Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Оптимальные по быс одействию САУ чеиия координаты х в узлах зюй сетки. В верхней строке таблицы записываются значения координаты А'х/сй, в левом столбце — значения координаты Ах/Ш, а на пересечении строки и столбца — соответствуюшее им значение координаты х Положим, что х = /(х',х") — уравнение поверхности переключения Нетрудно установить, что выше поверхности переключения и = А, а ниже поверхности переключения и = — А Оптимальный закон управления, таким образом, можно записать в виде и = Аз!вл[х — Т(х',х")[ На рис 3 9 представлена структурная схема оптимальной по быстродействию сисюмы управления Таблица 3. I Уь Рнс.
3.9. Структурная схема оптимальной по быстродействию системы управления 3.1.3. ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА Выше рассмотрен синтез оптимального управления и показано, что если Т(г) = О, то в фазовом пространстве системы сушествует поверхность переключения Я = Т.„, . Если Т(г) ж !), то поверхность переключения оказывается нестационарной. В этом случае синтез оптимального управления целесообразно проводить в расширенном пространстве, размерность которого зависит от заданного класса входных сигналов.
Именно в расширенном фазовом пространстве можно обеспечить стационарность поверхности переключения. Поясним это на конкретном примере. Рассмотрим объект, движение которого задабтся уравнением (3.9). Пусть входной сигнал имеет вид Уо =%!+во где я, и яо — произвольные константы. В соответствии с пунктом 7.!.2 перейдем в уравнении (3.9) к ошибке 518 Методы тео ии оптимального п авления. Часть П! х = Уо У = 81/+ 8о Изх с/х Т вЂ” + — = -/сн+ дг с//~ с// В это уравнение входит параметр я,, характеризующий входной сигнал.
Поскольку уравнение удовлетворяет теореме о числе переключений, то при любом фиксированном я, в фазовом пространстве с декартовыми координатами х, а!х/с// можно указанным в пункте 3.1.2 способом построить линию переключения. Разным значениям параметра я~ будут соответствовать различные линии переключения. Увеличим на единицу размерность пространства: рассмотрим пространство с декартовыми координатами х, с/х/с//, оуо/с//. Каждому фиксированному Щ/й в этом пространстве соответствует линия переключения, а множество всевозможных линий переключения образуют в расширенном фазовом пространстве поверхность переключения (рис. 3.10).
Эта поверхность задает оптимальное управление при любом входном сигнале рассматриваемого класса. 4е=ь Рос.3.10. К опреяеиенню поверхности переключении Таким образом, если /'(/) и О, то синтез оптимального управления выполняется в расширенном фазовом пространстве системы. В зависимости от заданного класса входных сигналов в число дополнительных фазовых координат могут входить ряд производных входного сигнала, а также время /. Для данного случая сохраняет свою силу разработанная в пункте 3.1.2 процедура синтеза.
Однако, поскольку поверхность переключения в исходном фазовом пространстве является нестационарной, необходимо многократное повторение указанной выше процедуры синтеза. На практике входной сигнал обычно задают в виде многочлена. Будем считать, что входной сигнал имеет вид (3.22) г'=о где я, — произвольные константы. Обозначим /с порядок астатнзма объекта управления (3.1). Нетрудно видеть, что для объекта (3.1) при входном сигнале (3.22) синтез оптимального управления должен осуществляться в расширенном фазовом пространстве порядка и+(г-/со1)х х1(г-/с)+1(г-/с — 1), где Глава 3. Оптимальные по быс одействию САУ 0 при з<0, 1(г) = 1 прн г>0. 519 Например, для объекта (3.9) при г = 2 синтез оптимального управления осуществляется в пятимерном пространстве с декартовыми координатами х, Ых/Й, Ыуо/иг, А уо/(г,. Изложенный способ синтеза позволяет построить закон управления, который гарантирует строго оптимальное управление при любом входном сигнале из заданного класса.
Однако он приводит к увеличению размерности пространства, в котором осуществляется синтез. Так как с увеличением размерности пространства объем необходимых вычислений нарастает лавинообразно, то в некоторых случаях это может служить серьезным препятствием для практического использования данного подхода. Рассмотрим ешб один способ синтеза, который не требует увеличения размерности пространства, и его можно применять при любых входных сигналах.
В следящей системе входной сигнал заранее неизвестен, но он должен быть допустимым, т.е. должен удовлетворять неравенству (3.5). Неравенство (3.5) гарантирует принципиальную воспроизводимость объектом (3.1) входного сигнала уо(г). Однако реальная система должна не только обеспечить воспроизведение входного сигнала, но и «догнать» его. Поэтому реальная техническая система проектируется таким образом, чтобы ее динамические возможности существенно превосходили те, которые требуются для воспроизведения входных сигналов. Таким образом, для любого технического объекта управления выполняется неравенство уо +и -)уо +" +")уо+иоуо<ь«А) м) (»-1) где А, обычно существенно меньше А. Задачу синтеза оптимального по быстродействию управления для уравнения (3.6) будем рассматривать как дифференциальную игру, в которой один из игроков распоряжается выбором управления и, а второй игрок — выбором управления 9 = Дг) .
На управления и и 9 наложены ограничения: < и « А, < 9 < й «А) . Первый игрок выбором управления и стремится обеспечить наибыстрейший перевод фазовой точки х =(х,х',...,х~" ) в начало координат, а второй игрок с помощью управления 9 препятствует этому. Если второй игрок не в силах помешать переводу фазовой точки х в начало координат, то он стремится увеличить время перевода. Решение указанной дифференциальной игры задается с помощью поверхности переключения, которая строится изложенным в пункте 3.1.2 способом.
Однако в данном случае при построении поверхности переключения ограничения (3.2) следует заменить неравенством <и«А где А = А-А,. Отметим, что поверхность переключения по-прежнему строится в о соответствии с уравнением (3.7), Пусть х =)р(х',х',...,х~" )) — уравнение поверхности переключения. Решение (для первого игрока) дифференциальной игры задайтся равенством и = А гййп [х — <р(х',х,...,хы и)) . (3.23) Закон управления (3.23) не является строго оптимальным, а построен по принципу гарантированного результата: он обеспечивает минимальную длительность пере- 520 Методы тео ии оптимального п авления, Часть 1П ходного процесса при наихудшей функции Дг), т.е.
при наихудшем (для данного начального вектора х(0)) варианте входного сигнала уа(г) . В остальных случаях данный закон управления гарантирует длительность переходного процесса, которая обязательно должна быть меньше, чем оптимальная при наихудшей функции г"(г) . Практическое использование данного подхода показывает, что закон управления (3.23) обладает высокой эффективностью. Так как фактически в данном случае имеет место шра против природы, которая не отличается злонамеренностью, то реальный результат оказывается существенно лучше гарантированного. С прикладной точки зрения закон управления (3.23) часто вполне можно рекомендовать в качестве оптимального.
Разработанный в пункте 2 метод синтеза базируется на теореме о числе переключений и, строго говоря, справедлив лишь в том случае, когда характеристический многочлен р +а„,р" +...+аьр+ав, (3.24) соответствующий уравнению (3.6), имеет только вещественные корни. На самом деле данный подход можно использовать и при наличии комплексных корней. Однако, если характеристический многочлен (3.24) имеет хотя бы одну пару комплексных корней, то установленная в пункте 3.1.2 структура поверхности переключения (см.
рис. 3.8) справедлива не для всего фазового пространства, а лишь для некоторой, включающей начало координат, области фазового пространства. На практике эта область оказывается обычно достаточно большой и включает в себя начальные условия, которые могут встретиться в реальной технической системе, т.е. при синтезе оптимальной системы управления техническим объектом, как правило, можно использовать метод синтеза, разработанный в пункте 3.1.2, Точное выделение указанной выше области является весьма трудной задачей.
В качестве определенного ориентира в этом направлении можно привести следующий результат. Если характеристический многочлен (3.24) имеет комплексные корни, то оптимальное управление также является релейным и задайтся с помощью поверхности переключения, которую будем обозначать 5 . Если рассматривать поверхность о в целом, то она отличается от поверхности б, структура которой изображена на рис. 3.4. Однако в некоторой области, включающей начало координат, поверхность о имеет туже структуру, что и поверхность Б .
Обозначим р =а +гта комплексный корень характеристического многочлена (3.24), имеющий максимальную по модулю мнимую часть. В соответствии с рис. 3.4, поверхность переключения б состоит из траекторий'движения, по которым фазовая точка системы переводится в начало координат. Любая точка поверхности о, которая переводится в начало координат за время т, удовлетворяющая неравенству т < я/~с~, принадлежит также поверхности 5 . Отметим, что данный результат легко следует нз принципа максимума Понтрягина. Иногда при синтезе оптимальной системы нельзя ограничиться отмеченной выше частью поверхности б . В этом случае синтез оптимального управления осуществляется с помощью принципа максимума Понтрягина. 3.2.
АППРОКСИМАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ На рис. 3.9 изображена структурная схема оптимальной по быстродействию системы, из которой следует, что для реализации оптимального регулятора требуется функциональный преобразователь на два входа. Число входов функционального пре- Глава 3. Оптимальные по быс одействию САУ 521 образователя определяется размерностью пространства, в котором осуществляется синтез оптимального управления. Например, если поверхность переключения строи- лась в п-мерном фазовом пространстве, то для реализации оптимальной системы необходим функциональный преобразователь на п-1 входов. Поверхность переключения после соответствующих расчйтов, как правило, зада- ется дискретно в виде некоторого массива чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
