Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Однако на практике такое встречается крайне редко. Необходимо также иметь в виду, что в технических системах оптимальный закон управления реализуется приближенно. Рассмотрим объект, движение которого описывается уравнением ум)+а„,у!" )+...+а,у'+а»у= (3.36) = сси+Ь„,М!") +Ь,МС ') +... +~М'+Ь)сМ. Здесь у — регулируемая величина; М вЂ” возмущающее воздействие; и — управление; а,, Ь), )с ()с > О) — некоторые числа. Предполагается, что на управляющий параметр и наложено ограничение !и( <.4. (3.37) Введем ошибку х = уо -у, где уо(с) — входное воздействие. В случае идеального слежения ошибка х(г) ж О.
Очевидно, идеальное слежение принципиально возможно лишь за таким входным воздействием, которое удовлетворяет неравенству 1: Уо +а -)Уо +".+аоуо Ь М Ь -)М ". Ь»М~йх4 Будем предполагать, что имеет место строгое неравенство Уо +а -)Уо + "+аоуо Ь М -Ь )М вЂ”...— Ь»М~«х4. сп) м-)) си) Ст-1) Подставим в уравнение (3.36) у = уо — х хы) +а„)хС" ') +...+аох=-)си+ )'(с), (3.39) где Из рис. 3. ! ! видно, что любое сечение может быть получено приближенно путем сдвига (без вращения) нулевого сечения вдоль осей хз и х,. Это дает возможность представить (приближйнно) уравнение поверхности переключения в виде х = с)с(хз + у(хз )) + !)( з ) (3.35) В равенстве (3.35) функция ф задайтся графиком нулевого сечения, функция 7(хз) учитывает смещение нулевого сечения вдоль оси хз, а функция ()(хз) — вдоль оси х,. Если считать функцию у(хз) линейной (а это обычно имеет место), то равенство (3.35) является частным случаем аппроксимации (3.34). Этим и объясняется достаточно высокая точность аппроксимации (3.34).
Для численного решения системы уравнений (3.33) можно рекомендовать метод Ньютона, причем в качестве начальной точки поиска целесообразно использовать соответствующие значения, полученные по «методу сечений». Хороший выбор начальной точки обеспечивает быструю сходимость метода Ньютона. 526 Методы тес ии оптимального п вяления. Часть!П Л ) = Х'(г)-Х'(г), .г (г)=ус +и -~уо +".+"1уо+овуо я (г)=Ь М1 1+Ь,М1 и+...+Ь,М'+ЬеМ.
Введем вектор х = (х,х',...,х1" и). В векторном пространстве с декартовыми координатами х, х', ..., х~" ~ идеальному слежению соответствует начало координат. Синтезом оптимального управления будем называть построение такой функции 8(хд), при которой управление и = 8(хд) переводит фазовую точку системы (3.39) из произвольного начального состояния в начало координат за минимально возможное время. В данном разделе всюду предполагается, что при синтезе оптимального управления функция Дг) принимается равной нулю.
Кроме того, в правильно спроектированной системе в режиме слежения ограничители не достигаются, поэтому для удобства будем считать, что они вообще отсутствуют. Оптимальное по быстродействию управление задается равенством и = А з(йп (х — <р(х', х',..., хы '1)) . (3.40) Здесь х =ср(х',х',...,хы 1) (3.4 1) — уравнение поверхности переключения. Если входное и возмущаюшее воздействия таковы„что 1'(г) м О, то система (3.36), (3.40) идеальным образом воспроизводит входное воздействие, прнчйм слежение за входным сигналом происходит в скользяшем режиме. Решение у(г) м уе(г) устойчиво в целом, или, по крайней мере, область притяжения этого решения совпадает с областью управляемости системы (3.36), (3.40).
Если Дг) м О, но слежение за входным сигналом по-прежнему происходит в скользящем режиме, то справедливо уравнение (3.41). Так как р(0,0,...,0) = 0, уравнение (3.41) допускает решение х(г) = О. Таким образом, н в этом случае имеет место идеальное воспроизведение входного сигнала.
Следует иметь в виду, что в силу структуры поверхности (3.41) в скользящем режиме движения траектории х(г) стягиваются к началу координат. Остановимся на условиях существования скользящего режима. При получении условий сушествования будем предполагать, что оптимальный закон управления определяется равенством и = А з(йп (х - ср(х',х",...,х(~1,-у(~ П,-У1~'~1,...,-У(" 0)) .
(3.42) Введбнные здесь изменения по отношению к закону (3.40) объясюпотся тем, что при синтезе оптимального управления входное воздействие обычно задается в форме многочлена. Если указанный многочлен имеет степени Ь и ! <и-1, то х =-у (ь+!) (ьм) х1 ' 1=-у1 ' 1, ..., х1" 1=-у1" 1. Это дабт возможность представить оптимальный закон в форме (3.42).
В законе управления (3.40) используются производные входного сигнала до (л-1) -го порядка вюпочительно, получение которого удайтся далеко не всегда. Поэтому оптимальный закон управления часто реализуют в форме (3.42). В соответствии с работой 158) условия существования скользящего режима задаятся неравенствами Глава 3. Оптимальные по быс одействию САУ 527 —...— — х е ~Ч' (ьм) д'Р (! лз) о'Р ( -!) дх(~) д(-у("'!) ) д( — у(л 2) ) .1с + ... + У + [/СИ + /с (/) - аЕУ - а)У' —... — ал >У( ' !) ] ] < О, а(-у(л-'>) сл= А — ~х-(р(х',х',...,х( ),-у( ),...,-у( ) ]1 =х'- —,х"- —,х— с// 1„А дх' дх' (>сл1) (Р (>сл2) аСР (л-1) дх(сс) д( у(>сл>)) "' д( (л-2)) + [/си+/*(/)-аеУ-а)У'-...-а„!Усл !)]! >О. а(->( ') сл=-А Движение в скользящем режиме определяется уравнением х=(р(х',х',...,х( ),-у( '),-у( ' ),...,-у(" )), (3.43) (3.44) где х=уе-у. Найдем нз (3.44) х'(/) и подставим в (3.43).
В результате получим неравенства дср (л-!) (л) а1-" ') АА+у' (/)-аеу-а,у'-...-ал,у -у 1<0, д(р (л-1) (л) а(-у("-') ) -/сА+ /' (/) — аеу — а>у' — ... — ал (у — у 1) О. (3.45) Условия (3.45), как легко видеть, эквивалентны следующим соотношениям: ]у(")+о„!у(" ')+...+ у- /' (/)~ < ~А, (3.46) <О.
(3.47) ЗДЕСЬ Х(/) =(Х(/),Х(/),...,Х(")(/),-у(ГМ)(/),-у("'2)(/),...,-у(л ')(/)) — Н-МЕриая ВЕК- тор-функция, представляющая собой решение уравнения (3.44). Отметим, что неравенства (3.46) проверяются на решениях вырожденного уравнения. Первое из условий (3.46) представляет собой ограничение на выходной сигнал у(/) .
Интересно отметить, что это ограничение совпадает с динамическими возможностями объекта (3.36). Второе условие (3.46) задает ограничение на вид функции ср . Если в равенстве (3.42) /с = п-1, т.е. рассматривается закон управления в форме (3.40), то второе неравенство (3.46) принимает вид <О. л (л-1) л л(с) Как следует из структуры поверхности переключения, при любом порядке системы (3.36) 528 Методы тео ии оптимального авления.
Часть 1П х("' = — )си+7"(с), (3.49) т.е. можно считать, что в окрестности начала координат поверхность переключения строилась в соответствии с уравнением х( ) =-)си. (3.50) Исходя из неравенства (3.48) и уравнения (3.50), нетрудно установить, что управление и = А переводит фазовую точку х системы (3.49) из начала координат в область х-ф<0, а управление и=-А — в область х-ср>0. Таким образом, для системы (3.36), (3.40) при любом входном воздействии, удовлетворяющем неравенству (3.38), в точке х = 0 всегда выполняются условия существования скользящего режима. Как уже отмечалось, при реализации оптимальной системы вместо функции с() ис- пользуется аппроксимирующая функция ф .
Аппроксимирующие функции могут быть весьма разнообразными. Однако, если при реализации оптимальной системы применяются аналоговые вычислительные элементы, то функция ср, как правило, является кусочно-линейной, причем в окрестности точки х = 0 функция ф линейна и — 'мО, с7с() (л-0 л О (3.51) Пусть в окрестности точки х = 0 функция ср задается уравнением Так как условия (3.46) являются достаточными, то равенство (3.47) необязательно приводит к срыву в точке х = 0 скользящего режима движения.
Очевидно, соотношения (3.47) не приводят к срыву скользящего режима движения, если управление и = А переводит фазовую точку х из начала координат (точки х = О) в область, где х-с()(х) < О, а управление и = -А — в область', где х — ср(х) > О. Данное условие может быть проверено с помощью уравнений уО у х уО у''"'» уО м) м) м) у(л) + ал,у(" ) +... + а у'+ аеу = (си + Г (С) . При реализации оптимального регулятора функция ср(х), как правило, аппроксимируется некоторым выражением.
Если используются аналоговые вычислительные элементы, то полученные аппроксимирующие зависимости, в свою очередь, аппроксимируются кусочно-линейными функциями. В конечном счдте получается оптимальный (квазиоптимальный) регулятор, для которого условие (3.47) не имеет место. Вместе с этим оказывается возможным, оценивая существование скользящего режима, ограничиться проверкой неравенств (3.46). Остановимся более подробно на законе управления в форме (3.40). В этом случае, как уже отмечалось, скользящий режим обеспечивает идеальное воспроизведение любого входного сигнала, удовлетворяющего неравенству (3.38).
Так как в режиме слежения х(с) ж О, то в каждый момент времени с ж =О. (л-() .(с)са Из первого условия (3.46) вытекает, что (.) ((4 < ~А, (3.48) т.е. первое условие (3.46) совпадает с неравенством (3.38). В окрестности точки х = 0 уравнение (3.39) можно приближенно представить в виде Глава 3. Оптимальные по быс одействию САУ 529 и-< х=~ С,х<'~. (3.52) г=< Непосредственно из соотношений (3.52) и (3.38) следует, что неравенство ~,1 =С„, 0 (3.53) В=О гарантирует существование скользящего режима в точках поверхности переключения, принадлежащих некоторой окрестности начала координат.
Поскольку при любых малых отклонениях от начала координат гарантируются выход фазовой точки на поверхность переключения и последующее движение (в скользящем режиме) по указанной поверхности, то решение х(г) =0 является устойчивым, если устойчиво вырожденное уравнение (3.52). Таким образом, если для объекта (3.3б) оптимальный закон управления реализуется в форме и = А з<яп (х-<р (х',х",...,х<" и)), (3.54) и <р — кусочно-линейная функция, для которой справедливо неравенство (3.53), и, кроме того, вырожденное уравнение (3.52) устойчиво, то в системе (3.3б),(3.54) любое допустимое входное воздействие вос<пэоизводится идеальным образом.
При этом решение х(<) и у(<) устойчиво в малом. Законы управления в форме (3.54) и (3.40) обеспечивают идеальное воспроизведение входного сигнала, причем не требуется измерение возмущающего воздействия М(г). Однако это возможно лишь при использовании чистых производных. Если вместо производных выходной величины в законе управления применяются «естественные» координаты объекта (ток, давление и т.п.), то возмущающее воздействие через «естественные» координаты войдйт в вырожденное уравнение движения. В этом случае идеальное слежение возможно только при измерении возмущающего воздействия. В отличие от соотношений (3.40) и (3.54), закон управления в форме (3.42) не обеспечивает идеального слежения за произвольным допустимым входным сигналом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
