структурная схема оптимальной системы Пример 3.2. Рассмотрим применение изложенной выше теории для синтеза оптимальной системы третьего порядка Пусть движение объекта задается уравнением А'у — =н Жз (3 15) , бг, Ыт (3 14) х = — Тане чт + Ян т ь (ш Т Уравнения (3.14) определяют (в функции параметра т) в фазовом пространстве с декартовыми координапт тами — и х при и=А линию Ц, анри и=-А линию Е; Аг Глава 3. Оптимальные по быс одействииэ САУ 515 На управляющий параметр и наложено ограничение !и)я А. 3адмощее воздействие имеет вид 2 Уе =дзз +821+до где 8,, 8н 8е — пРоизвольные числа. Введам ошибку Х=Ув У=822 ьИьбе У 2 Нз равенства (3.16) следует, что (3!6) (3 19) где С,, Сз и С, -константы интегрирования.
Перейдем в уравнениях (3.19) к производным по прямому времени А .т Ах 22 тз т' — =ит+Сы — =-и — -СЗ-СЗ, х=и — +С,— +Сзт+СЗ. Агз Ю 2 6 2 Константы С,, Сз, С, определяются из условий Азх ф =хм, — =хм, х( =хм. =о =е Окончательно получим 22 — = ит в хм, Агз тз н кзот ~ х20 пу 2 тз х=и — +хю — -хзот+х,с. 6 2 (3.20) Уравнения (3.20) позволяют рассчитать любую траекпэрию, входящую в совокупность (2 (см рис. 3,4).
Назовем полузраекторией траекторию движения системы (3.17) (или (3 18)), соответствующую постовнному знаку управления и. Будем предполагать, что обратное время г вводится отдельно для каждой полуграектории. Структура оптимальной поверхности переключения представлена на рис 3.4 Положим, в уравнениях (3.20) х,в = тм = хм = 0 Уравнения А'х с.'г т' т' — =вт, — =-и —, х=н— г(ГЗ АГ 2 6 Азх Ау Аз (з Тогда уравнение (3.15) можно записать в виде Азх — = -И.
(3 17) Агз В соответствии с теоремой о числе переключений, оптимальное по быстродействию управление ре- лейно и в переходном пропессе допускается не более двух переключений реле Так как уравнение (3 17) имеет третий порядок, то в бзазовом пространстве системы с декартовыми координатами х, Ах/Аг, А'х/Аг' существует поверхность переключения 5=(2, по олпу сторону ат которой — оптимальное управление к = А, а по другую- и =-А.
В обратном времени уравнение (3.17) принимает вид — =И. Ах (3!8) Ит найдем решение уравнения (3.18), предполагая, что и = сопя!. — = лт в С! Ат тз — =н — +С,т+С,, Ыт 2 3 2 х = и — +С, — +С,т+С,, 6 2 Методы тео ииоптимадьного и авденид. Часть!П 516 при и= А задают(в функции параметра т) линию Ц, анри и=-А — линию Ц Отметим, что параметр т необходима изменять от нуля в положительную сторону В результате численных расчетов, выполненных с помощью уравнений (3 21), линия Ц = Ц 0 Ц задается совокупностью дискретных точек. На рис.
3.7 представлена проекция линии Ц на плоскость х = 0 . Если над каждой расчетной точкой записать соответствующее ей значение координаты х, то с помощью рис 3.7 можно задать линию Ц, Поверхность переключения образуют полуграекгории, приммкающие к линии )э Для определения, например, полуграектории СО (рис 3 8), примыкыощей с управлением и = -А к линии Ц, необходимо в уравнениях (3 20) положить и = -А, а в качестве начальных значений х,с, хм, х,е взять координаты точки В.
Параметр т при этом по-прежнему отсчитывается от нуля в положительную сщрону. Анало- гичным образом строятся лругие полутраектории, образующие совокупность Ц Рис. 3.7. Результаты расчетов (задача 3.2) Полутраектории, входящие в совокупносгь Ц, характеризуются управлением и = А и примыкают к линии Ц Каждая из этих полутраекгорий может быть рассчитана по уравнениям (3.20) Для этого в уравнениях (3.20) следует положить и = А, а начальные знвченив должны совпалать с координатами соответствующей точки линии Ц Легко видеть, что полуграекгории, входящие в совокупность Ц, симметричны относительно начала координат полуграекториям, входящим в совокупность Ц .
На рис. 3 8 изображены проекции образующих поверхность переключения траекторий на плоскость х = 0 . Рис 3 8 позволяет задать поверхность переключения. Для этого нвд кюкдой расчстной точкой необходимо записать соответствующее ей значение координаты х. Отметим, что, с практической точки зрения, результаты расчетов целесообразно оформлять в виде рис. 3 8 Рнс. 3.8. К построению поверхности переключения Поверхность переключения часто задают в виде таблицы с двумя входамн. Для получения такой таблицы необходимо на рис. 3 8 наложить координатную сетку и с помощью интерполяции определить зна- 5!7 Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
