Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Очевидно, в этом случае х„„= с, и уравнения (2.67), функционал (2.68) можно переписать в виде сСх, сСхп+1 с! (2.69) .С = ~ Го(хс,..., х„, ип..., ц„, х„д )с(с . ч В результате получили автономную задачу оптимального управления. Введем (и+1)-мерный вектор х = (х„...,х„,х„„) и (и+1)-мерное фазовое простран- 2.3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ 2.3.1. МАКСИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА Рассмотрим оптимизацию по быстродействию линейного обьекта управления, движение которого задается системой уравнений с постоянными коэффициентами сСх, — ' = ~ а, х, + х ~Ьл и!, с =! и .
сы Фы Запишем систему уравнений (2.73) в матричной форме — = Ах+ Вп, осх сс! (2.74) ство Х . Автономный вариант исходной неавтономной задачи оптимального управления выглядит следуюшим образом. В фазовом пространстве Х* задана начальная точка х = (х~,..., х„,со) и конечное многообразие 5,, задаваемое соотношениями о о о х„-х„=О, о=1,и. (2.71) Требуется среди допустимых управлений в(с), с„< с < с,, переводящих фазовую точку х системы (2.69) из заданного начального положения х на многообразие (2.71), найо ти такое, которое доставляет минимум функционалу (2.70). Для сформулированной автономной задачи оптимального управления с закрепленным левым и подвижным правым концами условия оптимальности задаются теоремой 2.1 и условиями трансверсальности.
Условия трансверсальности имеют вид цс,(с,) = р,' (с'=1,и),зим(с,) = О. (2.72) Первые и соотношений (2.72) не накладывают никаких условий на вспомогательные функции су,(с),С=),и, т.к. р,', с=1,и — любые вешественные числа. Содержательным является последнее условие (2.72). Глава 2. П инцип максим ма Пон агина 491 где х=(хнхз,...,х„) — п мерный вектор состояния системы, и =(ипим...,и„)— т-мерный вектор управления, А и  — матрицы, имеющие размерности соответственно ихп и пхт. Векторы х и ц являются векторами-столбцами.
Будем предполагать, что система уравнений (2.74) является нормальной, т.е. следующие матрицы С =|Ь )АЬ,) .. (А" 'Ь|~, 7'=1,т (2.75) для всех/ являются невырожденными, здесь Ь, -~-й столбец матрицы В. Пусть, да- лее, область управления У представляет собой т-мерный параллелепипед, задавае- мый неравенствами (2.76) (2.78) и Ае, если ч~„цг,Ьа >О, (2.80) А„', если , 'Ч!,Ьв <О, к =1,п!. В соответствии с (2.80) оптимальные управления ие(Г), lс = 1,т являются кусочно-постоянными функциями, принимающими значения Аю Ае. Покажем, что для ! 2 нормальной системы (2.74) соотношения (2.80) определяют оптимальное управление, за исключением конечного числа точек, однозначным образом. Как следует из (2.80), компонента ие вектора управления н определяется неоднозначным образом, если ч ~цг,(г)Ь, =О.
г=! Вектор-функция Ч!(г) — аналитическая функция, т.к. является решением системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Но тогда анали- где А' < О, А' > О, 7' = 1, т. В соответствии с теоремой 2.2 запишем функцию Гамильтона л и ч ч Й(Чг,х,п) =~! !у, ~ аех, + ~! !у,',!,Ьаи„. ~-! з=! ~=! е=! В матричной форме функция Гамильтона имеет вид Н(ч!, х, ц) = з1г~Ах+ !р~Вц. (2.77) Вспомогательный вектор Чю(г) определяется уравнениями а!Ч! т — = — А !р.
аг Оптимальное управление и(!) доставляет функции Гамильтона в каждый момент времени г максимум. Так как первое слагаемое функции (2.77) не зависит от управления, то максимизировать необходимо функцию !у~В и, которую представим в виде ц!'Вп =~~ ~~ц!,Ьа и„. (2.79) е=!~~=! Так как компоненты вектора н в соответствии с (2.76) могуг изменяться независимо друг от друга, то из условия максимума функции (2.79) найдем 492 Методы тес ии оптимального п авления. Часть 1П тнческой является и функция У ц»,(г)Ь» .
Если функция ~ ~ц»,(г)Ьа обращается в ~ вам ы нуль на бесконечном множестве точек О то и ч ~ц»,(г)Ь„то. ~ы Запишем это равенство в векторной форме ц»т(г)Ь„ы О, (2.81) где Ь» — »1-й столбец матрицы В. Проднфференцируем тождество (2.81) (и-1) раз.
Принимая во внимание уравнение (2.78), получим систему уравнений ц '(г)ь„м о, ц т(Г)АЬ„м О, (2.82) ц» (1)А" Ь» но. Относительно вектора ц»(г) уравнения (2.82) являются системой линейных однородных алгебраических уравнений. Определитель этой системы де»~С»|ео, т.к. по предположению система уравнений (2.74) является нормальной.
Из (2.82) следует тогда, что вектор ц»(г) - =О, что противоречит пункту 2 теоремы 2.2. Таким образом, из условия максимума функции (2.79) оптимальное управление ц(г) определяется однозначным образом (за исключением конечного числа точек). 2.3.2. ТЕОРЕМА О ЧИСЛЕ ЛЕРЕКЛЮЧЕНИЙ В соответствии с равенством (2.80) оптимальные по быстродействию управления и»(г), »1 =1,т, являются кусочно-постоянными функциями, принимающими значения А» или А» причем переключение управления и»(») происходит в момент обращения в и нуль функции , 'ц»,(г)Ь» . Выше было установлено, что указанная функция обраша~ы ется в нуль конечное число раз, т.е.
число таких переключений в интервале гс < г < г, конечно. Для определения оптимального управления очень важно заранее располагать информацией о возможном числе таких переключений. Оказывается, что для определйнного класса линейных объектов управления удаатся получить такую информацию. Прежде чем форыулировать основной результат в виде теоремы, сформулируем и докажем следующую лемму [4б). Лемма.
7)усть Х~,Хм...,)»„— разчичные вещественные числа, а Д~(г),уз(г),...,з„(г) — многочлены, имеющие степени соответственно Ап йы ..., »1, . Тогда следу»ощая функция (квазимногочлен) Дг)е "+г",(г)е "+...+г"„(г)е " моз»сет обращаться в нуль не более чем»11 +)гз+...+»1„+ г — ! раз. 493 Глава 2. П инцип максим ма Пон ягииа Доказательство. При г =1 лемма справедлива, т.к. функция Л(г)ец' обрашается а нуль в точках, в которых обрашается в нуль многочлен 7; (г), и, следовательно, имеет не более й, нулей.
Предположим, что лемма справедлива, когда число слагаемых меньше г. Покажем, что в этом случае оиа справедлива и при г слагаемых. Это утверждение докажем методом от противного. Предположим, что при г слагаемых лемма неверна и функция(2 83) имеет по крайней мере, /с +к +...+/сьг нулей Умножим (2 83) на е ~', что не изменит еб нулей. В результате получим функцию 7;(г)е( ' ') +7з(г)е( ' ') ь...+7»м(г]е( '' '1+7",(г). (284) Проднфференцировав функцию (2.84) г+1 раз, получим 8,(г)е( ' ') м8 (г)е( ' ') +...+8„,(г)е( ' ' (2.85) здесь 8„(г) — многочлены, имеюшие ту же степень, что и многочлены 7'„(г).
Поскольку между двумя нулями функции лезкит, по крайней мере, один нуль ее производной, то при каждом дифференцировании может «теряться» не более одного нуля, т.е. функция (2.85) имеет не менее ~1 + ~2 + " + йг + ~ ((гг ь 1) (г! ~2 ~ь "' К«-! (" 1) нулей. Но квазимногочлен (2.85) имеет г-1 слагаемых, числа (Х,-Х„) — различны. По предположению для него справедлива лемма, и он может иметь не более чем (с, +кз.ь...+к„, +(г-2) нулей. Получили противоречие, которое доказывает утверждение о том, что если лемма справедлива для г-1 слагаемых, то она справедлива и для «слагаемых. Дальнейшее доказательство леммы следует из метода математической индукции.
Перейдем теперь к формулировке теоремы. Во избежание недоразумений отметим, что рассматривается двухточечная задача оптимального управления, т.е. задача о наибыстрейшем переводе фазовой точки системы (2.74) из заданного начального положения х в заданное конечное положение х . Теорема 2.3. Если входящее в уравнение (2.74) матрица А имеет только вещественные собственные числа, а управления и (г), / =1,т удовлетворяют теореме 2.2, то каждое из управлений и (г), / = 1,т является кусочно-постоянной функцией, / принимающей значения А, А, и имеет не более п-1 переключений, где и — порядок 1 з з' системы (2.74).
Доказательство. Из равенства (2.80) следует, что управление и (~), /=1,т, является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения А, А , а число ! 2 переключений управления совпадает с числом нулей функции ) ю,(г)Ь, . Таким обы! разом, для того чтобы определить максимально возможное число переключений управления и (г), необходимо установить, сколько раз может обрашаться в нуль функция , 'ц>,(г)Ь« .
ьи Пусть р„р„...,рь — различные собственные числа матрицы А. Тогда матрица — А имеет собственные числа Х„Х„...,Х„, где Х„= -р„(у =1 г). По условию тео- 494 Методы тео ии оптимального п авления. Часть РП ремы матрица А имеет вещественные собственные числа. Но тогда и собственные числа Х, матрицы — А также являются вещественными. Обозначим р„, и=1,г, т кратность собственного числа Х„. Очевидно, р, + р, + ... + р„= п. Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, каждая функция !у,(!), !'= 1,п, являющаяся решением уравнения (2.78), имеет вид !У,(!) = 7!(!)е ' + Хо(!)е ' +" ч-3,Яе ', (2.86) здесь г"„(!), и = 1,г — многочлены, причем степень многочлена г"„(!) не превосходит р„ -1. Но тогда линейная комбинация ~Ч!,(!)Ье будет иметь вид, аналогичный (2.86).
Запишем я Я !У,(!)Ь! =а,(!)е~к+оз(!)ехн+...+о„(!)е~" (2.87) ~=! здесь о„(!), и = 1,г — многочлен, имеющий ту же степень, что и многочлен г"„(!). Применив к функции (2.87) доказанную выше лемму, найдем, что она может обращаться в нуль не более чем (р, -1)+(р, -1)+...+р,, +( -1)= п-1 раз. Теорема доказана. Данную теорему называют теоремой о числе переключений. Она находит широкое применение при синтезе оптимального по быстродействию управления в задачах с одним управляющим параметром. Далее, нетрудно убедиться, применив принцип максимума для неавтономных систем, что теорема сохраняет свою силу, если вместо уравнений (2. 74) рассматривать уравнение — = Ах+ Вв м у(!), и! где Ти — некоторая известная вектор-функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
