Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Действительно, движение в скользящем режиме в этом случае описывается уравнением Функция у(г) ж у«(г) является решением уравнения (3.55) только при условии, что у« "йму<"'> м...му<"-0=0. Применение уравнений (3.55) для оценки точности режима слежения в общем случае затруднительно. Однако, если в (3.42) )< = О, т.е, уравнение (3.55) имеет вид у+<р( у у" у ) — уо (3.5б) то можно рекомендовать следующий подход. Вместо входного воздействия уе(<) зададим выход системы у(<), который должен удовлетворять первому неравенству (3.46).
Используя уравнение (3.5б), по заданному выходу легко найти соответствующее ему входное воздействие уе(<) . Сравнивая у(<) и уе(г), можно сделать заключение о точности слежения. Отметим, что указанный подход может быть использован и в том случае, когда поверхность переключения задана численно в виде таблицы, как это часто бывает после выполнения соответствующих расчетов по синтезу оптимального управления. 35 зак.
зев 530 Методы тео ии оптимального п авления. Часть РП Если в равенстве (3.55) ф — аппроксимирующая кусочно-линейная функция, то анализ системы существенно упрощается, т.к. уравнение (3.55) может быть легко проинтегрировано при произвольном входном воздействии. Однако и в этом случае удобно задаваться не входом системы, а ед выходом. Действительно, относительно функции уо(~) уравнение (3.55) имеет более низкий /с -й порядок.
Функцию у(г) всегда можно выбрать так, чтобы выполнялось первое условие (3.46). Так как второе условие в оптимальных и квазиоптимальных системах, как правило, выполняется, то, следовательно, удается исключить из рассмотрения участок выхода системы на скользящий режим движения. Это, вообще говоря, сделать невозможно, если задавать входное воздействие уо(1). Отметим, что, как следует из привед6нных выше рассуждений, неравенства (3.46) сохраняют свою силу и для кусочно-гладкой функции ф . Если в оптимальном законе управления используются «естественные» координаты объекта, то описанные выше привмы оценки точности режима слежения можно сохранить, воспользовавшись методом эквивалентного управления [58).
Очень часто «естественные» координаты объекта можно легко выразить через выходную координату и ее производные. Это позволяет для оценки точности режима слежения непосредственно использовать уравнение (3.44). Сделаем одно уточняющее замечание. Следящую систему, которая без ошибки воспроизводит любое допустимое входное воздействие, т.е. воздействие, удовлетворяющее неравенству (3.38), назовем идеальвой. Выше было установлено, что система (3.36), (3.40) является идеальной следящей системой.
При этом поверхность (3.41) необязательно должна соответствовать оптимальному закону управления. Нетрудно показать, что справедливо и обратное утверждение; если детерминированная следящая система является идеальной, то ее закон управления задается в форме (3.40). Сформулируем последний результат более строго. Будем предполагать, что в законе управления следящей системы может использоваться информация о входном и выходном сигналах, а также об их производных и первообразных, т.е. "=г(уу "*у уо уо" у у у ". у уо "уо ) (357) Соотношение (3.57) охватывает все возможные случаи применения линейных и нелинейных корректирующих устройств. В равенстве (3.57) следует положить ~' < л, т.к. в соответствии с (3.36) переменные у(г), у'(г), ..., Уро(г) однозначно задают управление и .
Справедливо следующее утверждение: если следящая система (3.36), (3.57) является идеальной, то закон управления (3.57) имеет вид (3.40). Отсюда, в частности, следует, что только релейный закон управления может обеспечить идеальное воспроизведение любого допустимого входного воздействия.
3.4. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ УЧЕТА МАЛЫХ ПОСТОЯННЫХ ВРЕМЕНИ Известно, что при синтезе оптимального по быстродействию управления объйм вычислений с увеличением порядка системы катастрофически возрастает. И дело здесь, собственно, не столько в численном определении самой поверхности переключения (хотя и это сопряжено с некоторыми трудностями), сколько в обработке огромного массива чисел', дискретно задающих поверхность переключения, а также в получении подходящей аппроксимации. Для систем низкого (второго и третьего) порядков вычисление поверхности переключения и ее аппроксимации обычно не составляет большого труда.
В соответствии со сказанным выше, для систем высокого порядка большое значение приобретают приближйнные способы, прижимы и методы синтеза оптимального управления. Глава 3. Оптимальные по быс одействию САУ 531 В настоящем разделе предлагается приближЕнный способ синтеза оптимального по быстродействию управления.
Этот способ позволяет при синтезе оптимального управления приближенно учесть влияние малых постоянных времени. От других известных в литературе методов данный выголно отличается тем, что благодаря аппроксимации системы высокого порядка системой низкого порядка с запаздыванием он достаточно точно учитывает «вклад» малых постоянных времени в оптимальный закон управления.
В передаточных функциях технических систем можно выделить большие и малые постоянные времени. Звенья, содержащие большие постоянные времени, обычно описывают силовую часть системы, а звенья, содержащие малые постоянные времени, — управляющую часть. В дальнейшем будем исходить из следующего: малые постоянные времени приводят к малым изменениям в поверхности переключения. Передаточную функцию системы, полученную из исходной путем исключения звеньев, содержащих малые постоянные времени, назовйм базовой, а соответствующий ей оптимальный по быстродействию закон управления — базовым законом.
Совокупность звеньев, не входящих в базовую передаточную функцию, образует систему, которую будем называть дополнительной. Способы получения базового закона управления рассмотрены выше. Остановимся на тех изменениях, которые следует внести в базовый закон управления, чтобы учесть влияние малых постоянных времени. Изложение указанного подхода целесообразно начать с рассмотрения конкретного примера.
При этом в целях упрощения будем предполагать, что ограничение накладывается только на управление. На рис. 3.12 изображена структурная схема объекта, причем пунктиром выделена базовая передаточная функция. Пусть на управляющий параметр и наложено ограничение (и~<А. Исключив звено с малой постоянной времени, легко определить оптимальный по быстродействию закон управления.
Он задабтся равенством и = -А 518п(уз - ср(уз)), (3.58) где уз = ср(уз) — уравнение линии переключения. Рнс. 3.12. Стру«турная схема объекта Оптимальное по быстродействию управление релейное как в базовой, так и в исходной системах. Однако в исходной системе на вход базовой передаточной функции поступает координата у,(г), которая «сглаживает» репейный сигнал и(г) (рис.
3.13). Так как Т, «Тз, то базовая система обладает существенно большей «инерционностью», чем дополнительное звено, т.е. базовая система практически не реагирует на форму быстрых изменений координаты у,(г), а «отслеживает» их среднее значение. Это позволяет приближенно учесть влияние дополнительного звена, заменив его звеном запаздывания. На рис. 3.12 пунктиром изображены запаздывающие моменты переключения, компенсирующие влияние малой постоянной времени. Следует отметить, что введение запаздывания является распространенным прибмом, который используется при аппроксимации систем высокого порядка моделями низкого порядка.
35" Методы тео ни оптимального и авления. Часть!11 532 Рис. 3.13. Графини оптимальных управления Воспользуемся известным способом синтеза систем с запаздыванием, который заключается в том, что в законе управления (3.58) текущие координаты уз и уз заменяются упреждднными на запаздывание т. Однако вместо традиционной для таких задач схемы упреждения, основанной на использовании формулы Коши для решения системы линейных дифференциальных уравнений, будем использовать ряд Тейлора (траектория релейной системы не является аналитической функцией, и, строго говоря, она не может быть представлена рядом Тейлора; однако ниже будут использоваться только такие произволньхе, которые дпя данной системы существуют и непрерывны). Ограничиваясь первым членом ряда Т9йлора, можно записать 42(г) уЗ(1 Ьт) и уЗ(1)+ 3 т, 4' (г) уз(г+ т) = у2(1)+ 2 т. Из передаточной функции системы следует, что 4'3 пУ2 1 Ь У2).
пг«с11 Т2 Заменяя в законе (3.58) текущие координаты на упрежденные, получим ! и=-Аз!8п уз+узт — ср у2+ — (у, — у2)т (3.59) Т2 Отметим, что в закон управления (3.59) входят все фазовые координаты объекта. Из приведенных выше рассуждений следует, что при правильно подобранном значении запаздывания т закон управления (3.59) достаточно точно учитывает влияние малой постоянной времени Т,, т.е. его можно рассматривать в качестве приближенного оптимального закона управления объектом, изображйнном на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
