Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Поэтому для реализации оптималь- ного регулятора необходимо выполнить аппроксимацию поверхности переключения, т.е. получить для задания поверхности переключения аналитическую зависимость. Вид аппроксимирующей функции существенно зависит от того, какие вычисли тельные элементы будут использоваться при построении функционального пре образователя. Цифровые вычислители обладают большой универсальностью и в этом смысле не накладывают практически никаких ограничений на формулу аппроксимирующего выражения. Но в оптимальной системе вычислитель работает в реальном масштабе времени, и поэтому при выборе аппроксимирующей функции следует стремиться к тому, чтобы уменьшить объбм вычислений, необходимый для формирования сигнала управления.
Аналоговый вычислитель мгновенно отрабатывает сигналы, поступаю- щие на его вход. Однако он накладывает весьма жесткие ограничения на вид аппрок- симирующей функции. Аппроксимация поверхности переключения для систем произвольного порядка рассмотрена в !22]. Однако строгий синтез оптимальной системы для объектов высо- кого порядка очень сложно осуществить на практике. Поэтому для систем высокого порядка, как правило, используют приближенные методы синтеза, о которых речь пойдет ниже. На этом основании в данном параграфе мы остановимся на аппрокси- мации поверхности переключения только для систем третьего порядка.
Для систем третьего порядка поверхность переключения задается равенством х« = Г'(хз,хз) . В процессе расчета точек поверхности переключения легко построить сечения по- верхности переключения какими-либо плоскостями, например, хз = сопз« . На рис. 3.11 представлен вид таких сечений лля одного конкретного объекта управления, Каждое такое сечение можно аппроксимировать выражением вида ~ а «р',(хз), (3.25) «-о здесь «р',(хз) («' — номер сечения) — некоторые известные функции, а значения (п+1) коэффициентов а,, например, определяются по методу наименьших квадратов, т.е. выбираются так, чтобы минимизировать среднюю квадратическую ошибку И и ~ю(аО а! а~) ~ .«(х2 хз(«)) ~ а««РГ(хз(«)) «=о п=а (3.26) дг", — '=О (/=О,п).
Уравнение (3.27) приводит к системе линейных алгебраических уравнений (п+1) порядка. (3.27) В равенстве (3.26) хз(««) — расчйтные точки. Коэффициенты а', определяются из уравнений 522 Методы тес ни оптимального п авления. Часть!П На практике в качестве аппроксимирующего выражения (3.25) часто используется многочлен, т.е. сс,сР/(хз) = ~' С,х» 3=О З=О здесь неизвестными являются (и+1) коэффициентов С,. Коэффициенты С много- члена (3.28) зависят от сечения, т.е. являются функциями х2. Рассчитав для каждого сечения аппроксимацию (3.28), найдйм, как зависят коэффициенты С,' от перемен- н ой х2.
Для коэффициентов С,, в свою очередь, можно построить аппроксимирующую зависимость, используя для этого, например, многочлены степени / с неизвестными коэффициентами ЬЗ. Коэффициенты ЬЗ можно также определить по методу наименьших квадратов. В результате получим аппроксимацию вида и / (хз,хз) = ) ~ Ь~~хзхз~ . 3=о =о Применение для аппроксимации сечений многочленов не всегда оправдано.
Вообще при выборе аппроксимирующих зависимостей необходимо учитывать частные особенности сечений. В частности, весьма полезными могут оказаться ортогональные разложения. Остановимся подробно на ешд одном способе аппроксимации, который, на наш взгляд, хорошо учитывает частные особенности поверхности переключения и который позволяет получить достаточно точную и сравнительно простую аппроксимирующую зависимость. В дальнейшем будем считать, что Дхз,хз) — непрерывная функция, заданная в некоторой области Р . В силу симметрии поверхности переключения /'(-Х2,'-хз) = -/'(Х2, хз) . Будем функцию /(хз,хз) аппроксимировать выражением Ь(хз 4 /11х2) + а(х2 + /12хз) полагая, что Ь и 8 — непрерывные функции.
Функции Ь и 8 и неизвестные числа /сс и /42 найдем из условия минимума функционала Ц [ / (х2, хз) — Ь(хз + Асх2) я(х2 + /42 хЗ)з с/х2 с/ХЗ. (3.29) о' Область Р (Р ~ Р) представляет собой параллелограмм, ограниченный прямыми хз =-/с,х, +~, хз =-/с,х2-/4, (3.30) х2 = -/42хз + Ь2, х2 = -/12хз - Ь2 . Найдем минимум функционала (3.29). Выберем произвольные непрерывные функции Ь(хз+/с,х2) и 8(ХЗ+/сзхз) и дадим Ь и л приращения 61Ь(хз+/ссх2) и 628(ХЗ+/сзхз), а коэффициентам /сс и /42 — приращения 63 и 64. В результате получим /(61,62,63,64) Ц 1/(ХЗ ХЗ) — Ь(ХЗ+/41ХЗ+63Х2) О' -61Ь(хЗ + /41х2 + 63х2) 8(х2 + /42хз + 64хЗ)— 2 626(Х2 + /С2ХЗ + 64ХЗ)3 4/ХЗС/ХЗ.
Глава 3. Оптимальные по быс одействию САУ 523 й / — = 2Ц [/ (Х2 хз) -Ь(хз+Ьсхз)-а(х2 +/сгхз) « да 24,4 о о' «Ь2(Х2 4-ЬЗХЗ)сйзсйз = 0; И вЂ” = 2Д /144 (Х2, хз) Ь(хз +/с хг) а(Х2 + Ьзхз)21« де 3 в,-о О' « с/Ь(х3 + Ь! х2 ) Х2 2 3= с/(х3 .!. Ьс х2 ) д/ — =2Ц [/(ХЗ,ХЗ)-Ь(ХЗ+/ссх2)-й(Х2 +ЬЗХЗ)1« де 4 4,,=О Р' « ! с/в(Х2 + Ь2ХЗ) ,~~ь, /; =о. с/(Х2 + /СЗХЗ) Введем новые переменные: г!'= /41х2 + хз ', 22 = Ь2хз + х2 . Предположим, что Ь!ЬЗ ~! (в противном случае функции Ь и я можно привести к одному аргументу).
Заменив в интегралах (3.31) переменные, получим )/ ( / (г1. Х2, Ь1, ЬЗ ) - Ь(г ) — а(г2 ))с/гз -ь, ) (/(гр,гз,/сс,Ь2) — Ь(гс) — а(гг))с/г! -ь, Ьс(гс)с/гс = О, ЬЗ(гз)с/г2 = О, ьс / / !Гьо*»М>-СС*)2-ГС~1! [ — *,/СЬС* ' — Ьс 1 с/Ь +/с2 [ ~ [/(гс,г2,/сс,Ь2)-Ь(г!)-фгз)] — гсс/гсс/22 =О, -ь! -ь! ! / / !ГС*,,*,,с, Ь1-«*,1- С*,!! [ — '*,)*~, -к-ь, (Ь2 ь, ь, с/ +/с! )/ )/ [/(21,22,Ь1,/с2)-Ь(г!)-й(г2)] — ггс/гсс/22 =О. Я -ь -ь, сЬ2 (3.32) Отметим, что, хотя область /3 определяется через неизвестные коэффициенты /с! и Ь2, она предполагается заданной.
Поэтому коэффициенты Ь! и Ь2 в равенствах (3.30) не варьируются. Задание области /) соотношениями (3.30) позволяет существенно упростить окончательный результат. Если функции Ь(ХЗ+Ьсхз) и я(Х2+ЬЗХЗ) доставляют минимум функционалу (3.29), то должны выполняться следующие условия: й/ — = 2Ц [/'(хг,х,)-Ь(хь4 Ь х2) -я(Х2+/сэтз)1« дя 1 с,,=о о' «Ьс(ХЗ+/ссх2)оссгс/ХЗ =0; 524 Методы тео ии оптимального п авления. Часть !Н Учитывая, что уравнения (3.32) справедливы для произвольных функций Ь,(г,) и Ьг(гг), найдем ь„ Ь(г!) = — ) Д~!,~2,Ь!,/с2)пг2, 202 -ь с 1 ь, н(гз) ! (г! 22 ~! ~2) с ! 2Ь, ь Г а Ь(Ь,)1 )' )(г„гг,К„lсг)гг — — — и!г!!222 — — О, с!г! Ь! -ь -!о ~ ~ У(...,,ЬпЬ,).,~ — — ~Ь,Ь, =О.
Г и!я я(Ь )1! ог2 (3.33) -350 -250 -150 -50 50 150 250 х, х, 80 40 -40 -80 -120 ге= 80 40 0 -40-80 Ряс. 3.11. Сечення пояерсностн переключения плоскостямн Соотношения (З.ЗЗ) являются уравнениями Эйлера для функционала (3.29) н позволяют определить аппроксимирующие функции Ь(хз+ к2х2), а(х2+ язхз) и коэффициенты Ь! н 82. Аппроксимация 1(гг,хз) = Ь(хз + Ь!х2)-1- я(хг + Ьгхз) (3.34) позволяет легко построить функциональный преобразователь на два входа.
Для этого требуются лишь два нелинейных преобразователя с одним входом и суммирующие звенья. Следует отметить, что, несмотря на простой вид, выражение (3.34) часто аппроксимирует поверхность переключения с довольно высокой точностью. Объясняется это частными особенностями поверхности переключения. На рис. 3. !! изображены сечения поверхности переключения некоторого объекта управления плоскостями хг =сопз1.
Назовйм сечение поверхности переключения плоскостью х2 = 0 нулевым сечением. Глава 3. Оптимальные по быс одействию САУ 525 3.3. ОШИБКИ СЛЕЖЕНИЯ В ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ САУ Начиная с первых работ по оптимальному управлению [64, 65), в литературе большое внимание уделялось синтезу оптимальных по быстродействию систем автоматического управления.
Однако, как следует из определения оптимального по быстродействию управления, оно обеспечивает наибыстрейший перевод системы в заданное состояние, т.е. оптимизирует в системе переходный процесс. При этом такая важная характеристика, как точность регулирования (точность слежения), выпадает из рассмотрения. Если при синтезе оптимального управления удайтся в полной мере учесть возможные входные воздействия, то оптимальная система воспроизводит их идеальным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
